Cálculo I - Aula 29 (1/3) Sólidos de Rotação: volumes e um pouco de áreas

[Música] bom vamos lá então gente continuar a a ideia tentar continuar o que a gente estava fazendo agora calcula volumes cumprimentos voluntários e cumprimentos né assim são os objetos geométricos as medidas geométricas que a gente consegue transportar pra esse novo contexto tá então só para dar uma retomada na hora passava a gente chegou a calcular obter uma forma para como determinar o volume de um sólido de rotação em torno do eixo x rotação de um gráfico né então só pra a reescrever a gente tinha uma função definida no intervalo a b como é que a

gente ouve tinha uma escola era a fórmula pro volume do sólido de rotação em torno do eixo x o volume era dado pela integral de até b hip vezes é o quadrado xx está certo que é intuitivamente que a gente está fazendo você pensar como uma soma de riman que é e se integrando aqui eu tô pegando pra cada ponto x altura da função e calculando a área da circunferência de raio fdx tão bem efetivamente o que a gente está fazendo está somando vários círculos né empilhando vários círculos de raio variável vendo isso como um

sólido e dizer que o volume a soma dessas nessas áreas há entre as muito entre aspas isso né ok se você olhar tem alguns exercícios na lista como como ele aponta agora você pode estender esse conceito em um país não precisa pensar que as sessões são sempre círculos quer dizer se você tem figuras geométricas cujas sessões todas elas dependem de uma única variável você pode calcular o volume dessa figura como se fosse a integral no intervalo conveniente dada função que determina a área de cada sessão o exemplo é um exercício está na lista a gente

pode fazer depois nas aulas de exercícios pede pra você calcula o volume de uma pirâmide como é que se pode pensar na pirâmide pode pensar que você tem uma reta em cima de cada uma dessas regras você perder um quadradinho você tem uma reta em cima de cabeça que esse quadrado aqui está saindo da lozzo tá então são quadradinhos todos eles de vão variando conforme o pim duro em cima dessa reta então pra cada ponto x eu vou ter um quadrado eu sei calcular e desse quadrado quem seria o volume dessa pirâmide integral dessa função

que te da área da cessão da figura em cada ponto dá pra você tentar fazer esse exercício desse jeito já é uma boa começar a fazer isso tá então ok a gente tinha calculado alguns exemplos do passado não fiz a conta do como calcular o volume da esfera né só disse que era acho que vale a pena a gente fazer isso talvez terceiro exemplo não lembro a função que a gente tinha portanto a r ao quadrado - x quadrado ea yoshi's dentro do intervalo de menos de r até gráfico vai te dar uma semi circunferência

de raio é rodando é só servir circunferência em torno do eixo x obtinha esfera como é que ficaria o volume nesse caso nesse caso a gente vai ter integral de - rtr dp vezes a função quadrado né também que dá isso quais são as primitivas qual a função da afeição que a primitiva de pife serra ao quadrado lembrando que estão integrando variável x né pe r ao quadrado x isso vou calcular de - rtr - qual a primitiva de pyxis ao quadrado pyxis ao cubo sobre 3d - rtr bom quanto que dá esse aqui o

extremo superior vai dar pierre é o cubo - tim - é o cubo né então vai dar fiel como mais fiel cubo 2pi ao cubo e aqui a gente vai ter o que menos na primeira vai ficar pierre é o cubo sobre três e na outra e se menos com - a fórmula 1 mas pierre okubo sobre três né desculpa vai dar duas vezes aqui né uma função para substituir o extremo cuidado com o sinal vai ter isso e aí o que vai acontecer lá então tinha no mínimo quatro terços de pêra também então de

fato bate com o volume da esfera outra coisa que a gente consegue fazer pode chamar-se aqui dever x pra não ter dúvida na forma de xis o volume de rotação em torno do eixo x a gente pode fazer a gente pode rodar o gráfico e volta do eixo y e tentar obter o volume também né então um segundo caso tá supõe que você tem então intervalo a b e c têm uma função aqui tá bom eu posso rodar em volta dele x foi que a gente acabou de fazer posso rodar si só essa o gráfico

