📚 INTEGRAL INDEFINIDA - Cálculo 1 (#41)Se souber derivada, fica fácil!!

o olá neste vídeo você vai começar a aprender sobre integrais é o primeiro vídeo aqui essa parte de integração mas faz parte de um curso completo de cálculo um se você não assistiu vou deixar para você aqui na descrição do vídeo tem uma playlist com mais de 40 vídeo já até esse ponto tá bom bom abre o teu coração fica comigo até o final que você vai ver que esse assunto é muito tranquilo tá bom para acreditar olha só pessoal a gente começa a falando sobre integral indefinida nesse momento a gente não tá pensando em

conceituar integral mas apenas em ver a integração como um método que vai reverter a delegação então a ideia mais ou menos assim só tem uma função essa função você vai derivar em obter essa outra função a ideia tendo essa função aqui será que a gente consegue descobrir qual é a função que derivada se você já essa aqui claro que a gente consegue é só fazer o processo inverso ou seja daqui para cá você dele vou se você quer retornar você vai fazer o processo inverso esse processo inverso chamado de integração essa função aqui original que

derivada vai dar essa outra ela chamado de primitiva função primitiva dessa aqui beleza tranquilo né vem comigo a integral definida é a fusão de x é chamada de primitiva de f zinha de x o intervalo i você é derivada do f zone for a função f zinho deixei está vendo nesse intervalo super tranquilo então paulo deixou raciocinar para entender integral definida então eu preciso saber derivado com toda certeza se você sabe derivada tá tranquilo acho que você não vai ter dúvida nenhuma show vem comigo aqui para primeiro exemplos é a prisão de x igual x

cubo sobre três mais cinco e gesão de x igual x cubo sobre 3 menos 12 são primitivas da função f de x igual a x ao quadrado então significa o quê derivando essa e obtenho essa e derivando essa eu também obtenho essa vamos verificar isso então olha só o artesão linha de x com te falei você precisa saber derivada né olha eu pego o expoente 3 ele vem para frente multiplicando três vezes e aí eu subtrai um no expoente 3 - 1 e 2 essa técnica de derivação para monômio vão repetir o três tá vendo

a constante a gente pode repetir derivado a constante é zero então vai ficar mais zero morreu o assunto não sei nem colocar aqui eu posso simplificar o trecho com três e vou lá realmente da lá o nosso x ao quadrado então o e visão é uma primitiva dessa função porque derivando ele eu obtenho aquela lá tá certo e aí eu já vou adiantar então a integral disso aqui poderia ser o é fusão tá vendo ou verificar que a gtx também derivada vai dar a mesma função olha só um gelinho de x e fica assim então

o mesmo processo esse três vem para frente multiplicando e aí aqui eu vou diminuir um expoente 3 - um é dois ficando x ao quadrado repetimos a constante lá embaixo derivada de menos de 12 a 0 não morreu o assunto podemos cortar ao como fizemos na outra e tá lá obtemos então x ao quadrado por que que eu já comecei dando dois exemplos de primitiva porque na realidade toda a função que pode ser integrada ela vai ter uma família de funções que são primitivas suas dado que a constante sendo diferente não altera nada porque a

gente sabe que a derivada da constante é zero tranquilão pessoal de boa isso né vem comigo vamos continuar aqui ó é uma proposição zinha bem light se é fusão de x é uma primitiva de assisinho de x então sendo ser constante f som de x mais a constante também é uma primitiva de assisinho dx exatamente o que eu te mostrei aqui agora faz cinco menos 12 mais 30 - pe qualquer coisa sendo constante não altera você devia levar para mesmo lugar como consequência disso a gente poderia dizer sim se a visão em gesão de x

são primitivos da função f zinha então a diferença entre as duas é uma constância tá vendo para algum constante se você vir aqui o nome serva que ambas são primitivas dessa função subtraindo as duas claro vai dar uma constante porque ó esse termo vai morrer com esse tema ficar só um número 5 - ou menos 12 por exemplo que daria inclusive 17 tá bom então são coisas similares coisas obras dado que a derivada da constante a zero fechou vamos fazer aqui o nosso primeiro exemplo e determinar uma primitiva para a função f de x =

