Cálculo I - Aula 32 (1/3) Funções dadas por integrais impróprias

[Música] estava vendo integrais um próprio passar vimos integrais impróprias o primeiro tipo que naquelas integrais onde o domínio de integração no intervalo limitado de um número até mais infinito de - infinito até outro número ou de menos até mais infinito o certo é que eu quero fazer agora é de certo modo a mostrar como é que funcionam assim tf funções que são dadas por integrarem próprias está a ver como é que a gente teria esse tipo de coisa funciona muito parecido mas é importante você vez tá tão funções dadas por integrais sem provas então como

é que a gente faz pega uma função de rr tal que eu vou querer que ela seja integrável em qualquer intervalo de menos de infinito até então vamos dizer assim tal que integral de - infinito até te seja convergente tá bom pra todo ter um porsche saque e já fica a função na variável xista então vou querer que a integral de - infinita x seja convergente para todos x pode ser pertencente à etar não precisamos nos preocupar muito com isso tá então para cada valor de x eu sei que integral de - infinita o tx

me produz um número então eu vou ter essa função é fã de x que é integral de - infinita xf de tdt perguntas que a gente quer fazer quero estudar se essa função f maiúsculo é contínua derivava 870 que a gente que você acha que dá pra fazer pra gente tentar estudados você pode se você pegar qualquer número a pertencente ao domínio da função eu posso escrever se integral como sendo integrados - infinito até a jeff de tdt mais integral de a até x jeff de tdt legítimo fazer isso eu sei que a coisa funciona

bem porque integral de - o infinito até qualquer números é que sempre convergente então qualquer natureza desse objeto aqui que que é isso o número é uma função que ela é é um número de - infinito até a tocar quando a área com o lado dos menos infinito até a embaixo do gráfico tem isso aqui é um número real isto aqui o que é integral de até x da cf que eu já sei que é uma função integrável isso aqui é mostrar que a função que eu chamo de jogar de x que dá pra dizer

olhando para a fpf é um desse jeito esse é um número mais uma função dada por uma integral que eu posso dizer que se a essa é uma função integrável a gente já sabe que isso é uma função contínuo somando uma constante uma função continua então com certeza função é fã de x é contínua a pergunta é derivava eu como é que a gente faz para saber se essa função aqui é derivado bom isso aqui é uma constante estou certo quanto é derivada disso a 0 isso aqui é uma função quando que essa função h

é derivava eu a gente tinha um teorema que vimos acho que na hora passado anterior quando tem uma função dada por uma integral e derivados welles sempre é derivado em alguns pontos onde essa função f1 é contínua e nos pontos onde f e contínua a derivada da f 1 é o valor da f1 passar então é fão linha de x é igual à f1 de x pra todo x onde é contínuo é bom que a gente sabe de levar também funções dadas por integrais em próprias desse tipo que a gente está vendo agora a gente

pode fazer isso porque dois exemplos vamos pensar vamos pegar uma função é fio função que é constante igual a 1 toda vez que o módulo de ter for menor ou igual ao que um ela vale zero quando o módulo de ter é maior do que um agente sabe fazer o gráfico dessa função certamente não é que o gráfico da dívid aqui estão os pontos importantes a gente tem menos 1 e 1 como é que a função você pode até deixar tanto faz aqui tá pode fazer assim se quiser pode fazer assim qualquer diferença é o

valor da função do ponto - um no ponto né do jeito que ela está aqui como ela fica ela é constante igual a um intervalo fechado de -1 até um claro pra todo mundo e aberta constante igual a 0 com 7 6 0 no intervalo aberto de - infinito - 1 e constante do zero de 1 até mais infinito também então pergunta é essa a nossa função é fio ela é integrável módulo de terminar igual que um constante igual um módulo de ter maior do que um constante rosa essa função é integrável sim não talvez

que a gente viu como um teorema que toda função contínua é integrável mas mesmo os contínuos se você tivesse um número finito de descontinuidades a função era integrava quanto em quanto os pontos dessa função antes continua em 2 ela é integrável com certeza então é uma função integrada eu posso olhar para a função é fã de x o que eu posso dizer com certeza dessa função é fã sem fazer nenhuma conta da teoria o que a gente sabe se f 1 é integrável essa função que eu disse né vai ser integral de - infinito até

xf do tt é uma função dada por uma integral então o que eu posso dizer da enfam com certeza lá é contínuo ela é derivava ela vai ser derivava um dos pontos onde é filho for contínuo então tem chance de ela não ser derivava eu em dois lugares no ano -1 tá então antes de fazer a gente pode até dizer quem é fã explicitamente nesse caso mas antes disso eu consigo sem fazer nada dizer quem é ou é fão linha x quanto que é quando o que vale é fã é fã de x é igual