em volta do eixo y é obter um sólido você consegue visualizar como é que a história de uma coisa vazada no meio então quando eu giro é uma coisa vai ficar muito bom não mais tá então eu tô pegando essa região do plano e rotacionando ela e volta do eixo x dá pra imaginar o que fica é por que você pode pensar que tem um cilindro fora cilindro de raio b e eu cortei é o meio dele por conta do gráfico da função é bom dá pra imaginar qualquer figura então aqui você tem um circo

aqui também a mesma coisa não dá para imaginar qual é a figura que a gente tem né pensa nessa área operacional bada e volta deixe a gente consegue calcular esse volume não tentar né qualquer idéia a gente rodou e volta do eixo x o que a gente fez a gente passou no intervalo por exemplo esse aqui seria um sub intervalo da partição certo quando a gente rodava em volta do eixo x o que a gente tinha um cilíndrico né cilíndrica de altura igual ao delta tiê e raio igual ao valor da função no ponto foi

escolhida ou sei conveniente escolhi quando rodar isso em volta do eixo y que eu vou obter consegue ver geometricamente porque a gente tem ali um anel eu vou ter um cilindro de fora quando giro europeu cilindro dado por essa reta vertical e depois voltamos cilindro lá dentro nada para essa reta vertical então quando eu tô tirando esse retângulo o que obtenham um anel cilíndrico e sabe calcular o volume desse anel cilíndrico é o volume do cilindro de fora - o doce livro de dentro tá então o volume do anel nesse caso o que é vai

ser como é que o cálculo do volume do cilindro de fora pensa que aqui você tem esse ponto eu tenho menos um e esse é que eu tenho é que dá pra gente fazer como é que o volume do cilindro de fora vai ser a área da base vezes altura tá eu posso pensar no seguinte eu posso qual é a altura do cilindro que eu vou construir vamos pegar aqui o ponto que é o ponto médio tá quem é o ponto médio têm mais têm menos 1 sobre dois estou certo então vou pegar esse cara

e vou olhar por cilindro de altura igual ao fc no ponto médio tá é um cilindro é uma possível escolha de cena eu tenho que escolher um cara dentro de casa subi intervalo eu tô pegando sempre o ponto médio então vai ser e tenha o quadrado vezes efe esse é o volume do cilindro de fora que têm raio tiê e altura fdc e menos em vezes o raio do cilindro de dentro vezes a altura que eu tô pegando mesmo é isso aqui tudo bem que dá para escrever isso epe para pôr em evidência pief de

sair daqui eu vou ter o que tenha o quadrado - tem menos 1 ao quadrado isso a torna e é seis vezes têm mais têm menos 15 vezes têm menos tem menos um bom produto da sua pela diferença diferenças quadrados tenho sei aqui dentro aparecendo tem se você fizer essa mágica que se divide aqui por 2 x 2 é a mesma coisa né e agora que eu tenho isso então o que a gente vai concluir isso vai me dar efe vezes e tem menos tem menos o que a gente chama de delta sigma então o

volume de cada um dos anéis cilíndricos que obtenho rotacionando desse jeito é às vezes o valor da função no ponto médio de cada sub intervalo vezes o ponto-médio vezes altura e 12 na frente obrigado tá então quem seria uma boa aproximou o boa não sei se é mas uma aproximação para o volume do sólido seria a soma dos desses volumes desses anéis vinhos tá então quando a gente olha pra essa aproximação eu vou ter uma soma que vai ter a seguinte cara né soma para indo de 1 km do isp sei é a delta tem

pergunta você consegue enxergar isso como soma de rimo de alguma função de escrever isso aqui como sendo a soma de rima de alguma função relativa partição p e sujeito a escolha dos seis que tinha questão quem é a função que estou calculando qual é a função a função que o cálculo é o que aparece os seis aqui né então a função em questão é 2 pe x fdx tá bom é uma soma de rehman desse tipo por hipótese a gente começa com uma função efe que é integrável se quiser pensar 90% dos casos vai ser