cosseno de x aí o que que você tem que lembrar tenho que lembrar o seguinte eu tô querendo descobrir uma primitiva vocês uma função que ao ser derivada e tocou sendo então você precisa saber derivada e aí você vai recorrer lá ato a tabela de derivadas por exemplo ou lembrar que por peraí eu sei que a derivada do seno é justamente por cento falou sei disso aqui ó ah se eu pego seno de x o líder ivo isso é precisamente é o cosseno de x a então a função seno de x é uma primitiva ou

seja eu posso viver aqui é prisão de x a primitiva que a gente quer e sempre ficar seria é o seno de x se eu quiser pensar numa família de primitivas ou seja em todas as funções primitivas que o constantes pode ter é só o somar aqui há uma constante porque na hora de fazer a derivada elevado cena com sendo derivada da constante é zero fechou que acontece aqui eu vou começar a escrever então da seguinte maneira a nomenclatura vai ser essa plano para pensar em primitiva e tal falar essas coisas eu simplesmente eu faço

não integrando do cosseno e obtenho sendo tá bom e ensino vai ficar assim ó o integral esse é um símbolo da integral e do cosseno e aí eu vou acrescentar aqui um termo que é o deixes que vai te indicar que eu estou fazendo o processo de integração na variável x então não se incomode com isso integrando o cosseno de x e obtém sendo dx mais ser pronto já pensei na família de derivados sou então a ti símbolo da integral né a função esse é o dx para estar relacionando com a variável que você está

considerando tão super tranquilo pessoal se a fusão de x é primitiva de f sim dx que veremos que a prisão de encher mais cedo é a leitura agora integral de f de x dx ficou claro para vocês beleza continua comigo só vou pagar o palio mais antes claro que eu vou deixar você pintar isso aí é um pintou show é rapidinho só vou apagar que o quadro para continuar com as explicações tamo junto conte não comigo eu vou pegar o quadro vamos lá pessoal sabe já tá apagado a gente vai começar calcular algumas integrais agora

tá bom bem devagarzinho um construindo esse conhecimento aos poucos primeiro eu quero falar de duas propriedades importantes e tranquilas olha aqui a primeira esse k é uma constante o número tudo bem integral de cá vezes f de x = k vezes a integral de f de x ou seja quando você tem uma constante que está multiplicando a tua função você pode jogar essa constante para fora da integral então você pode integrar a função e multiplicar pela constante depois tanto não é já consertei a integral de soma de funções ou subtração também você pode abrir isso

aqui em duas integrais isso pode ser feito pronto três somas é por uma soma de três termos quatro termos tá você pode expandir isso então integral de f mais g vai ser integral de f mais integral lg são coisas que eu vou omitir por enquanto demonstração porque são muito simples vamos por exemplo aqui agora pessoal só integral de 2 sendo xdx então esses dois aí se você desejar não precisa ficar trabalhando com ele você pode ver aqui ó pela propriedade um o jogo aqui para fora multiplicando a integral então eu tenho que fazer integral de

seno é de x dx e aí eu vou lembrar o seguinte bom eu sei lá de derivadas que se eu pego o cosseno o endereço vo bom a derivada do cosseno é menos o senhor já estudamos isso aqui nesse posto maçaneta positivo não tá negativo bom então naturalmente multiplica pelo menos um dos dois lados você há de convir que a derivada de menos o cosseno seria então menos comuns vai dar mais o oceano então a gente chega aqui que eu tenho duas vezes bom integral de seno é menos ficou sendo porque é derivado - cosseno

e que vai dar o senhor tão menos o cosseno de x tá certo que a gente pode naturalmente escrever menos dois cosseno de x repare que aqui eu não me preocupei com a constante que a gente precisa somar e tal a gente pode fazer isso no final tá bom eu poderia botar áquila resolver integral - cosseno mais a constante distribuiu dois mas não precisa você não a gente pega sempre e tenta não esquecer os matemáticos adoram esquecer a galera de física já não gosta porque é para física é muito importante mas tá lá tática lá

você que representa uma constante qualquer possível ler beleza ex vai o resultado então dessa integral super tranquilo né pessoal vamos fazer outro dia olha integral diana x + x dx o e paulo ficou difícil não ficou não ficou tranquilo eu vou abrir tá somando tá mesmo então abre ela x dx é mais integral de x me deixe sair o que eu te paguei você precisa saber sempre dir derivadas já estudamos que a exponencial e lanches ela é sua própria derivado então na verdade a integral dela é uma mesmo tá bom então seria ela x tão

