O que é o Teorema de Green e como utilizar em cada caso? | Cálculo Vetorial

O que é o teorema de Grimm como ele vai ajudar a gente a calcular a integrais de linha em curvas fechadas vamos lá entender Oi gente meu nome é Ester milazquez e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai falar sobre o teorema de Green para as integrais de linha Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente para começar a falar sobre o teorema de Green vamos revisar alguns conceitos que vão ser importantes para a gente entender esse teorema

tá bom o primeiro conceito é o conceito de curva fechada então quando a gente tem uma curva C A gente vai falar que essa curva é fechada quando ela começa e termina no mesmo lugar então essa curva começa aqui nesse ponto e aí a gente vai tendo a curva sendo orientada né e o final da curva tá exatamente nesse mesmo Ponto Então não é por exemplo uma curva assim ou uma curva assim que começa e termina em lugares diferentes né aqui a curva fechada é como se fosse uma pista de Kart você sai aqui do

início e você dá a volta e chega no mesmo lugar onde você começou então em alguns casos a gente vai precisar calcular integrais de linha em curvas fechadas uma curva C que é uma curva fechada que cumpre com isso aqui e aí a gente vai falar que uma curva tem orientação positiva quando a gente está percorrendo essa curva no sentido anti-horário ou seja a gente está vindo nesse sentido assim então para ficar mais fácil de você entender quando a curva tem orientação positiva pensa que em qualquer ponto que você tiver aqui da pista de Kart

a parte de dentro da pista tá do seu lado esquerdo e a parte de fora da pista tá do seu lado direito isso em qualquer lugar que você tiver aqui quando você tá percorrendo essa pista no sentido anti-horário Então por que é importante a gente saber esse conceito de orientação porque a gente pode percorrer a curva nos dois sentidos a gente pode sair daqui e vir nesse sentido ou então a gente pode sair daqui e isso vai influenciar no valor da integral isso vai influenciar no cálculo que a gente fizer da integral de linha Então

como referência a gente vai falar que a orientação positiva padrãozão lá que a gente que você quer é orientação no sentido anti-horário tá bom um outro conceito que é importante a gente revisar antes de falar do Teorema de Green é que quando a gente está calculando a integral de linha de um campo vetorial que tem coordenadas FX fy FZ a integral de linha desse Campo na curva c com a diferencial Dr é a mesma coisa do que fazer a componente x de x + a componente Y D Y mais a componente ZZ Então o que

eu quero dizer com isso se você tem um campo F que ele é dado por exemplo 3x e dois y e aí você quer calcular a integral de linha de f em determinada curva C isso é exatamente a mesma coisa que a integral na curva c da primeira componente 3x vezes de x mas a segunda componente 2Y dy então é a mesma coisa tá bom gente isso aqui é uma relação que a gente viu lá nas aulas anteriores entre as integrais de linha escalares e vetoriais então isso aqui é uma verdade tá bom Agora sim

vamos começar a falar sobre o teorema de Grimm o que é esse teorema como ele vai ajudar a gente no que ele vai facilitar nossa vida o que acontece no teorema de Grimm é que a gente vai relacionar as integrais de linha que a gente tem visto até o momento nesse módulo com as integrais duplas que a gente vê lá em cálculo com várias variáveis a gente vai transformar uma integral de linha em uma integral dupla ou vice-versa em alguns casos transformar uma integral dupla em uma integral de linha gente então o que acontece tem

alguns casos que é um pouco complicado você calcular a integral de linha de uma função por exemplo você pode ter curva que é muito complicado de você lidar com aquela curva ou então que vai cair em mais de uma integral de linha diferente para você calcular só que o teorema de Grimm vem para facilitar sua vida nesse sentido ele vai encurtar as continhas que você vai fazer sabe porque ele consegue transformar aquela integral de linha se cumprir as condições que a gente vai ver em uma integral dupla que é uma integral que acaba ficando um

pouco mais simples de calculado dependendo do caso Então a gente vai conseguir relacionar esses dois tipos de integral para ver qual fica mais simples de a gente fazer qual vai dar menos contas E qual vai ser menos trabalhoso no final das contas né então vamos lá entender como vai funcionar esse teorema gente então vamos imaginar que a gente tem uma curva C uma curva que você conhece ali Você sabe a equação vetorial dela tem os parâmetros E aí você precisa calcular a integral de linha de um campo F ao longo dessa curva C bom você