contínuo então tem uma função contínua chefe é contínua isso aqui tudo é uma função continua portanto a função que eu estou calculando a soma de ryan é uma função integrada se é uma função integrada o que eu posso garantir que se a norma da partição tende para zero essa soma de renan converge para quanto à integral da norma se as normas da partição tende para 0 ea função é integrável essa soma de rima com verba integral e essa integral eu vou dizer que é o volume embaixo gerado pela parte entre o eixo x geográfico da

função quando roda em volta do eixo y oro então com isso tomando limite a gente pode dizer que o volume em volta do eixo y é igual integral de até b d2 pi xfx deixe corta a gente consegue calcular o volume de sólidos de rotação em volta do eixo y 2 x 2 filhos chega a ter feito a pergunta dele é muito boa quer dizer se eu não quiser calcular exatamente em cima do eixo y mas em torno de um eixo paralelo ao chip que eu posso fazer uma translação e trazer esse eixo que não

é o eixo x igual a zero pra lá como é que eu faço isso por exemplo se eu quisesse em volta do eixo x igual 2 que eu tenho que fazer é trazer todo mundo duas unidades para a direita que aqui que isso corresponde a trocar xx - a constante de transação é bom você troca xx - dois faz isso quando você está rodando em volta do eixo x a gente tem essa fórmula se você não quiser uma rotação em volta de chisa em volta de um outro eixo horizontal que eu tenho que fazer é

fazer uma transação vertical no gráfico o que é uma transação vertical no gráfico é somar uma constante na função efe tom fdx mais alguma coisa ao quadrado e se eu quiser fazer uma transação na horizontal vai ser f e x menos alguma coisa dentro do parente é bom mudar o argumento da função promove transações horizontais e soma constantes no valor da função promove concentrações verticais então quando você for fazer as contas têm exercício na listá calcula o volume rodando em volta do eixo y igual a 2 que tem que fazer trazer tudo duas unidades para

baixo por fazer um exemplo dessa rotação em volta do eixo y tá é isso vamos pegar esse aqui a gente tem essas duas formas aqui né essa ia fazer um exemplo aproveitou do vestido a gente já fez 31 pensar na seguinte região do plano isso mesmo o prefeito tá então isso aqui te dá uma região no plano a gente consegue desenhar essa região sim né como fica bom chiça entre zero e 2 tá bom então por enquanto restrito essa faixa vertical que a gente sabe delimitação y com certeza maior do que zero então eu tô

com essa meia faixa se você quiser pensar mas o y também não pode passar de x quadrado sobre dois mais um que x quadrado sobre dois mais um uma parábola está certo uma parábola aqui no ponto zero vale 1 e no ponto 2 vale quanto isso aqui três certo então deixou melhorar isso a kibon está por aqui três então é uma parábola isso aqui tá bom então o que a gente sabe que por enquanto a minha região é esse pedacinho acima do eixo xx entre 02 e abaixo dessa parada a outra restrição ao que é

o y tem que ser maior igual x quadrado - um queixo quadrado menos um é outra parábola onde uma das raízes é um tom certo então num e ela vale zero e no 2 ela vai valer quanto 3 também tá então vai ser essa parábola aqui continua pra cá mas não interessa pra gente então qual é a região a que estou interessado aqui isso aqui né bom então peguei essa região vai pensar a ponta de um barquinho assim a proa de um barco eu quero rotacionais em volta do eixo y e calcula o volume como