somente e aí agora eu vou imaginar função que derivando me dá o x aí eu vou fazer aqui um rascunho nós como é que o expoente do x é um e ao derivar um monômio eu sempre subtrai um dos clientes eles esperar para fazer o inverso eu vou somar no expoente então seus parentes aqui é um eu imagino um x ao quadrado tanto é que olha aqui qual é a derivada de x ao quadrado manda ele vai assistir o quadrado é 2x e aí eu observo que poxa mas aqui tem um dois e lá não

tem dois então eu corrijo isso eu posso e aí e dividir por dois é porque aí ó de ver isso aqui estando dividido por 2 e aí eu repito este dois aqui e finalmente posso cortar e obtêm o meu x então tranquilamente eu consigo ver que a integral de x ao quadrado sobre dois tá lá x ao quadrado sobre dois acabei beleza vamos colocar nossa constante zinho ali então mais cedo a pau mas o certo era uma constante para cá uma constante para lá mas aí você soma essas duas constantes e dá uma outra constante

lá tá bom beleza vamos pensar assim fica mais tranquilo então tá aí pessoal tira o print e vamos seguir é claro que você sempre pode ficar retomando derivadas para poder fazer integrais a ideia justamente essa você vê que eu fiz aqui passo a passo eu construir com você qual seria a ideia de imaginar a função que derivada me deu x por exemplo né é só que já foi mais direto porque ela é a própria derivado desse mas é muito bom que você memorize então eu vou te apresentar aqui agora uma tabela de derivadas e se

você puder memorizar isso perdão mas tabela de integrais né você puder memorizar é ótimo você vai ganhar tempo tá certo então na internet você acha aí é pdf é só buscar mas eu vou escrever no quadro pra você também se você quiser tira um print e guarda isso no teu coração que vai ser muito importante depois eu já faço mais exercício tão continua comigo é muito importante também que se você está gostando da aula você manifeste isso através do seu like e também verifique se está escrito o caso não esteja inscrito inscreva-se que vai me

ajudar muito beleza tamo junto psol tira o print e vamos seguir tá bom já tá aqui no quadro a tabela de integrais imediatas que são aquelas que vão aparecer nos exercícios e é bom que você tem mente é uma dica que eu dou para você memorizá-las é você construirá sua tá eu acho que o bacana você tirar o print e deixar guardado com uma fonte de consulta mas é interessante você também é anotar a integral e tentar fazer sozinho a gente posta hoje e aí você tem que lembrar das derivadas porque em algum momento do

seu estudo você viu essas derivadas memorizou e tal e aí você rebuscando aí pela memória fica tranquilo que você construir a tua prova tabela beleza e aí você vai memorizando automaticamente mas é bom ter ali ó como coringa tá bom e observação né que vocês a frente novo essa aqui não tá super completa eu coloquei aqui algumas questões mais importantes talvez mas tem mais né que não caberia que não pago só se você digitar aí na internet no google tabela de integrais imediatas você pode achar outras aí mais completas show não agora ver alguns exercícios

então algumas integrais bacanas aí que a gente para utilizar isso vem comigo só vou pagar o quadro vamos lá pessoal vamos fazer aqui dois e para você ver como é que funciona então essa parte de integrais imediatas tá bom olha só quero calcular integral de 4x ao quadrado + 3 + x elevado a meio desse está pode fazer esse tipo de conta eu vou utilizar essa fórmula zinho aqui na nossa tabela de integrais imediatas a integral de unaí de um é igual um na n + 1 repare que o sol um ao expoente e vem

aqui dividindo porém mais um o mesmo cara do expoente entendeu mas a constante aqui eu tô colocando na variável o mas o que você faz aqui com o você faz com qualquer outra letra por exemplo x que é o que aparece aqui beleza vamos começar então desmembrando aqui pessoal a é tão tenho integral de 4x ao quadrado de x é mais integral de 3 o bx + integral de x elevado a meio de x paulo deixa eu te fazer uma pergunta preciso fazer esse processo de separar o poderia fazer direto uma uma aqui somar com

toda a certeza eu até estímulo que você faça assim é que esse nosso primeiro exemplo né então ao longo do curso terão mais vídeos eu vou começar a fazer isso de uma forma pouco mais rápido tá bom aqui eu pego o quatro e multiplico mesmo porque a constante pode sair da integral e pro x ao quadrado eu vou colocar nossa fórmula repare que na fórmula 1 x eo co2 é o n então você x elevado a 2 + 1 sem tem que somar 12 + 1 e 3 e dividir pelo mesmo valor e pronto tá