é fio em todos os pontos onde chefiou contínuo então a derivada essa linha é essa linha vai valer 11 toda vez que o módulo de ter for menor do que um pequeno intervalo aberto de -1 até 1 ela é contínua então essa linha é igual é fim e vai valer zero em todos os pontos onde o módulo então desculpa x não está tão antes do menos um e depois do 1 a derivada da ufam é constante a 0 entre -1 e um derivado é bom isso me permite dizer algumas coisas não dá pra ter um

monte de idéias vamos tentar construir então agora vamos tentar escrever citar quem é fã de x vamos fazer um pouco intuitivamente depois a gente faz as contas o que quero é fão se eu pegar um x menor do que menos um o que é fã desse x é a área de menos infinito o teste até x dessa função constante do zero enquanto que a área embaixo do gráfico de - infinita tx os casos 0 né então ela vai valer 0 x for menor do que 1 - 1 posso pormenor igual aqui faz diferença qual é

a diferença que faria eu estou calculando no intervalo aberto o no intervalo fechado a diferença eu posso pegar as duas funções ambas definidas no intervalo fechado de menos 11 eu posso pegar essa que vem constante igual a zero que vale um esse ponto e outra que é constante igual a zero enquanto os pontos essas duas funções são diferentes em um único ponto que a gente sabe que se duas funções têm o mesmo valor exceto um número finito de pontos dentro de um intervalo integral é igual então tanto faz eu olhar com esquece de um pra

frente não é tanto faz olhar essa função que é constante guazzelli por para um pós função constante igual a zero o valor integral é o mesmo ou seja tanto faz eu botar menor igual ou menor que por enquanto vão deixar menor e ver o que acontece se eu pego um x entre -1 e 11 quem é a minha área como ada vai ser de menos infinita até menos 1 num acúmulo nada a hora que eu pego um xis aqui a esse nada que eu já tinha eu vou tomar a área desse retângulo quanto vale a

agradecer retângulo a base é x + 1 mexes - menos um é o campeão tão x mais um pra todo x que você vai ter entre -1 e um aí como a gente olha só o que acontece quando se estende para -1 pela esquerda e pela direita enquanto estende para -1 3 por cima vindo pela esquerda vale zero enquanto estendia - um pela direita também vai valer zero ou seja sua função é contínua é o que a gente já esperava da teoria né toda a função dada como integral da função f1 é integrável é fã

é contínuo tá então acumulou x mais um ok se eu pegar um xis aqui o que que é a área acumulada daqui pra frente é toda a área que tinha como moda aqui né todo esse zero mais a área desse retângulo enquanto que a área desse retângulo 2012 e mais um do que o acúmulo daqui pra frente enquanto o acúmulo daqui pra frente zero então é isso aí tanto faz de novo pelo mesmo motivo o botão menor igual à que o ensino porque a gente sabe que funciona com tim oi 1 x larg qualquer um

aqui perfeito obrigado a claro então como é que o gráfico dessa função vê se isso aqui está compatível com essa filhinha ela é constante igual a zero praxes menor do que 1 então é derivada é 10 menor de -1 praxes maior do que 1 é constante igual a 2 o derivado também a 0 e praxe sempre menos 1 1 ao intervalo tá então é bem isso e como é que fica essa o gráfico da fama você constrói ele só é de -1 até 1 ela vem constante igual a zero depois é o xis mais um

tá certo e depois daqui pra frente é constante gorduroso essa é a sua função é fã de rock que a gente nota que de fato nos pontos -1 e uns e tem um bico é a função é derivada passar você pode calcular áreas acumulada sobre gráficos é que eu tô fazendo ouvir uma integral imprópria do - infinito tempo pontes é clara ideia vamos fazer mais um com uma função - constante do que essa aqui tá foi não não é esse aqui é o que eu fiz eu peguei a função dada pela integral eu calculei a

filhinha sem fazer o gráfico aí eu peguei e sem construir a função eu falei bom como exercício da cef é quem é essa qual é a cara dessa função é fã qual é a cara dessa função é bom essa aqui de modo tal que quem é fã um linha a linha é igual é fio exceto nos pontos 1 - 1 taekwon linha coincide com o fmi eo prato todo ter diferente de um diferente de -1 porque nesses pontos aqui a função não pode ser derivado a gente um pouco sabe já que tinha esse problema né

