Cálculo I - Aula 19 (1/3) Assíntotas: um exemplo

[Música] tá então vamos lá bom dia gente vamos retomando as atividades pós feriado aí né a gente estava estudando o esboço de gráficos está certo eu cheguei a fazer dois exemplos no passado vamos fazer mais um terceiro já envolvendo aquele conceito de assim tá né então dar uma repassada rapidinho que quer uma sintomática tá cheguei a deduzir como é que você calcular o coeficiente angular e eficiente linear dá 50 vamos dar uma repassada relembrar como é que eram essas fórmulas e agente aplicamos exemplo tá bom então que era uma cinta né uma cinta de um

gráfico é sempre uma reta da qual a função se aproxima no infinito ou no mais infinito número infinito tá bom então dizer equipes negócios mais b é uma cinta quer dizer o quê vamos é uma cinco têm mais infinito se a diferença do valor da função o valor que atinge do ordenado a y atingida por essa reta tende para 0 quando tiver a mais ínfima itu tá bom isso é um assim tocando mais infinito de maneira alguma sinto tanto - infinito estudar o limite quando scheidt e prata - infinito bom pergunta é precisa ser a

mesma a cinta no mais um - infinito não pode ter assim tutano mais infinito e não tendo menos infinito o que acontece no - infinito não tem nada a ver com o que acontece mas infinitas bom então ok a gente tinha essas coisas e deduzimos as fórmulas né como é que eram essas fórmulas que a gente calculava o a o agente calculou pegando esse limite que era 0 / 1 x 1 tudo bem então quando assim toda existe a gente sabe que o coeficiente angular é o limite de fx sobre x consistente para mais ínfimo

itu e assim tudo menos infinito quando se estende para - enfim tá e o bebê também era o limite no mais infinito de fx - acho bom o primeiro se calculou o coeficiente angular ua se ele existe você tenta calcular o bê se ambos os limites existirem a reta a x + b é uma cinta o gráfico df também então quando existe a gente sabe calcular se algum desses dois números não existir quer dizer o quê que o gráfico se aproxima de nenhuma reta no infinito tá bom então a gente fez isso na copa passada

não pegar dois exemplos um primeiro bem mais simples x ao cubo sobre x quadrado mais um perfeito tá bom então vamos botar o gráfico dessa função seguindo aquele roteirinho agora com o sexto passo que é o cálculo de assim todos está então vamos lá é qual é o domínio dessa função primeiro passo é determinar o domínio né quem é o domínio dessa função toda reta real né eu posso calcular essa expressão qualquer número certo qual era o segundo passo é estudar intervalo de crescimento e de crescimento da função quem contei isso para a gente é

a primeira derivado a gente possa calcular filhinho quanto vale a filhinha x nesse caso 3 x quadrado x 2 + 1 - 2 xv x ao cubo x a quarta o certo tudo isso dividido pelo iluminador ao quadrado enquanto que dá isso aqui vai dar 4 x a quarta mais um sobre os dois mais um tudo ao quadrado o que você pode dizer respeito desse sinal desculpa tem 13 x quadrado aqui né e 3 x a quarta - 2 x a quarta da x a quarta - 3 x quadrado também não tem uma análise do

sinal para se fazer qualquer bom continuar aqui isso a gente pode ser conseguido x quadrado x 2 - 3 tudo isso dividido bom é o que dá para dizer quem manda no sinal dessa expressão o termo entre parentes no resto tudo positivo tá bom então o que a gente pode dizer se que a gente sabe tudo ao sinal você vai ter duas raízes que são menos raízes de 3 e raízes de 35 efe linha positiva antes negativa entre as raízes positiva depois portanto f é crescente ou decrescente e crescente nesses intervalos também sabemos quais são

os intervalos de crescimento de crescimento que eu posso dizer que esse ponto aqui ohio - raiz de 31 ponto de máximo local esse aqui é um ponto de mínimo local pergunta são globais o que acontece você concorda que na função quando x tende para o infinito esse valor tende para o infinito também então não tem nenhum ponto de março local porque a secretária global essa função cresce indefinidamente e quando x tende para - infinito também vai para - infinito então tem nenhum ponto de mínimo global esses caras são máximos e mínimos locais mesmo máximo e

mínimo locados tá ótimo que mais que a gente poderia fazer para fazer o gráfico estudar com qualidade quem é que manda na concavidade segundo ele vale isso a gente vai ter que levar isso aqui é fazer com que uma regra do consciente não tem jeito vai dar quanto 4x ao cubo menos 6 x tudo isso vezes x ao quadrado mais um todo ao quadrado - x a quarta - 3 x 2 x de baixo vai ser duas vezes fez mais um quadrado vezes 2 x 1 tá tudo isso dividido ao quadrado mais um ponto elevado