até consegue calcular mas fica um pouco complicado ali porque vai dar umas contas meio estranhas e vai cair uns números que não são muito legais de trabalhar mas você sabe que essa curva é fechada e ela tem a orientação positiva ela tem orientação no sentido anti-horário Então vamos pensar o seguinte como essa curva é fechada ela tá delimitando uma região aqui dentro né Então ela tá fechando encapsulando aqui digamos assim uma região que tem vários pontinhos x y então a curva fechou aqui fechou a porta e formou uma casinha ali de vários pontos vamos chamar

essa região aqui dentro de região de é a região delimitada pela curva C O que o teorema de Green vai falar para gente que se a gente tem uma curva C que é orientada positivamente e você quer calcular essa integral de linha ao longo da curva C sendo que o nosso campo vetorial F é p na primeira coordenada e que na segunda coordenada né então cai nessa integral de linha aqui a gente pode transformar isso em uma integral dupla simplesmente fazendo a integral dupla na região de que essa aqui delimitada pela curva da derivada parcial

de que em relação a x menos a derivada parcial de P em relação a y Então você transformou uma integral de linha em uma integral dupla Ó gente então aqui nesse caso a gente tem um campo F que a primeira coordenada dele é algum P de x e y e a segunda coordenada dele é que de x y e aí você quer calcular a integral de linha de F ao longo da curva C essa integral de linha seguindo o conceito que a gente viu no começo da aula é a mesma coisa que a integral de

p DX mas que de y ao longo da curva c e o teorema de Green fala para gente que se essa curva C for orientada positivamente então vocês tiverem no sentido anti-horário com essa curva E além disso p e q forem funções contínuas com derivadas parciais também contínuas você pode escrever essa integral dessa forma como uma integral dupla agora vem uma pergunta como eu sei se a minha curva C tá orientada positivamente ou exercício vai te dar algum sinal disso então ele vai falar e saindo desse ponto indo para esse E aí quando você forma

a figura você vê que é uma curva orientada positivamente ou então ele vai te dar a integral com uma dessas notações aqui ó ou ele vai dar com essa bolinha no meio da sua integral ou então com essa diferencial de D aqui então sempre que ele der integral com uma dessas notações você já pode ter certeza que a sua curva tem uma orientação positiva Tá bom então vamos fazer alguns exemplos de como a gente usa o teorema de Grimm a gente quer calcular a integral de 2x DX + x² x y d y ao longo

da curva você que é dada por esse desenho aqui esse triângulozinho que a gente tem no plano x y gente vamos analisar essa curva c a gente consegue ver que é uma curva fechada né e pelas setinhas a gente tem que ela te orientada no sentido anti-horário Então ela tem uma orientação positiva então você pode calcular isso aqui usando integrais de linha só que você vai ver que você vai cair em três integrais de linhas diferentes uma para essa parte aqui em pé outra para essa parte diagonal e uma outra integral de linha para essa

parte deitada porque você não consegue parametrizar sua curva como um todo aqui em uma integral de linha apenas para calcular essa integral Então você até pode fazer mas você vai cair em três integrais de linhas diferentes Tá bom então como a gente pode fazer para calcular essa integral de linha de uma forma mais simples chegar no resultado de uma forma mais fácil bom como a gente tem uma curva fechada que delimitando uma região de aqui e tá orientada positivamente a gente pode pensar no teorema de Green né transformar a integral de linha que a gente

precisa calcular em uma integral dupla então vamos fazer isso aqui o primeiro passo de todos para a gente usar o teorema de Green claro que a gente verificar se a nossa curva é fechada né agora a gente precisa encontrar quem é p de x y e quem é que de X Y então o p é que multiplica o DX aqui na sua integral ou seja é a primeira coordenada do seu campo F que vale 2x e o que é a segunda coordenada do seu campo F que é quem tá multiplicando D Y que vale x

ao quadrado vezes Y legal já temos quem é p e quem é que agora para colocar isso o teorema de Green a gente precisa encontrar a derivada parcial de que em relação a x menos a derivada parcial de P em relação a y Então esse vai ser o nosso segundo passo encontrar quem é de que de x e quem é dpdi então gente toma cuidado o que multiplicava o dy você deriva em relação a x e o que multiplicava de X você vai derivar em relação a y então inverte tá bom então de que DX