é possível que essa função seja derivada de alguém de vista de um exercício da lista dois teremos de dar bo se você tem uma função que a derivada num ponto atingir 0 e no outro ponto atingir um independente da elevada se continua ou não ela teria que ser obrigado a atingir todos os valores entre 0 e 1 x 1 nova turma de darfur então nesse ponto aquino - 2 ela vale sério e novela vale 1 eu serei obrigado atinge todos os valores entre 0 e 1 se eu quisesse isso aqui fosse a derivada de alguém

então é impossível que seja a função do elevado de alguém em toda reta real mas nos intervalos abertos - infinita - um ok à deriva de zero contá-la de -1 até manter elevada a 1 como tal a 1 e d1 até mais infinito 60 também nos intervalos abertos jorge vão pegar mais um exemplo olhar pra fd x 2 olha pra efe dt como sendo um sobre ter um quadrado se o módulo de tv for maior ou igual ao que um e constante igual um seu modo de ver foi menor do que a gente sabe fazer

o gráfico dessa função sabe dá para dizer alguma coisa a respeito da continuidade da f1 em quais pontos é fininho é contínua a única os únicos pontos que se preocupar um pouco é quando o módulo de ter igual a um né num menos 1 que acontece no ano -1 essas duas funções impacto não é no entanto os limites alterados são iguais iguais ao valor da função que é um em cada um desses ponto portanto f1 é uma função contínua em toda reta real cef uma função continua em toda reta real que eu posso dizer da

enfam ela vai ser derivado em todos os pontos a corte então construir aí vão calcular é fão linha e depois montar o gráfico da então deixou desenhar que vai então temos a menos 111 mil nesse intervalo a função é constante igual a 1 daqui pra frente ela tem uma cara de um sorriso ao quadrado aqui também então esse é o gráfico da função é fim vamos calcular direto quem quer o edson de x vai ser integral de - infinita x bom podemos escrever quem quer o fmi linha que a gente sabe da teoria como fmi

é contínuo efe ele existe em todos os tons quem que é com essa linha em cada ponto é fão linha é igual f1-x então isso vai ser um sobre x ao quadrado toda vez que tiver um módulo de she's a doll q1 e vai ser um vez que eu tiver um álbum x menor que pode ver que desse jeito está bem definida nos pontos x igual a 1 x 0 a -1 quem que a função é fão nesse caso escrever por extenso se eu pegar um número x antes do menos um o que é fã

de x essa área com o lado ali né o que é isso a integral de - infinito até menos um de quem do f o quanto vale é fim naquele intervalo 11 sobre theo quadrado desculpas - infinito até x isso vale x for menor ou igual ao menos um computador cada x melhor golpe - um em área com o lado dele se eu pegar um xis aqui no meio quem é o meu é fã de x agora toda essa área aqui né claro você vai acumulando enquanto que dá esse acumulado é a integral de -

infinito até menos um de heffinck nesse intervalo a 1 sobre theo quadrado mais integral de -1 até x df nesse intervalo que a função constante golpe certo isso vale pra todo ponto x entre -1 e um ok você pegar um x maior do que 1 como é que é bom se eu pegar um xis aqui maior do que 1 a área vai ser toda essa área como lado aqui né enquanto que é isso é integral de - infinito até menos um vai fim mas a integral de -1 até um da f1 mais integral de 1

até x-wife o que passa de novo você 1 sobre o quadrado isso equivale para todos x maior golpe também que dar isso a gente sabe fazer toda essa com quem é fã de x enquanto que dá à integral de - infinito até x de 1 sobre o quadrado ou integral imprópria né como é que a gente calculava isso calculava integral de um certo a até x e fazer o atender pelo menos infinito tentar fazer essa conta de cabeça qualquer primitiva de um sobre theo quadrado - um sobre t - um sobre ter naqueles extremos da

