en este vídeo les voy a explicar los primeros conceptos para empezar a estudiar las ecuaciones diferenciales obviamente que lo primero es entender que es una ecuación diferencial les voy a presentar un problema un estudiante olvidó en una en un examen la regla del producto para la delegación y cometió el error de pensar que la derivada del producto de dos funciones es el producto de las derivadas sin embargo el profesor se asombró porque tuvo la suerte de estudiante de llegar a la respuesta correcta en el examen la fx es el área que es cuadrado fue la
función de x que le dio suerte a este estudiante fíjense que el estudiante cometió el error de decir que la derivada de f porque f prima porque prima mientras nosotros ya sabemos lo que dice la regla del producto esa función g es aquella que hizo a la expresión de la derivada incorrecta coincidir con la expresión de la derivada correcta cuando la f de 10 a la x cuadrado si hacemos una sustitución de reemplazar la f y su derivada no quedaría la derivada de f es exponencial por la deriva de tis cuadrado porque + f porque
prima igual a esta derivada de f porque prima si agrupamos este término que tiene que prima con este y pasándolo a este lado derecho hacia la izquierda y llamando y a la función gdx nos quedaría esta expresión fíjense que es una expresión en el cual la incógnita es una función por eso le voy a llamar esta es una ecuación esa incógnita que es y está afectada también por la derivada es decir entonces en esta ecuación aparece la incógnita junto con su derivada por eso le voy a llamar ecuación diferencial del problema formalmente la definición de
ecuación diferencial dice que es una ecuación que relaciona a una función desconocida cuya variable ahora le llamaré de dependientes que en este caso el plan y también relaciona las variables de las que depende en este caso es la x la variable independiente y también en relación a las derivadas respecto de esta variable independiente las ecuaciones diferenciales las puedo clasificar por tres cosas por el tipo el orden y la linealidad por el tipo hay dos clases uno puede llamar a las ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales nuestra materia se va a referir a las ecuaciones
diferenciales ordinarias las parciales se general se destinan para cursos superiores de ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas donde la incógnita la función depende solamente de una variable en cambio las en derivadas parciales las incógnitas y en esta en función de varias variadas lo más distintivo digamos de esta de este tipo distinguir uno del otro el tipo de la derivada la anotación en derivadas parciales se corresponde a estas ecuaciones las derivadas connotación de prima o de diferenciales hace mención a las ecuaciones ordinarias cuando clasificamos por el orden se refiere el orden más alto de la derivada ya
sea la derivada usual o de la derivada parcial por ejemplo en esta lista que les muestro esta ecuación diferencia de queda del problema en el estudiante es una ecuación diferencia del primer orden porque la derivada más grande de la primera por ejemplo en este caso la ecuación diferencial es de orden 2 porque acabaríamos entre iu y primera y segunda la mayor es la derivada 2a este este es una ecuación de penes de orden 1 y ésta también hay una notación que vamos a ver mucho en el libro tiene una anotación que generaliza a una ecuación
diferencial ordinaria de orden n que esta expresión es una relación en el cual estado la variable independiente la variable dependiente y todas las derivadas hasta orden n si despejamos de esta relación la derivada más grande entonces esta nueva expresión la vamos a llamar la forma normalizada de la ecuación bueno otra clasificación para exclusivamente las ordinarias es lineal o no lineal que ahora nos detenemos más las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y de orden pm tienen este formato vamos a ver esta palabra de la linealidad en este formato se está refiriendo a la linealidad en la variable
y en este caso la variable dependiente fíjense el aspecto de esta ecuación fíjense que iu y prima y todas sus derivadas hasta orden n son de primer grado es decir están elevados a la 1 por eso decimos que la ecuación es lineal en la variable i otra cosa importante es que tanto la y como sus derivadas están multiplicadas por funciones que dependen solamente de la variable independiente de la ecuación qué son estas que aparecen como azul y estas funciones se les va a llamar coeficientes son de coeficientes y variables al estar dependiendo de x el
lado derecho lo destinamos ahora a la función que depende de aquí pero que no tiene ahí multiplicando entonces la ecuación diferencial cuando no se ajusta a este formato le voy a decir que la ecuación es no lineal si la función que del lado derecho exactamente cero la ecuación línea será homogénea y si no es ser osea no homogénea algunos ejemplos volviendo a la ecuación del estudiante que sabíamos que era de primer orden ahora sí sabemos que se ajusta a esta forma porque el lineal y homogénea y que hacer el lado derecho y fíjense el 1
menos 12 y se multiplica y prima hace se corresponde con esta función a 1 de x que multiplica y prima y la función al subsidio de x es la que se corresponde con 2x por eso estas funciones que dependen de la variedad independiente hace que la ecuación diferencial sea lineal luego otra ecuación de modelo es esta que también es lineal y de segundo orden aunque no importa que estén desordenadas los órdenes de las derivadas pero igualmente la presencia de de carl de los términos captados de en dos está el lado derecho no es cero por