é a derivada de x ao quadrado vezes Y em relação a x que vai dar 2 x y e o dpd y é a derivada do P em relação a y aqui não tem Y né então é derivada de uma constante que vai dar zero então colocando isso né integral a gente vai ter a integral dupla região de que é delimitada aqui pela sua curva do de que DX que é 2 x y menos de PDI que vale 0 então aqui fica só o 2xy com a diferencial diária então quando a gente calcula integral dupla

a nossa diferencial é diferencial de uma área né legal gente então basicamente a gente cair em um exercício de integrais duplas que tá falando o seguinte para gente calcule a integral da função 2 x y na região de que é essa região aqui delimitada pela sua curva Então como a gente calcula essa integral dupla gente a gente precisa identificar quem é a região de encontrar de onde até onde tá variando x e de onde até onde tá variando Y então a região de vai englobar os pontos x y Tais que ó vamos entender que essa

região lembrando lá dos conceitos de integrais duplas em regiões Gerais então o x tá variando entre constantes né ele tá variando de zero até um então a gente pode colocar aqui x varia entre 0 e 1 e o y o y também começa no zero ele começa aqui na horizontal no zero bonitinho só que o y ele não tá variando até algum valor específico ele tá variando até essa reta diagonal aqui ele tá variando até ela em todos os sentidos né então ele nunca vai ultrapassar acima dessa reta Então o y tá variando até a

reta que passa pelo ponto zero zero e pelo ponto 1 Quem é essa reta gente a reta onde o y é sempre igual X é a reta identidade né y = x então o y tá variando sempre até aquele valor de X então quando X é 0,5 o y só vai até 0,5 que é onde está essa reta aqui então a gente encontrou aqui de onde até onde varia o x e de onde até onde varia o y sempre lembrando dos conceitos de integrais duplas em regiões Gerais Então como vai ficar a nossa integral dupla

gente a gente tem a integral dupla da função dois X Y como x está variando entre constantes e o y tá variando entre funções a gente vai colocar a diferencial do Y primeiro variando de zero até x e depois a diferencial do X variando de zero até um e agora é só a gente resolver essa integral dupla a gente resolve de dentro para fora né então começando pela integral de dentro a gente tem a integral de dois x y em relação a y de 0 até X então a primitiva de dois x y em relação

a y o 2x é uma constante que tá multiplicando Y né então vai ficar essa constante vezes a primitiva de y que é y ao quadrado sobre 2 só que aí a gente pode cortar o dois em cima e embaixo e nossa primitiva fica simplesmente x vezes y ao quadrado e aí a gente calcula isso de Y igual a zero até Y igual a x substituindo Y por x vai ficar x vezes x ao quadrado e substituindo Y por 0 fica x vezes 0 ao quadrado Isso aqui vai zerar e portanto o resultado dessa integral

de dentro aqui a integral em relação a y é x vezes x ao quadrado que dá x Ao Cubo Então já encontramos o resultado da integral mais interna agora vamos para integral externa que a integral em relação a x a gente vai integrar o resultado da integral interna que deu X ao cubo de 0 até 1 em relação a x a primitiva de x ao cubo vai ser x a quarta sobre 4 e a gente calcula isso de x = 0 até x = 1 substituindo X por 1 vai ficar uma quarta sobre 4 e

substituindo X por 0 fica 0 / 4 então o resultado final é um quarto Esse é o valor da nossa integral dupla dessa integral aqui que consequentemente pelo teorema de Green é o resultado da nossa integral de linha da integral de 2x DX + x² d y ao longo da curva C isso nada mais é do que a integral do campo F que tem coordenadas 2x e x ao quadrado vezes y ao longo dessa curva C ou seja o trabalho realizado por esse campo vetorial para mover uma partícula ao longo dessa curva fechada então do

começo ao fim dessa curva é um quarto Esse é o trabalho realizado lembrando da interpretação física das integrais de linha agora vamos ver esse exercício aqui gente a gente quer a integral de linha ao longo da curva C sendo que essa curva seta é orientada positivamente por causa dessa bolinha aqui no meio da integral e aí a gente tem XY de x + x ao quadrado de y Lembrando que isso quer dizer que a gente está calculando a integral do campo F que tem coordenadas X Y x² né E aí ele fala para gente que

a curva c é o retângulo que tem esses vértices aqui então vamos que desenhar esse retângulo só para a gente ver como ele é como ele tá se comportando Então a gente tem um vértice no ponto zero zero outro vértice no ponto 30 então quando X Vale 3 e y vale zero outro vértice no ponto 31 e outro vértice no ponto 0 1 quando X Vale 0 Y Vale 1 Então essa aqui é essa curva é um retângulo e a gente quer calcular a integral de linha nesse retângulo você pode fazer usando integral de linha