quanto no - um sobre peluches da - um sobre x no outro extremo vai ficar - um sobre t quando tem de prefeito vai para zero então é só isso também não vale isso x for menor ou igual ao que um esse cidadão aqui quanto que vai integrar de - infinito até menos um de um sobre theo quadrado um tom certo que a primitiva - um sobre t1 ser substituído - honda 1 pelo menos infinito tem de projeto vai dar um mas é integral de menos uma x integrado - uma t shirt da função constante

igual a um corresponde a uma área de um retângulo desse tipo aqui enquanto que a área desse retângulo x + 1 vezes um tá não fica mais um mais x mais um tá certo posso escrever direto x + 2 isso vale x mais dois prá todo x inter - 11 e se já pode checando coisas né o que se esperava da teoria que essa função fosse pelo menos contínuo de quanto isso que se aproxima quando x tem de pelo menos 1 - 1 x menor que menos um quando se aproxima de -11 aqui tem de

ir pra um né e esse quando se aproxima de menos 11 também tem defrontam colou direitinho eu até sei que ela vai colar direitinho sem bico porque é fim é uma função continua depois a gente olha isso no último caso da função como é que é esse sujeito nós calculamos javali um tá certo esse cara que enquanto que vale dois é um retângulo de largura 2 é o por 1 a 1 esse aqui quanto que a primitiva é - um sobre x netão - um sobre os x como é que vai ficar - 1 -

1 sobre o tenerife x vai dar - um sobre x - um sobre te num vai dar - um com menos da forma mais um isso aqui vale pra todo x maior igual que um conto que dá isso 4 - 1 sobre o xv é bom escrever de uma vez vou ver se tá bom isso né quando x tende para um essa função que tem de pagar quanto 3 e esse aqui quando se estende para 1 também entende para 3 então colocou direitinho eu continuar pelo menos isso me garante que eu não errei muito né

como é que o gráfico dessa função antes do - 1 como é que é o comportamento da função é menos 1 sobre x né como é que o gráfico da função 1 sobre x quando x é negativo isso é uma coisa que se podia pensar né a ef é uma área acumulada se concorda que esse número que tinha que ser positivos em só pra você não assustar com as coisas né tem que ser um número positivo e se calcula deu - um sobre x tem problema isso não porque o xl negativo netão sinal de menos

então como é que o gráfico da função - um sobre x 1 sobre o xv ele estaria aqui né ser uma pedra aqui em baixo - um sobre x uma função assim tá certo nesse ponto aqui enquanto que ela vale um chá melhorais tá aqui vale um ea e dom pra do do do menos um pra frente a função vale x + 2 tá que ela é uma reta de coeficiente angular um passo certo até o ponto de igual àquela vale 2 também e dali pra frente como é que ela é bom pra frente pra

frente é 4 - 1 sobre x 1 sobre che está aqui - um sobre x invertida e vou somar quatro unidades para cima então vai crescer metabolic vendendo pra quanto aqui 24 aqui em cima se você quiser pensar quando se estende para o infinito aumentar bem como à cinta horizontal a y alto também esse é o gráfico da função qual que é a coisa diferente em relação ao exemplo anterior nesses pontos eu vou ter bem definida reta tangente tanto pela esquerda quanto pela direita os limites que define a derivada vão ser iguais a um porquê

porque a função do ex e derivados porque eu tinha que ceder lhe valeu porque é fim é contínuo então aqui você tem bicos a função não é derivado no exemplo anterior porque é fim era descontínua nesses pontos quando f 1 é contínua ele não só grupo é como passar liso não tem nenhum bico a função não está definida no ponto tem igual a zero assim na módulo de ter menor e menor do que 1 representa o intervalo aberto de -1 até então essa função está definido em toda reta real e é contínuo portanto a função

dada pela integral dela dea - infinito tx vai ser uma função definida em toda reta e derivados em todos os pontos o gráfico é isso é uma ramo de pedras num pedacinho de uma pedra no segmento de reta eu te pego não é pra achar que isso tem a ver com algum arquivo tangente tá bom