lo tanto en homogénea y particularmente esta ecuación tiene a esto esta función en las hadas son todas constantes entonces va a ser un tema especial de nuestro cursado trabajar con ecuaciones diferenciales lineales y de coeficientes constantes estos dos ejemplos son ecuaciones no lineales porque fíjense que por ejemplo acá donde está la derivada segunda no está multiplicada por algo que depende de existe nuestra variable independiente entonces hace que no sea lineal o acá que la función la incógnita está afectada como un argumento de una función seno y eso hace que no sea crítica es otro caso
donde la ecuación diferencial del primer orden está en su formato diferencial entonces para saber si es lineal deberíamos tratar de llevarla a esta forma pero antes pensando en cuál en decidir cuál va a ser la variable dependiente sí supongo que y depende de x trata de tratar entonces de llevado a esta forma para saber si es lineal en la variable y sí no pruebo entonces suponiendo que x depende de y en este caso estaríamos diciendo que es la variable dependiente y vería y debería ver si sigo este formato de lineal en x pero ojo que
ahora estaría pensando en que las variables a casa serían intercambiadas donde dice x pondría ahí y donde dice y pondría x ese sería el formato donde deberíamos imaginar de una ecuación lineal en la variable x pues esto se lo digo para usted de ver si el lineal en x juvenil y resolver una ecuación diferencial la intención que tenemos es tallar una función tal que cuando sustituimos en esta ecuación y a su derivada la igualdad es siempre cierta pero para eso deberíamos exigirle a esa función que sea de elevable n veces en un cierto intervalo entonces
formalmente la definición de una función para que sea solución en un intervalo debe tener al menos o sea como mínimo en derivadas continuas en ese intervalo es decir la función y todas sus derivadas hasta el orden de nuestra ecuación tiene que ser continua en ese intervalo debe existir para todo x todas esas derivadas y además deben verificar cuando sustituimos acá fíjense que acá está sustituido esa expresión es cero todo x en el intervalo es el intervalo es muy importante siempre que habla de una hablamos de solución siempre hablamos de donde es solución esa función eso
es lo que es intervalo de definición o intervalo de validez de la solución que no necesariamente ese intervalo tiene relación con el dominio o sea si si es el intervalo donde está definida nuestra fe pero ojo que también tiene que ser un área donde donde toda la derivadas exista ejemplos bueno acá tenemos una función que es igual a menos x por coseno dice es tenemos ustedes tienen que verificar en realidad será unas cuentas de que realmente es una solución de esta ecuación de primer orden y definida en este intervalo que es toda la recta real
para saber que esta función es realmente solución tengo que ir a la definición y ver lo que me pide esa definición no pide siendo la ecuación de primer orden debo garantizar que esta función y su derivada tienen que ser continuas en este intervalo o sea continua para todos los reales eso es cierto porque es producto de funciones continuas la derivada lo mismo va a ser sumas y producto de funciones continuas además lo que tienen que ver es que cuando reemplazó y aquí y su derivada acá donde dice i primas cuando hagan equipo de primera menor
y desde vedad x cuadrado 0 haciendo todos sus pasos uno se llega a la conclusión que si esa función es solución ellos es otro ejemplo y bueno a menos 1 sobre x en esta ecuación de segundo orden tienen que ver que eres solución pero ahora definida en un intervalo más pequeño tengo tienen que ahora buscar un intervalo donde la prima y segunda sean continuas por supuesto esta es continua en un intervalo de donde no contenga el cero por lo tanto vamos a elegir como intervalo o bien los intervalos de ver positivos o bien el de
los negativos y luego al sustituir le debe dar 0 el 20 este ejemplo se los escribo para que lo piense donde una ecuación un indicador es que toda ecuación puede que no tenga solución es este el caso que no tiene solución es real para un con respecto a la escritura de una solución vieron que en los ejemplos anteriores la y las soluciones siempre estaban escritas así como igual a las funciones y la y estaba despejada esa escritura se llama una escritura de la solución en su forma explícita pero siempre puede presentarse así hay formas también
donde la solución está dada por una relación entre la variable independiente y la dependiente cuando está así y no está despejada la función y se le llama implícita a esa escritura por ejemplo esta curva esta relación entre x e iu es una solución de esta ecuación diferencial de primer orden y en este intervalo si ves que está en la curva de los puntos que están sobre una circunferencia centrada en cero y de radio el 5 la solución implícita que deben ver qué solución pero te dirán pero si esto no es una función lo que pasa
