Os INFINITOS e a HIPÓTESE DO CONTÍNUO

infinito nenhuma outra questão jamais moveu tão profundamente o espírito do homem foi assim que David Hilbert expressou a importância do infinito para matemática que é justamente o assunto do vídeo de hoje Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e hoje a gente vai falar sobre o infinito e a primeira pergunta é o que é o infinito essa pergunta é bem mais delicada do que parece mas a primeira noção que vem a mente é que infinito é aquilo que nunca termina a gente pode começar por aí era essa ideia de infinito na

antiguidade Na verdade até não muito tempo atrás mas então vem a segunda pergunta onde está o infinito para pensar nisso um pouquinho Existe alguma coisa no mundo real que seja realmente infinita que não termine eu não sei vocês mas por mais que eu pense nesse assunto continua para mim sendo muito Óbvio que não existe infinito no mundo real tudo que eu posso imaginar de real termina em algum momento de areia tem na terra um monte mas ainda assim é um número finito Teoricamente pode ser contado mesmo que leve muito tempo numa hora a tarefa acaba

E por sinal a estimativa atual de 7,5 milhões de grão de areia no planeta nem mesmo espelhos Paralelos produzem realmente infinitas imagens Existem várias complicações práticas que impedem isso uma delas é que a velocidade da luz é finita então levaria um tempo infinito para que as infinitas reflexões produzissem infinitas imagens Alguém poderia falar o universo infinito só que isso é uma coisa que ninguém sabe dizer realmente se é ou não é nem importa muito porque o que a gente pode conhecer Somente um pedaço do universo o chamado universo observável que é finito por sinal o

número de estrelas no universo observável é mil vezes maior que o número de grãos de areia na Terra é um número imenso inimaginável mas ainda assim é algo finito então a questão é que o infinito não existe no mundo real mas ele existe como um conceito abstrato ele existe nas nossas mentes e a matemática outra coisa abstrata usa o infinito de uma forma muito essencial O infinito é fundamental para matemática mesmo que muitas vezes a gente não se dê conta disso a maioria das histórias matemáticas começam na Grécia e com o infinito não é diferente

só que naquela época os matemáticos evitavam falar em infinito porque esse não era um conceito muito rigoroso e a matemática grega Era bastante rigorosa Euclides provou que existia um infinitos números primos mas ele nunca falou que eram infinitos números Ele disse que a quantidade de números primos é maior do que qualquer quantidade determinada de Prêmios eles vão um jogo de palavras só para não dizer infinito embora o significado seja de Infinito infinito não está só por trás daquilo que é muito grande mas também daquilo que é muito pequeno o próprio Euclides definiu um ponto como

sendo aquilo que não tem partes que é uma coisa que invoca a ideia de visibilidade infinita do espaço na época do Euclides uma reta não é como hoje algo ilimitado reta deles é como o nosso segmento de reta tanto que um dos axiomas Euclides dizia que uma reta poderia ser prolongada tanto quanto se precisasse ou seja ele está pensando no segmento de reta prolongada tem infinito embora ele não queira dizer isso explicitamente essa do infinito é porque para os gregos só as coisas finitas faziam sentido só elas é que poderiam ser colocadas em base realmente

rigorosas é como se eles fizessem matemática numa folha de papel se fosse necessário era só pegar uma folha maior prolongar segmentos de reta e ver o que acontece os gregos sempre podiam aumentar essa folha mas nunca podiam tomar uma folha infinita só que isso tinha um problema e o problema é justamente com aquele famoso axioma das paralelas o quinto postulado de Euclides que dizia que por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela reta dada retas paralelas são retas que não se encontram nunca então para você ter certeza disso precisa verificar que

elas não se encontram nem no infinito talvez por isso o quinto postulado seja o mais controverso de todos porque ele é aquele que realmente depende do infinito de forma essencial Beleza agora a gente avança na história até os séculos 17:18 nessa época os matemáticos começava a incorporar o infinito nos seus trabalhos como por exemplo Newton E olha com as suas séries infinitas que eram funções que envolviam a soma de infinitos termos mas que davam resultados finitos só que apesar de usar o infinito nos seus trabalhos naquela época matemática não era tão rigorosa como nem na

Grécia antiga e nem nos dias de hoje isso Começou a Mudar no século 19 especificamente em relação ao infinito As coisas mudaram depois do trabalho de Jorge cantor e mudaram para sempre o canto criou uma forma de contar o infinito mas como é que você conta o infinito essa é uma ideia que eu já falei algumas vezes aqui no canal mas nunca é demais lembrar se você realmente prestar atenção nisso e souber apreciar sua beleza é uma ideia que divide a sua vida entre antes de você conhecê-la e depois você conhecê-la saca só a gente

conta as coisas finitas contando mas contar nada mais é do que pegar cada elemento que você tá contando por exemplo Os Mágicos e associar com um e somente um número natural esse como um mas como com dois esse como com três Então quando você diz que são cinco cubos é porque você associou cada cubo numa relação de um para um com um conjunto um dois três quatro cinco se eu quisesse ver se eu tenho tantas calculadoras quanto cubos Mágicos ao invés de contar os cubos contar as calculadoras e ver se dá a mesma resposta eu

poderia queimar uma etapa E verificar se eu consigo colocar calculadoras e cubos Mágicos em uma relação de um para um diretamente eu não preciso dos números para fazer isso e a gente chama uma relação de um para um de injeção e diz que os dois conjuntos têm a mesma cardinalidade e essa forma de dizer quando dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos funciona não só para conjuntos finitos mas também é conjuntos infinitos e é aí que as coisas começam a ficar esquisitas responda rápido existem mais números naturais do que números pares não eles são