feito a nossa integral desse carinha aqui ó o rock integral de 3 oi e aí você observa o seguinte quando eu tiver integral de dx a gente pode imaginar o que seria integral na época o que sobra aqui como você coloca ele para fora integral de um vezes dx esse um poderia ser x elevado a zero se você quiser imaginar assim oi e aí o aplicar mesma forma tá o x é o meu um expoente o nc60 só quando você faz zero mais um um tão resultado aquecer a x elevado a um dividindo pelo meu

valor era mais um então vai ficar somente x tranquilo então a partir de agora eu até fiz esse processo aqui não precisava fazer isso tudo mas eu tô fazendo bem passo a passo nesse momento inicial a pastor agora que eu quero que você tem em mente de forma bem rápido é bem tranquilo quer integral de dx é o próprio x e acabou show se for só para te mostrar aqui é que nesse momento da aula eu tô sendo bem fazendo tudo com bastante calma bem devagarzinho tá então integral de dx é o nosso x mais

cedo e tá lindo então tirando três ficar só integral de x ou seja estudar o x repare que ainda não tô colocando as constantes vou fazer isso somente ao final e aqui eu aplico direto só x ^ ^ um um meio mais um que vai dar quanto hein vamos fazer aqui no rascunha é um meio mais 1/2 x 1/2 + 1/3 repete dois embaixo da 3 sobre 2 estão x elevado a 3 o bruxo e dividir pelo mesmo valor do expoente 3 sobre 2 beleza isso aqui já é o nossa resposta se você quiser fazer

algum tipo de arrumação né enfim conservar a primeira multiplicar por lugar segundo você pode mas acabou vamos fazer aqui para ficar bonitinho para vocês quatro terços de x ao cubo mais 3x mais bom é que eu conservando a primeira que é oxe se multiplicando pelo inverso da segunda fica dois terços aqui na frente se você quiser esse aqui viraria uma raiz quadrada de x ao cubo se você quiser tá não vou nem botar vou deixar assim mesmo é porque tá ótimo dessa forma mas poderia ser raiz quadrada de x ao cubo que é uma propriedade

de potência mas tá bom assim fechou olha aí bem tranquilo fazer um passo a passo a ideia que daqui a pouco você faça isso com muita velocidade vamos resolver essa aqui agora que vai te assustar no primeiro momento mas fica tranquilo tu vai ver que é muito fácil primeiro vou dar uma leve arrumação aqui de olho nessas duas formas que a gente tem nossa nossa tabela de integrais imediatas por isso que tem que saber tem que decorar não tem jeito bom eu tenho tangente sobre por cento repara que eu posso fazer assim perdão 5x tangente

de x e se coçando embaixo eu poderia escrever assim ó 1 e sobre o cosseno aqui ó ah tá certo com certeza poderia fazer isso né aqui de modo imediato eu tenho um sobre seno ao quadrado você o inverso do sinal quadrado o inverso do seno é justamente a cossecante se concorda comigo universo do seno é a torcer cântico como tá o quadrado então isso seria direto o secante ao quadrado de x então tá lá deixa perdão um oi e um sobre cosseno ou inverso do cosseno claro é a secante de x isso tudo é

importante saber em trigonometria trigonometria é uma parte importante para você ter base para o cálculo tá então fiquei com 15 que multiplica tangente vezes secante eu só vou colocar a secante na frente tá só para buscar ele a proximidade com a fórmula já que está multiplicando tanto faz a ordem secante vezes tangente mas o secante e ao quadrado de x dx como te falei tá somando a integral posso abrir duas integrais ou posso resolver pura e simplesmente isso de modo geral porque eu sei que é integral de secante às vezes tem gente aqui ó é

a secante esse cinco paulo só repete então já resolvendo cinco vezes a secante de x olha que lindo apliquei essa fórmula que secante vez tangente secante tangente a integral é a prova secante e do outro lado também uma integral e imediata e integral de cossecante o quadrado é menos a cotangente então aqui eu fico com menos o arco tangente no caso a variável x e acabou vamos jogar aqui só nossa constante somando e tá lá parecia ser bem difícil deixa eu ter voltar aqui para colocar a nossa constante bom e ficou lindo né tá vendo

desde que você memoriza o nosso formulário zinho ou se eu deixo você saiba bem as derivadas fechou eu tiro print e é isso espero que você tenha gostado e sobretudo entendido um beijo grande no seu coração valeu