es que uno está pensando que son los puntos en el cual éste están perteneciendo a dos soluciones en su forma explícita pues la representación de gama global de esa solución esta curva presentando soluciones explícitas en el intervalo de la rama positiva o la rama negativa en los dos casos estas soluciones son pertenecen al menos 55 en el sentido de que son continuas su derivada primera también y continua de este intervalo las dos soluciones satisfacen la ecuación diferencial cuando está en forma implícita a veces para ver que la satisface a la ecuación diferencial es un poco
a veces un medio engorroso despejarla y luego reemplazar se acostumbra que si la solución ya sea la función está dada en su forma implícita la parada derivada para reemplazarle k se utiliza la derivación implícita y en términos de ellos se reemplazan esta ecuación bueno hablando de las soluciones cómo se clasifican cuando ustedes han trabajado en cálculo integral sin darse cuenta han visto la a utilizado o se les ha presentado ecuaciones diferenciales muy sencillas con este aspecto donde tenían que hallar una función y cuya derivada es una era ustedes saben que bueno obviamente la función que
satisface esta ecuación es la integral indefinible por ejemplo si la derivada y éste a la x tienes esa función y quiénes son esas funciones bueno a la integración me dice que todas son las exponenciales más una constante arbitral o sea parece una ecuación y segunda y buena de la x la integración me estaría dando entregando dos veces la y me queda díada x más esto esta combinación lineal donde se une dos son constantes la beta entonces nos da a pensar que si la ecuación diferencial tiene solución no tiene una sino infinitas y que la solución
tiene fíjense tantas constantes arbitrarias involucradas en la expresión como el orden de la ecuación diferencial bueno lo que acabo de decir a veces no se cumple porque en realidad por ejemplo este este ejemplo que les presento acá es una ecuación de primer orden y sin embargo no tiene una constante arbitraria en su solución porque no son infinitas no es una sola y cero la solución criba de la única solución que la satisface en términos generales la solución de una ecuación diferencial de orden n va a contener el constantes arbitrarias o parámetros por eso le vamos
a vamos a hablar a partir de ahora de la primera clasificación lo tiene una familia n paramétrica de solución el formato de esa familia es una relación entre la variable independiente la variable dependiente y los parámetros involucrados deben ser n si la ecuación es de orden por ejemplo esta ecuación es de primer orden y la solución dada en forma explícita es una familia una paramétrica de soluciones donde aquí está el parámetro el único parámetro arbitrario es decir que todas variando sé todo lo para todos los valores de ser esta es solución en el menos infinito
infinito que satisface la ecuación diferenciada cuando le damos un valor a este parámetro vamos a ir obteniendo soluciones particulares fíjense que acá te he dado tres ejemplos cuando se vale ceros cuando se vale uno cuando se valen 12 todos estos casos son miembros sacados de esta familia que les voy a llamar soluciones particulares y la gráfica de cada solución de una ecuación diferencial se le va a llamar curva integral ocurra solución de la ecuación le voy a hacer un dibujito energía jibran que represente lo que recién hablamos fíjense esto ya lo tengo armado pero ustedes
lo pueden hacer en el que obtiene la tranquilamente con esta ecuación o con cualquier otro yo en principio acomodo y escribir en él geogebra igual a 6 x x x coseno que la representación de la familia una paramétrica de solución hace 12 que inmediatamente me ha creado un deslizador en un cierto rango en el cual cuando uno empieza a movilizar ya le voy a mostrar la animación inmediatamente bueno se las muestra ahora fíjense con el color gris la animación de un recorrido de todos los miembros de esta familia donde para cada valor de ser automáticamente
el mem a asignando y le va mostrando las soluciones particulares que me vamos que se van generando por cada c no puedo detener y borrar al sacar y elegir por ejemplo acá también he escrito las soluciones particulares por ejemplo cuando se menos 2 me queda esta verde cuando se es 1 me queda esta roja cuando se es 0 me queda este azul vamos a sacar todo y fíjense que se arrastró al 0 a ver miren cuando arrastró al cero voy a obtener la solución particular la curva de la familia se van moviendo hasta acomodado y
llegó cuando llegó el 0 veo la coincidencia con esta azul bueno eso estas cositas la pueden hacer ustedes energía energía que verá tranquilamente voy a continuar otro ejemplo es esta ecuación de segundo orden bueno donde les muestro en forma explícita la familia paramétrica de soluciones y algunas soluciones particulares y por último una última clasificación de las soluciones son las que le llamamos singulares y es cuando es una solución pero no es miembro de la familia es una resolución rara por ejemplo para esta ecuación de primer orden la solución explícita es una familia una paramétrica agravada
por esta fórmula donde aquí vemos el parámetro de algunas soluciones particulares se los muestro donde descuidando valor ea cc-102 pero la solución igual 0 que satisface si ustedes reemplazan por 15 de su derivada que es 0 satisface la ecuación es continua y es derivable en el menos infinita infinito es solución pero es singular porque porque no existe ningún número real que yo a partir de esta familia al reemplazar ese valor yo puedo obtener igual por eso se le llama solución singular en general estas soluciones se presentan cuando la ecuación es no lineal de primer orden