Então parametrizando o que a gente tem aqui só que aí você vai ter que parametrizar quatro coisas diferentes cada um dos lados do seu retângulo né E aí você vai cair em quatro integrais de linha então compensa mais a gente verificar que o uso do Teorema de Green como ele já deu para gente que a curva é orientada positivamente a gente já sabe que ela tá no sentido anti-horário e é uma curva fechada né é um retângulo fechadinho começa e termina no mesmo lugar então a gente tá apto para usar o teorema de Green aqui

nesse exercício tá permitido Então vamos lá Primeiro passo é a gente identificar quem é p e quem é que então vamos lá p de X Y é quem tá multiplicando de X então é x vezes e que de X Y é quem tá multiplicando dy que é x ao quadrado agora vamos encontrar a derivada de que em relação a x então ao quintal vamos multiplicando y a gente deriva em relação a x e a derivada de P em relação a y a derivada de que em relação a x vai ser a derivada de x ao

quadrado que é 2x e a derivada de P em relação a y é a derivada de x vezes Y então uma constante vezes a nossa variável que é derivada da própria constante Então a nossa integral de linha vai cair em uma integral dupla na região de que a região aqui delimitada pelo retângulo do dqdx que é 2x - o dpd y que é x então a gente quer calcular a integral Dupla na região de 2x - x que é x Essa é a integral que a gente vai calcular e que vai dar o mesmo resultado

dessa integral de linha aqui porque a nossa curva é fechada e é orientada positivamente Então vamos analisar quem é a região de para a gente poder montar a integral dupla aqui nossa região de é uma região retangular então a gente cai no tipo mais simples de integrais duplas é uma região retangular e que portanto x e y vão estar variando entre constantes o x está indo de 0 até 3 né são os valores onde o x está variando e o y tá variando de 0 até 1 então a gente já tem a variação da região

da integral dupla Nossa integral vai ficar assim ó a integral de X como tanto x quanto Y estão variando entre constantes tanto faz colocar o DX ou de y Primeiro vou colocar o DX aqui que tá variando entre 0 e 3 e o Day que tá variando entre 0 e 1 Então vamos começar pela integral de dentro que é a integral de X em relação a x de 0 até 3 A primitiva de X como a gente tem X elevado a 1 a primitiva é x ao quadrado sobre 2 e a gente integra isso de

x = 0 até x = 3 então substituindo X por 3 vai ficar três ao quadrado que é 9/2 e substituindo X por 0 fica 0 sobre 2 então o resultado da integral de dentro é 9 sobre 2 agora vamos fazer a integral de Fora que vai ser a integral de 0 do resultado da integral de dentro em relação a y então a gente está integrando uma constante a primitiva de uma constante é essa própria constante vezes a nossa variável e a gente faz isso de y = 0 até Y = 1 substituindo Y por

1 a gente vai ter nove sobre dois vezes um e substituindo Y por 0 vai ficar zero então o resultado final da nossa integral é 9 sobre 2 esse é o resultado da integral dupla que a gente tem aqui e essa integral dupla veio justamente da integral de linha do campo x y x² em uma curva fechada usando o teorema de Green a gente conseguiu chegar no mesmo resultado de uma forma muito mais simples gente agora para fechar vamos ver o que acontece se a nossa curva não estiver orientada positivamente então a gente tiver uma

curva fechada bonitinha mas orientação dela for no sentido horário ao invés de ser anti-horário então aqui a gente quer calcular a integral desse Campo F ao longo da curva C sendo que a curva c é a circunferência X ao quadrado + y² = 25 então é uma circunferência de raio 5 né orientada no sentido horário então vamos ver como essa curva a gente tem uma circunferência essa entrada na origem e ela tem raio 5 só que essa circunferência tá andando no sentido horário então ela tá andando nesse sentido assim ó igual um relógio mesmo mas

pô a gente tem uma curva fechada bonitinha tinha tudo para ser uma integral de linha onde a gente pudesse usar o teorema de Green então gente vamos pensar a gente quer calcular a integral de linha de fdr ao longo da curva C isso é a mesma coisa que a integral ao longo da curva c da primeira coordenada de F que é oiler levado a x + x ao quadrado Y DX + a segunda coordenada de F que é oiler elevado a y menos x y ao quadrado de y Mas a nossa curva c não tá

orientada positivamente então em teoria a gente não poderia usar aqui o teorema de Green e realmente a gente não pode usar direto mas a gente pode lembrar que se a gente tem duas curvas C1 e C2 só que uma tá orientada positivamente e a outra está orientada de forma negativa a gente vai ter que a integral do campo F ao longo da curva C1 é o negativo da integral do campo F ao longo da curva C2 Então o que a gente pode fazer aqui a gente pode considerar que a curva C esteja orientada positivamente ó

a gente quer a integral de linha de F ao longo da curva C que está orientada de forma negativa Mas é só a gente fazer então O negativo da integral de F ao longo do negativo da curva C ou seja da curva C orientada de forma positiva então a gente pode calcular essa integral aqui usando o teorema de Grimm já que a gente vai ter uma curva positiva e depois é só trocar o sinal do resultado que aí a gente vai ter a integral que a gente realmente queria a integral com a orientação negativa então

Vamos considerar aqui primeiramente que curva esteja orientada positivamente tá bom E aí a gente calcula o teorema de Green nessa curva orientada de forma positiva então em menos c p de X Y é que multiplica de x que é oiller elevado a x + x² x y e q de X Y é que multiplica dy que é oiler elevado a y menos x y ao quadrado Então vamos encontrar quem é de que DX a derivada de que em relação a x a derivada do primeiro termo É zero né porque é uma constante em relação a

x e a derivada de menos x y ao quadrado vai ser menos y ao quadrado agora a derivada de P em relação a y a derivada de óleo elevada x vai zerar né que é uma constante e a derivada de x ao do Y vai ser x ao quadrado então usando o teorema de Grim a gente vai ter a integral dupla na região de que a região dentro dessa circunferência de raio 5 do dqdx que é menos y ao quadrado menos o DP de y que é x ao quadrado então isso aqui vai ser a

integral dupla na região de menos x ao quadrado mais y ao quadrado com a diferencial diária Essa é a integral dupla que a gente quer calcular sendo que D é a região dentro da circunferência de raio 5 então gente como a nossa região é uma região que está em uma circunferência é uma região circular para resolver esse integral dupla a gente vai transformar para coordenadas polares Tá bom então coordenadas polares na nossa região o r varia de até cinco que é o raio da circunferência e a gente tá dando a volta completa aqui dentro da

circunferência então o teta varia de 0 até 2 pi e x ao quadrado mais y ao quadrado é a mesma coisa que R ao quadrado Então essa integral vai ficar assim ó a integral de menos R ao quadrado aí a gente multiplica eu já cobiano que é R né E aí fica Dr deteta o r varia de 0 até 5 e o teta de 0 até 2 pi Então a gente tem a integral de -r Ao Cubo Dr detecta com r variando de 0 a 5 e teta variando de 0 a 2 pi então só

lembrando lá de integrais duplas de quando a gente viu essa matéria a gente passa para coordenadas polares sempre que a gente tem uma região circular porque Vai facilitar completamente os nossos cálculos mas aí agora a gente resolve como uma integral dupla normal então resolvendo a de dentro a gente tem a integral de -r Ao Cubo em relação a r de 0 até 5 então a primitiva de R Ao Cubo em relação a r r a quarta sobre 4 e a gente calcula isso de R = 0 até R igual a 5 então substituindo R por

5 a gente tem menos 5 a quarta sobre 4 e substituindo R por 0 vai zerar né então fica só menos 5 a quarta sobre 4 5 elevado a quarta dá 625 então fica menos 625 sobre 4 e agora vamos para integral de fora que a integral em relação a teta então a integral de 0 até 2 pi do resultado da integral de dentro que é menos 25 sobre 4 então a gente está integrando uma constante a primitiva de uma constante essa própria constante vezes a variável teta E aí a gente calcula isso de teta

igual a zero até teta igual dois pi substituindo teta por dois pin a gente tem menos 625 sobre 4 vezes 2 pi e substituindo o teto por 0 vai zerar né fica 625 / 4 x 0 então Sobra só esse termo aqui dividindo por 2 em cima embaixo já que aqui nos dois a gente tem um múltiplo de dois vai ficar menos 625/2 x Pi Mas ó cuidado esse é o resultado da integral de linha de quando a gente tá fazendo com a curva orientada positivamente então a gente deixou ela orientada positivamente para a gente

usar o teorema de Green então para encontrar o da curva orientada no sentido horário que é o que a gente realmente quer é só fazer o negativo desse resultado então a integral de linha de F ao longo da curva C vai ser menos menos 625 sobre 2 vezes pi trocando o sinal fica 625 sobre 2 vezes pi esse aqui é o resultado final da nossa integral bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue

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