a quarta no quadrado do denominado o especial 1 um saborzinho estranho né mas a gente vai ver o que dá para fazer né você consegue cortar 1 x quadrado mais um de todo mundo né pois quadrado mais um evidência esse cara que desaparece sobra 4x aqui esse cara sai e esse aqui virou culpa então o que é que fica essa expressão em teoria o nome de grau 5 né gente fizer distributivos acho que vai dar sorte olha você tem 14 x a quinta que vai cancelar com esse então dá pra ter alguma esperança então a

gente tem quatro termos de grau 5 4 x a quinta - 4 x a quinta não tem nada em termos de grau 4 tem algum não a gente tem que 4x ao cubo menos 6 x ao cubo da menos 2 x ao cubo e aqui a gente tem mais um termo de grau 5 quer - 12 - 12 né eu estava com menos 2 - 12 - 14 x ao cubo termos de grau 2 o que a gente tem aqui nenhum aqui também nenhum termos de grau 1 e se menos 6 x dançar e aqui

mais nenhum constante também não tem ninguém só faltou alguma coisa que é isso né oi era mais né é isso então o que a gente tem obrigado era um x quadrado mais um ac x a quarta mais 3 x quadrado e portanto que a gente conclui que não tem ponto de máxima e mínima o derivado é sempre positiva essa função é estritamente crescente obrigado tá bom e aí a gente tem um problema né tem que refazer tudo vamos arrumar ali a gente tem x a quarta quando ele vá que vai ficar mais certo aqui é

mais a gente pode seguir em frente e fazendo as contas direitinho o que a gente vai ter de novo 4 x a quinta com menos 4 x a quinta dançou termos de grau 4 aqui não tem nenhum aqui também não tem nenhum termos de grau 3 tem 4 x ao cubo mais seis dias a cuba 10 x ao cubo e aqui a gente vai ter menos 12 x ao cúbito menos 2 x ao cubo termos de grau dois aqui a gente não tem nenhum aqui também não ter um degrau um agente tem 16 x ac

aqui não tem nada termos constantes nenhum bom ficou melhor tudo isso a gente vai dividir por x ao quadrado mais um ao quadrado dá para analisar o sinal disso ao analisar o sinal disso sim pode por 1 x 1 em evidência vai ficar com menos 2 x quadrado mais 6 x ao quadrado mais um toco denominador a gente não precisa se preocupar sempre positivo o que vai mandar um sinal esse xis e essa equação de segundo grau aqui testemunho de segundo grau como é que fica isso aqui é uma parábola de boca para baixo quais

são as raízes dela mais ou menos raiz de três de novo tá certo então vamos tentar fazer o análise dos sinais aqui né 0 1 ponto importante pra gente por causa do primeiro fator - raízes de 3 e mais raízes de 3 abr efe duas vezes que acontece quando x é um número menor do que - raízes de 3 ele com certeza negativo então esse cara que negativo e esse aqui é negativo também né lembra que é uma parábola que fica de boca para baixo então aqui eu tenho um produto de dois caras negativos a

função positiva e portanto a função é que vai ter com qualidade pra cima entre - raízes de 30 esse fator é que é positivo e este aqui negativo tão negativo aqui com qualidade para baixo o que se nota que números reais de 3 teve uma inversão de concavidade portanto esse cara chama ponto de inflexão perfeito entre zero e raiz de 3 este aqui é positivo e esse também positivo deu certo é um produto de positivos na segunda derivada concavidade pra cima depois do raio de 3 x é positivo isso aqui negativo então a gente tem

uma análise completa das concavidades esse gráfico então tem três pontos de inflexão certo joy que mais que a gente fazer qualquer o item 4 da nossa jornada o esboço do gráfico olhar os limites né primeiros limites pertinentes quais são os limites pertinentes aqui tem algum ponto que está fora do domínio não né então o interesse olhar no mais infinito - infinito que dá para dizer quando se estende para mais ínfimo itu da função efe tende para mais ínfimo itu também e quando x vai a menos infinito x atender pelo menos infinito tudo bem legal o

que era o próximo passo que fazer é aproveitar esse cantinho aqui da lousa interceptados com os eixos né onde essa função corta o eixo y é quanto vale fd 00 xx a gente consegue descobrir quando a função vale zero nesse caso ela vale 01 x al kubra 0 então tá é uma função que realizaram 10 a única raiz o único ponto onde ela cruza se fechando ponto x igual a zero só pergunta teria chances e olha e fala bom quando isso aqui dá zero contínuo alisar direto certo pergunta teria chance de ter alguma outra em

vista do que a gente fez até aqui não é como a função tem primeira derivada positiva é estritamente crescente só cruzou e chukchis uma vez nunca mais era estritamente crescente ótimo então temos os inter sabe que o que falta analisar mas assim todos diga quando você tem um consciente de polinômios a gente não define grau do consciente a grau é uma coisa que é atribuída por nomes e por nomes são o que as pressões que são constantes um certo conjunto um corpo na verdade ou um anel se quiser vezes potências de x então não tem

divisões então vamos dizer senão não tem definido o grau desse objeto porque ele não é um pulinho nome mas se pode pensar um pouco intuitivamente no seguinte sentido o grau de cima um a mais do que o grau de baixo então se eu for fazer uma divisão depois de nomes que se espera que aconteça quando se faz uma divisão de um povo em nome de grau 3 proposição de grau dois como é que a conta o consciente 1 foi o nome de grau 1 1 eo grau do resto é menor do que esse portanto vai

ter um codinome de grau um ousado então eu poderia escrever isso como um pornô - mais um sobre um outro nome de grau 1 tudo bem tá clara como é porque é assim que se faz a divisão de dois por nomes né se você tem peixes sobre que de x você pode fazer essa divisão com o algoritmo de euclides a divisão depois de nomes você vai obter o que a gente divide dois pois você tem um consciente o resto qualquer propriedade eu vou poder escrever o poli nomeou como sendo consciente é que é o divisor

né vamos chamar de outro nome tem um ip2 tá eu vou dividir os pronomes e um pelo codinome p2 você vai ter que o peru vai ser um consciente vezes p2 mais um resto tá certo qualquer propriedade que o resto tem esse cara é um codinome de grau menor do que o consciente não ser que o p2 eu divido tudo por p2 como é que fica também é desse jeito que você vai escrever essa coisa então vai ter esse cara que vai ser um problema de grau 1 nesse caso mas o resto é um problema

de grau 1 / esse cara de grau dois que não dá para dividir porque o grau do numerador é menor podendo essa conta vai ser muito interessante num momento futuro a gente for calcular primitivas de funções racionais e vai precisar fazer esse tipo de coisa tá não faltou a gente olhar pras assim todos né como é que a gente calcula só assim todos estava escrito aqui eu tive que pagar né o coeficiente angular é dado como vamos ter vão inscrever se como a primeira vez assim todas se ela existir ela vai ter que ser uma

coisa do tipo a x + b onde há até quem limite quando se estende para mais ínfimo itu dfx sobre x nesse caso fica quanto quem fdx x ao cubo sobre x 2 mais um né quando eu / x vai dar x3 manches enquanto que dá esse limite é o infinito você pode dividir em cima e embaixo x ao cubo se quiser ou pode aplicar o capital não é também porque da inffinito sobre infinito já que o hospital só clicar duas vezes aí não é legal então faz a conta que você vê que é um

direto tá então se tiver uma sintonia infinito o coeficiente angular dela é um como é que eu descubro coeficiente linear x tende para mais ínfimo itu df x - á china a essa forma que a gente deduzido ó então vai ficar quanto limite quando x tende para o mais ínfimo itu x ao cubo sobre x 2 mais um que fc x - x one é uma uma vez x bom quanto que dá esse número vai ficar com quanto aqui quando você tiver o mínimo vamos escrever vai x 2 mais um que vai ficar com um

x 3 - 1 x 3 - x certo quanto a esse limite se cancela x ao cubo fica menos x sobre os dois mais um que o infinito tende para 0 divide em cima e embaixo porsche se você quiser um bom tempo o nome de grau 1 / um codinome de grau 2 infinity isso tem de azar é claro então existem ahb no infinito existem quem é assim total no infinito coeficiente angular um coeficiente linear 0 y boches então no infinito esse gráfico vai se aproximar da função de c3 da função identidade de w ser

três do primeiro quadrante no - infinito que acontece se eu colocar x tendendo para - infinito vamos ver se muda alguma coisa se estende para - infinitos aqui continue tendendo para um taco e esse aqui quando se estende para - infinito a conta continua a mesma continua dando 10 tá então nesse caso o gráfico tenha mesmo assim total nas duas pontas entre aspas - infinito mais infinito ok dá pra gente tentar fazer um desenho daquilo que a gente precisa lembrar que a função é estritamente crescente assim button larga por baixo por cima a gente não

sabe você pode ter uma cinta a função se aproximar dela fazendo mundinha cruzando infinitas vezes a própria assim está o que vai o que quer dizer que ela vai ter algum dinheiro desse tipo você vai ter várias mudanças de concavidade então isso seria detectar detectado aqui quando se estuda segundo ter levado à então em vista do que a gente tenha a gente sabe que a função é sempre crescente e ela vai ter com qualidade para baixo o infinito então provavelmente ela vai chegar por baixo assim tu tá diga tem que ser tudo número tá de

se esses limites aqui devem infinito é porque não existe assim tá né como é que eu vou colocar aqui uma coisa que é infinito que a equação da reta y igual ao infinito x - infinito não faz sentido tá bom a e b são números reais o que quer dizer que o ato é o infinito por exemplo qualquer interpretação geométrica dizer que o ato é o infinito quer dizer que esse número cresce muito mais do que x ou seja o crescimento da função é muito maior do que um crescimento linear portanto não vai ter nenhuma

reta da qual ela se aproxima se esse número aqui desce 2 quer dizer que a proporção entre o crescimento dessas duas funções é 2 para 1 ou seja efe fica parecido com uma coisa que tem que se aproxima de uma reta de quase sem ângulo 2 a essa idéia então tentar fazer o gráfico nesse caso o domínio é toda reta vamos lá diga você comprou verde em baixo ou mais o senhor quer dizer que sou sempre vai para mais ou menos não não é sempre eu preciso estudar os sintomas mais infinito e não menos infinito

então fiz a conta com mais de 10 os coeficientes eu precisaria fazer com menos quando for fazer a conta com menos estudar assim tutano - infinito que o limite quando se estende para - infinito isso aqui da mesma coisa tá que é o limite quando se estende pelo menos infinito isso aqui da mesma coisa então tanto no mais infinito quanto menos infinito a sinto até mesmo num outro exemplo qualquer você precisa fazer os dois a gente vai fazer 11 dias assim todas têm coeficiente singulares diferentes tá só mais uns minutinhos a gente chega lá não

há como é que é a cara da nossa função há um único lugar onde ela cruza os eixos 100 tá ela vem do - infinito tá certo sempre crescente porque a primeira é derivada positiva e de boca pra cima tá claro e como ela vem do - infinito a gente viu que y e guaches é uma cinta então isso quer dizer que se você pegar a reta y boches ela vai me ajudar a entender o comportamento da função infinito então o que eu sei eu sei que ela é sempre crescente e ela vai entender vendo

- infinito sempre crescente de boca pra cima então gráfico é uma coisa assim sempre crescente de boca pra cima a cada vez mais perto da reta então eu ache isso vem subindo subindo sempre crescente o primeiro derivado positivo até que no ponto - raiz de três eu tenho uma inflexão tá bom então vem crescente onde é que aqui o ponto - raízes de 3 ela tem uma inflexão e continua subindo agora de boca para baixo até bater usar taquara ela vem aqui de boca para baixo ele não tem boca pra cima esse ponto aqui é

um ponto de inflexão acho que assim fica mais transparente dá conselhos e se você já só mesmo tipo se você já fez esse pedaço acabou porque como é que era sua função x ao cubo sobre os dois mais um nessa função têm qual propriedade em relação separou ímpar ímpar na seu troco x por - x o valor das da função inverte então como é que o gráfico eu pego isso aqui giro de 180 graus em torno da origem acabou mas a gente tem ferramenta para redesenhar isso diga [Música] há porque o limite dela quando x

tende para - infinita - infinito então quando x tende para - infinito o valor da função - infinito então ela vem aqui doesse quadrante sempre subindo ela poderia começar aqui ser crescente podia ter um gráfico de uma função que vem assim agora o que vai acontecer ela continua crescendo ela virá decrescente em algum momento aqui tem que ter algum problema eo limite teria que ser infinito não temos isso que como é que ela é do zero pra frente do zero pra frente a gente tem outra inflexão que ela vai continuar crescendo porque a primeira derivada

positivo e agora de boca pra cima sempre crescendo de boca pra cima até o ponto mais de 3 então num raio de 3 mais ou menos aqui ela vai continuar crescendo de boca pra cima nesse ponto tem uma inflexão ela continua crescendo só que agora de boca pra baixo e cada vez mais se aproximando da reta y x tá então gráfico tem essa carinha por minha boca própria cima boca pra baixo boca pra cima boca pra baixo ea vencer três funcionando como uma assim toda tanto mais quanto menos infinito é claro não se regula melhor

o comportamento da função estudando assim todos certo