é que a gente pode fazer consegue imaginar a figura geométrica que dá isso pode pensar que está fazendo o seguinte pega paraguai x 2 - 1 gira elas obtêm uma figura que a gente chama de 1 para o bologna tá é o que a gente fez corta no nível 0 ficou com base plana e depois por dentro eu vou comendo isso de algum jeito então voltou à superfície um a um é como se fosse um chapéu uma coronha da chama aquela malévola uma coisa desse tipo então que eu quero calcular o volume desse sólido aqui

tá certo como é que a gente pode fazer esse volume veja que ele não é restrito por uma função só tá então é a área determinada entre dois gráficos como é que eu posso fazer isso eu posso fazer o volume de cima e subtrair o volume da rotação do eixo y de baixo então quem seria esse volume para a gente em torno do eixo itu que é o volume gerado pela curva de cima é simplesmente a rotação dessa função aqui que a x quadrado sobre dois mais um tá então essa seria integral de 0 até

2 como é que a forma do esp x vezes nesse caso quadrado mais disse mais um isso vai me dar um volume limitado abaixo da parábola que está por cima o que eu preciso subtrair precisa tirar esse pedacinho aqui que está mais né e quem quer sp dá sim é o volume gerado por essa outra parábola e ele é dado pelo que pelo integral de 1 até 2 daquela forma então - integral de 1 até 22 pyxis vezes a outra parábola x 2 - tá bom acho que essa todo mundo sabe fazer bem tranquila é

dar tudo polinômios sabe qual permitiu faz isso vai dar um número que é o volume daqueles chapeuzinho ok não sabemos calcular volumes outra coisa que a gente podia querer calcular são áreas né então de novo vou pegar um gráfico volgina ele volta do eixo x isso produz uma superfície que a gente viu no finzinho dá uma passada para cá é como calcular o volume delimitado por essa superfície o nosso próximo plano é tentar calcular a área dessa superfície certo a ideia é prudente você roda uma função constantes e obter um cilindro eu quero palco área

lateral de cilindro por exemplo e agora não precisa mais cilindros então áreas superficiais né num área tem que ser profissional então o espírito aqui é mais ou menos o mesmo então quando você rodada vai ter essa superfície aqui e mudar um pouquinho para enfatizar uma coisa que eu vou precisar falar depois isso tá aqui você tem um ponto até um ponto b eu quero cálculo área dessa superfície qualquer ideia como é que eu poderia ao calcular a área da superfície por exemplo uma ideia vai ser sempre a dividir o intervalo quando rodar isso aqui pensa

que eu rodei só essa fatia aqui né faz de conta que a figura da supersimetria também quando eu rodo isso eu vou dar um destaque de uma coisa com que figura geométrica parece isso aqui de alguma que você saiba calcular com cilindro pareceria se essa coisa fosse pouco inclinada estou certo desse jeito que estou vendo é um tronco de conde né tá bom então se eu souber cálculo área do lateral do tronco de cone eu conseguiria obter uma aproximação boa pra isso certo tentar desenvolver sua forma a uma pergunta se falou hoje é tentar calcular

um cilindro cilindro nesse caso não é uma boa aproximação né quer dizer desses pontos aqui eu preciso escolher uma reta que parece muito com essa fatia laranja do gráfico da função r se eu tô num ponto do gráfico de uma função qual das retas que eu vou escolher a melhor aproximar a função naquele ponto a reta tangente então pegar uma reta horizontal é meio arriscado aqui né tá bom então a melhor aproximação possível que seria reta tangente a gente usa usando a reta tangente eu vou ter um tronco de cone eu consegui alcançar como é

que a gente calcula essa área de novo né se você pega uma pega uma partição de modo que esse ponto aqui eu tenho menos um esse ponto aqui é o t a gente escolhe eu sei como sendo o ponto médio como é que a gente pode calcular o volume a área daquele tronco de cone como é que era isso você vai pegar é o cumprimento desse segmento certo complemento do segmento que ele esses extremos do gráfico vezes 2 vezes a cumprimento da circunferência de raio na altura média você tem um tronco de cone assim calcular

a lateral dele o lateral deles vai pegar o ponto médio altura média nec metade da altura enquanto que essa medida nunca r vai pegar o cumprimento dessa circunferência que pertence ao cone tudo bem em vez disso a medida dá desse segmento que se chama isso de certa forma para a área lateral de um tronco de conta