iguais porque é possível colocar números naturais números pares numa correspondência de um para um segunda pergunta existem mais números racionais do que números naturais a resposta também é não eles são iguais Dá para colocar todos naturais uma correspondência de um para um com os Racionais na verdade basta mostrar que dá para fazer uma sobre a gestão dos naturais nos Racionais ou seja um caminho ordenado que pega todos os Racionais mas nesse ponto você pode estar pensando que isso de ter a mesma cardinalidade é meio esquisito porque os conjuntos são bem diferentes mais de certa maneira

faz sentido porque infinito é aquilo que nunca termina então os conjuntos infinitos tem que ser todos iguais com a mesma cardinalidade infinito é infinito e ele é uma coisa só certo errado uma das coisas mais espetaculares descobertas pelo Canto é que os infinitos não são todos iguais o infinito dos números reais os pontos de uma reta é maior que o infinito dos números racionais o canto aprovou isso olhando para os números reais entre 0 e 1 ele provou que o infinito desse conjunto é maior que os números naturais ou seja não existe uma correspondência de

um para um Entre esses conjuntos Como que se fala isso você finge que existe e mostra que isso leva uma contradição portanto a conclusão é que a hipótese é falsa e na verdade é correspondência não existe e daí esse conjuntos não tem a mesma cardinalidade Esse é o plano então Mãos à Obra bom se existe uma objeção então pensando na expansão desse mal dos números reais daria para colocar eles numa lista como essa para cada número natural existe o número real entre 0 e um associado de maneira única o cantor olhou para os dígitos nessa

diagonal e por isso se raciocine é conhecido como diagonalização de Campo ele imaginou que um novo número real que era formado a partir dos dígitos dessa diagonal Mas mudando eles para um toda vez que o dígito for zero ou então para Zero no caso dos demais dígitos isso dá um novo número que não está na lista pois o primeiro dígito dele é diferente do primeiro disco do primeiro número o segundo dia está diferente do segundo disto do segundo número o terceiro dista diferente do terceiro disto do terceiro número por aí vai mas esse número não

está na lista a relação não pode ser de um para um e temos a nossa contradição O que significa então é que o infinito dos números reais é maior que o dos números naturais ou seja não existe só um tipo de infinito na verdade existem infinitos tipos de infinito uma coisa que você pode fazer com qualquer conjunto S quer olhar para o chamado Conjunto das partes de S que é um conjunto de todos os subconjuntos de S se essa é um dois o conjunto das partes inclui vazio um dois e um dois tem quatro elementos

se s é um conjunto finito então o número de elementos do seu conjunto das partes tem dois elevado ao número de elementos de s o número bem maior e é assim também com conjuntos infinitos a cardinalidade do conjunto das partes é um infinito maior que a cardinalidade do conjunto original ou seja se a gente considerar o conjunto das partes do conjunto das partes depois do conjunto das partes do conjunto das partes do conjunto das partes etc nós vamos encontrando infinitos cada vez maiores ou seja existem infinitos tipos de infinito a história toda dos infinito deixou

o rubert fascinado tanto que quando ele divulgou a sua famosa lista dos 23 problemas em 1900 o primeiro problema da lista estava relacionado com essa questão das cardinalidades o problema era resolver hipótese do contínuo mas o que que é isso lembra que a gente já viu que o infinito dos números naturais é menor que o dos números reais esse infinito dos reais recebe o nome de contínuo em latim o infinitos naturais é chamado de Alex zero como a gente sabe que existem infinitos tipos de infinito uma pergunta interessante é saber se existe algum infinito entre

Alef 0 e c ou seja se existe algum conjunto com cardinalidade maior que a dos naturais e menor que a dos reais Jorge cantor tentou responder essa pergunta sem sucesso mas ele acreditava que não existia isso ficou conhecido como a hipótese do contínuo de que não havia infinitos entre os naturais e dos reais a teoria de conjunto de cantor Tinha alguns problemas o que dava muita liberdade para a formação de conjuntos Porque gerava alguns paradoxos como o paradoxo de Russel esse problema foi corrigido com uma nova axiomatização de conjuntos conhecida como axiomas que são basicamente

os um conjunto que usamos nos dias de hoje a maioria dos matemáticos junta esses lexiomas com famoso e controverso axioma das escolhas formando então que a gente chama de carinhosamente de zéfc Melo Franco Choice escolha em inglês e por que que eu tô falando isso Essas são as regras do jogo matemático para falar de conjuntos nos dias de hoje e acontece que em 1940 Kurt mostrou que A negação da hipótese do contínuo Ou seja a existência de um conjunto com cardinalidade entre os reais não pode ser provada a partir dos axiomas de FC e duas

décadas depois em 1963 pouco ou em provou que a afirmação da hipótese do contínuo ou seja de que não existe um conjunto com cardinalidade intermediária entre naturais e reais também não poderia ser reprovada confeccionados FC ele é uma medalhas por isso ou seja meus amigos tento dizer homens a hipótese do contínuo é decidível o sistema matemático mais usado para falar de teoria dos conjuntos não pode resolver a hipótese do contínuo a gente pode pegar esses axiomas FC e juntar com a hipótese do contínuo ou com a sua negação e nos dois casos vamos ter teorias

consistentes desde que os FC seja consistente que é algo que não se pode provar a partir de FC por causa do segundo teorema nem completude de guedel daqui para frente as coisas ficam mais e mais complicadas mas que eu quero que você realmente guarde desse vídeo é que o infinito é muito mais do que apenas algo que nunca acaba tem gente que diz que é matemática é a ciência do infinito o que algumas das coisas mais fascinantes dentro da Matemática estão relacionadas com infinito um conceito que nas palavras do Hilbert móvel profundamente o espírito do

homem como nenhum outro conceito é capaz de fazer e o infinito consegue fazer isso mesmo existindo apenas nas nossas mentes não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo