Combinação com Repetição - Análise Combinatória

o olá pessoal tudo bem com vocês vamos a mais uma hora de aprofundamento tá aqui na plataforma e mensal aqui nós vemos estudar a combinação com repetição mas olha só é muito importante que você tem assistido aí aula anterior que diz respeito ao número de soluções inteiras não negativas de uma equação linear tá essa aula aí a gente é um pré-requisito para que a gente entenda bem é saúde combinação com repetição beleza então assim gente ó a nossa em tudo tá desejo a vocês todos é um excelente aula e como sempre né vem comigo aqui

ó bom então vamos lá combinação com repetição vamos iniciar aqui os estudos vendo a seguinte contextualização olha só um bar vende três tipos de refrigerantes guaraná a soda e a tônica de quantas formas tá uma pessoa pode comprar sete garrafas de refrigerantes em primeiro lugar pessoal vamos entender bem o que o examinador está querendo dizer nessa questão tá olha só nós devemos comprar uma certa quantidade de guaranás mais uma certa quantidade de soda mais uma certa quantidade de tônica e a soma dessas quantidades aí deve ser de 7 garrafas de refrigerantes beleza nós poderemos ter

por exemplo ali ó zero guaranás três rodas e 4 tônicas é uma possibilidade né nós poderemos ter um em duas rodas e 4 tônicas enfim quantas são as maneiras possíveis é para nós comprarmos então sete garrafas de refrigerante então sempre que você olha só preste bem atenção tá sempre que vocês conseguirem montar uma equação linear nesse caso nós temos ali ó três incorretas e a soma dessas em contas aí ó é um valor inteiro positivo sabendo que essas incógnitas aí não assumiram valores negativos porque nós não poderíamos ter ali por exemplo - duas garrafas de

guaraná tá então que nós temos aí ó é simplesmente uma equação linear de tal forma que as soluções dessa equação linear são valores sempre maiores ou iguais a zero e sempre inteiros ou seja nós temos na verdade os números naturais como soluções para essa equação linear beleza então sempre que acontecer isso daí a ter em mãos ali uma questão que se trata do assunto combinação com repetição que no final das contas nada mais é do que a gente viu na aula anterior né descobriram número de soluções de uma equação linear soluções inteiras e não negativas

beleza vamos lá então vem comigo aqui então olha só nós teremos ali uma certa quantidade de guaranás mais uma quantidade de soda mais uma quantidade de tônicas tá e o resultado deve ser exatamente got7 garrafas como nós vimos na aula anterior hoje em esse valor aqui ele vai indicar nada mais nada menos que a quantidade de bolinhas tu tá em toda aquele esquema lá que nós vimos repara que nós temos aqui ó 13 em cordas ou seja necessariamente nós iremos utilizar ali ó dois traços para separar essas três encomendas então por isso no final das

contas nós vamos ter ali ó as sete bolinhas tá e os dois traços separando aí ó essas bolinhas então nessa situação eu coloquei aqui nós teremos dois guaranás três rodas e duas túnicas tá então nós vamos fazer o que a gente vamos embaralhar todos esses elementos aqui e vamos ver então quantas possíveis maneiras né nós poderíamos comprar sete garrafas aí deste bar então no final das contas temos aqui uma permutação nós temos aqui ó sete bolinhas e dois traços ou seja nós vamos ter aí ó nove elementos dos quais 7 e se repetem e dois

traços se repetem então isso aqui é a mesma coisa que nove fatorial / 7 fatorial nós temos ali os dois também ó fazendo 2 fatorial então isso aqui será igual a quando você vai igual a 9 vezes oito vezes o 7 fatorial paramos por aqui porque o denominador já tem ali o 7 fatorial e o 2 fatorial e simplesmente o valor do está vamos cancelar aqui o 7 fatorial com 7 fatorial 9x 8c 72 / 2 teremos então 36 possibilidades tá de comprar aqui ó sete refrigerantes dentre essas três possibilidades beleza então pessoal vamos fazer

agora três questões aí tá que dizem respeito a esse assunto de combinação com repetição e como nós fizemos agora a gente nós vamos utilizar a idade permutação com repetição e para chegar nos resultado correto beleza vamos lá então vem comigo aqui nesse exemplo um nós vamos fazer aqui uma questão da uerj tá que diz o seguinte uma criança possui um cofre com 45 moedas 15 de dez centavos 15 de 50 centavos e 15 de um real tá ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas tá 12 moedas ao acaso há vários modos de

correr essa retirada admite que as retiradas são diferenciadas apenas pela hora só apenas pela quantidade de moedas de cada valor ou servir tá querendo dizer aqui gente que as retiradas as não se diferenciam pela ordem na qual as moedas são retiradas e simplesmente pela quantidade de moedas de cada valor aí continua aqui na pergunta olha só determine quantas as piadas distintas desse grupo de 12 moedas a criança poderá realizar então pessoal que o examinador colocou a kim é que as retiradas a são diferenciadas apenas pelas quantidades está de moedas vi dez centavos de 50 centavos

e de um real e não na sequência na qual a são retiradas beleza agora pense o seguinte ó nós vamos retirar 12 moedas pode acontecer de todas elas sem por exemplo de dez centavos pode ser todas de 50 centavos podem ser todas de um real agora o certo que a gente vai conseguir montar a equação tá que diz respeito a todo esse assunto de combinação com repetição imagine ali ó o x representa a quantidade de moedas de 10 centavo se o y 50centavos e o z de um real a soma dessas quantidades aí deve ser

igual o número de moedas que ser retirados ou seja igual a 12 moedas beleza então repara que nós não teremos ali soluções negativas porém poderíamos ter valores iguais a zero por exemplo nenhuma moeda de 10 centavo se a retirada o certo é o seguinte que essa equação aí gente irá admitir soluções inteiras não negativas tá que nos leva tudo que a gente aprendeu na aula anterior e vamos resolver então essa quantidade tá e possibilidades através da permutação com repetição e todos que minha de bolinhas e traços beleza vamos lá vem comigo aqui então vamos dizer

que x então representa ali ó as moedas de 10 centavo se nós vamos ter 15 moedas y representa a quantidade de moedas de 50 centavos nós teremos também 15 delas enquanto que o z representa a quantidade de moedas de um real e teremos também a 15 moedas 45 moedas como foi dito aqui ó no início da questão como acabei de comentar né pessoal a quantidade de moedas de 10 centavo smas a quantidade de moeda de 50 centavo mas a quantidade de moedas de um real deve ser exatamente igual a 12 que é um número de

moedas que serão retiradas tá porque nós vamos ter aqui é aquela situação nós temos aqui a 12 bolinhas ah tá como as temos aqui três incógnitas nós teremos aí na verdade dois traços ou seja para resolver isso daí nós faremos então uma permutação tá permutação ação 12 bolinhas mais dois traços então a permutação aqui ó de 14 elementos dos quais 12 são bolinhas ou seja 12 deles se repete em e dois são traços ou seja nessa situação aqui ó nós teremos o seguinte ó nós vamos ter 14 fatorial / 12 fatorial e o 2 fatorial

bom resolvemos vamos ter então 14 vezes o treze x 12 fatorial paramos por ali é porque nós temos 12 faturando denominador e 2 fatorial é simplesmente o valor dois então aqui ó simplificando 12 fatorial com 12 fatorial também podemos simplificar aqui a 14 / 2 teremos o 7 e 7 vezes o treze gente nós teremos exatamente o valor 91 ou se essa 91 possibilidades tá de nos retirarmos essas 12 moedas beleza certo então pessoal vamos fazer agora uma próxima questão que traz uma restrição importante nós devemos cuidar tá sem comida aqui vamos fazer agora essa

questão aqui do instituto federal de minas gerais que diz o seguinte como prêmio pela vitória em uma competição serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre três pessoas da equipe vencedora e cada uma deverá olha só receber pelo menos tá duas moedas que pergunta né olha só o número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é e abaixo nós temos a as alternativas vamos pensar assim ó x é um número de moedas que a primeira pessoa da equipe vencedora irá receber y no de moedas a segunda pessoa easy é um número de moedas a terceira

pessoa como serão distribuídas aqui a 12 moedas a soma dessas moedas aqui deve ser exatamente igual a 12 agora pessoa muito cuidado aqui tá tá sendo dito que todas essas três pessoas aí receberam ao menos duas moedas se nós resolvemos essa equação da forma que está in da maneira que a gente resolveu anteriormente nós vamos admitir que x y z podem assumir valores por exemplo iguais a zero ou também iguais a um e o que não pode ser a solução de acordo com essa restrição que nós temos aí de ser no mínimo duas moedas por

cabeça né então o que a gente faz para garantir que por exemplo a primeira pessoa ali irá receber no mínimo duas moedas nós vemos fazer uma substituição tá de variável então no lugar do x nós vamos colocar simplesmente a mais dois no qual o ali poderá ser o valor zero só que daí eu acontece o quê gente se x então é igual a mais dois o x certamente vai ter no mínimo duas medalhas para receber beleza então essa ideia aí de substituição de variável nós vamos utilizar inclusive ali para as outras duas encomendas beleza certinho

vem comer aqui então pessoal como acabei de comentar né a variável x então eu vou substituir por a mais o dois a variável y é possível substituir por b + o2 ea variável z eu vou substituir por cê mais dois aí gente só somando aqui ó nós vamos ter o valor 12 continuamos aqui com uma equação linear só que no lado esquerdo nós vamos ter agora simplesmente o valor a mais o valor b mas o valor cê e esse dois mais dois mais dois ou seja o valor seis ele vai para o lado direito e

subtraindo teremos então 12 - vocês ficaremos com esse valor seis agora sim né pessoal chegamos nessa equação linear aí que admite soluções inteiras não negativas tá para os valores de a b e c ou seja o a pode ser 0 ou b pode ser zero enfim a soma dos três aliás deve ser exatamente igual a 6 por exemplo como acabei explicar né nós tivemos por exemplo b ali valendo 10 substituindo ali o p = 0 nós vamos é no mínimo recebendo duas moedas beleza então para contornar essa essa inscrição ainda você sempre adote tá uma

mudança de variável como eu tô fazendo aí certinha vem comigo aqui então como nós já sabemos né os seis aqui ó representa então a quantidade de bolinhas e nessa situação nós temos três em corretas ou seja nós vamos ter aqui ó dois traços ou seja no final das contas são seis mais dois elementos é uma permutação de 8 elementos dos quais seis se repetem e são as bolinhas e dois repetem que são os tracinhos resolvemos daqui ó é a mesma coisa que 8 fatorial / 6 fatorial e o 2 fatorial tá isso aqui é exatamente

igual a quanto nós vamos ter aqui o oito vezes o 7 vezes 6 fatorial para por aqui porque o denominador o fatorial e o dois fatores simplesmente o valor dois poderíamos simplificar aqui ó sete vezes oito das 56 / 2 teremos o resultado aqui ó 28 e esse valor 28 gente nós encontramos a limpa e na letra b de brasil beleza certo então pessoal agora para nós encerrarmos aqui a sala com chave de ouro vamos fazer uma questão aí que traz uma situação um pouco diferente tá dessas que nós fizemos até o momento como assim

feia olha só até uma meninas vamos ali a por exemplo a quantidade de bolinhas sendo sempre maior do que a quantidade de braços é o que não vai acontecer na próxima questão tá então a gente faz a próxima questão justamente para você ver que existe essa possibilidade também vem comigo aqui temos agora uma questão da puc do rio de janeiro tá que diz o seguinte em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango chocolate creme e flocos de quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas tá nessa sorveteria então pessoal repare o seguinte a vamos

supor que a quantidade bolas de morango é a quantidade boss o bebê ia para creme e de a quantidade de bolas de forma de flocos então a gente sabe que há mais ou b mas você mais o de deve ser exatamente igual duas bolas ou seja exatamente igual a dois como nós estamos vendo nesse momento gente esse dois aqui ó representa o que a quantidade de bolinhas no esquema que nós estamos usando para resolver na verdade e aqui nós temos quatro incorretas ou seja nós vamos utilizar aqui um dois três traços ou seja o número

de traços é maior do que a quantidade de bolinhas uma coisa é certa né pessoal nós teremos aqui ó alguns de sabores exatamente iguais a zero por exemplo nessa situação aqui ó nós temos nenhuma bola de chocolate porque a soma que deve ser exatamente igual a dois então que nós vamos ter nós vamos ter uma permutação oi tá de dois mais três elementos uma permutação aqui de cinco elementos dos quais duas são bolinhas e três são traços ou seja nós vamos ter aqui a 5 fatorial denominador então é 2 fatorial e o próprio três fatorial

isso daqui então fica 5 x 4 x 3 factorial denominador nós já temos a ler os três fatorial e dois fatores simplesmente o valor dois simplificando aqui nós vamos ter 5 x 4 é 20 / 2 10 possibilidade de escolha e o resultado então nós encontramos aqui ó na letra a de américa beleza certo então pessoal chegamos ao final dessa aula aqui de aprofundamento que trouxemos aí o assunto combinação repetição espero que tenha ficado tudo muito claro para você está só que é bem importante aí para o seu progresso nos estudos gente bons estudos aí

não bom e até os próximos vídeos tchau tchau tchau [Música]