Aula 6.2 - Entropia do gás ideal e de misturas; reversibilidade

[Música] [Música] vamos eh olhar agora para o gás ideal e escrever a expressão para sua energia eu vou pegar um gás ideal monoatômico a gente derivou deduziu há duas aulas atrás a expressão da multiplicidade para um gás ideal monoatômico que é esse caminhão que tá aqui lembre que o importante nessa expressão é o fato de que essa multiplicidade é proporcional ao volume elevado à potência n onde n é o número de componentes número de partículas do sistema e proporcional à energia elevado ao número de graus de liberdade dividido por do aparece uma função de n

que é uma função complicada eu escrevi aqui essa função de n n Ah vamos usar isso e usar a definição de entropia para escrever a expressão da entropia do gás ideal isso vai dar um certo trabalho pra gente então vamos lá ten que calcular o logaritmo daquele caminhão que ali está eu vou começar separando aqui duas duas contribuições que envolvem fatorial aqui tem um fatorial de n e aqui tem um fatorial de 3n so 2 Claro esse 3 só aparece porque é um gás monoatômico né ah um aqui vale a pena relembrar porque é que

apareceu esse fatorial de n aqui você lembra Por que apareceu esse fatorial D no denominador isso se deve à ideal né então nós vamos separar assim ó secar botar aqui eu vou deixar o que não o que não tem esse fatorial vou vou deixar dentro de um de um logaritmo só então tem me ajuda aqui tá difícil olhar lá V elevado a n h3n que mais que tem aí E aí aparece o logaritmo daqueles dois fatoriais que estão no no denominador desse daquela fração zona né então eu já tô separando num logaritmo de fatorial de

n e num logaritmo do fatorial de 3n so 2 e eu espero que você esteja percebendo porque que é que eu tô separando esses logaritmos porque eu vou usar a aproximação de Stirling e onde apareceu o log de fatorial de n eu vou escrever n log n - n onde apareceu o log 3n so 2 vai ficar 3n so 2 log 3n so 2 Men 3n so 2 tem o sinal de menos na frente de cada um desses caras n agora vou juntar de novo assim ó veja que todas as parcelas agora tem um fator

n na frente eu vou juntar todas e vou fazer aparecer uma parcela a em n para esse logaritmo porque eu tô vendo logaritmo de alguma coisa elevado a n que apareceu aqui né Essa alguma coisa elevado a n faz com que o n desça então nós vamos escrever s = n x k e vamos ver o que que sobra aqui vai sobrar o log bom aqui sobraria V pi a 3 2m a 3 so h c mas eu vou incorporar esse log de n agora com sinal de menos se eu incorporá-lo aqui ele vai aparecer

no denominador né Por causa desse sinal de menos que aparece Então vou ficar assim ó eu vou escrever V so n ele apareceu no denominador que mais aí eu tenho uma série de termos elevado a 3 me então eu vou juntar todos eles assim 2 pi mu isso aqui tudo tá elevado a 3 me não é porque a potência n já saiu Já desceu desse logaritmo Hum eu vou querer agregar aqui esse h esse h tá elevado a ao ao cubo mas aí eh hã mas H qu elevado a 3/2 é H C Então vou

botar um h qu aqui isso aqui elevado a 3/2 mas tem mais porque aqui vai aparecer ó ó só isso aqui é log 3n so 2 elevado a 3/2 não é verdade e tá com sinal de menos então ele vai aparecer no denominad então aparece um 3n so 2 aqui no denominador acho que eu não esqueci de ninguém Ah mas Além disso tem os termos que não tem logaritmo que são esses dois aqui esses dois que tinham sinal de menos na aproximação de stirl tem um sinal de menos na frente dos dois então eles viram

mais então fica + n + 3n so 2 o n já foi fatorado tá lá na frente então ficou 1 + 3/2 1 + 3/2 é 5/2 e esse 3n so 2 no denominador eu posso fazer ele desaparecer botando dois no numerador assim esta sensacional expressão que aí está tem um nome isso aqui chama-se a fórmula de sacur tetrode interessante você ver de onde vem por exemplo esse n que apareceu aqui né esse n que apareceu Ele veio desse termo do logaritmo do fatorial de n que por sua vez veio da indis das partículas tá

certo esse n aqui tá associado à ele aparece no denominador dentro do logaritmo ele aparece como um fator multiplicativo na frente esse fator ganha de todos os logaritmos vamos vamos fazer mais um um exemplo de uso da entropia agora com o gás ideal então mais um exemplo Eh vamos imaginar que nós tenhamos um gás ideal que sofre um processo qualquer no qual a sua energia não muda a quantidade de partículas não muda mas o seu volume aumenta e aqui quando eu tô falando de gás ideal C tô sempre referindo ao gás monoatômico porque eu quero

usar a equação de sauret você brincar Ema de derivar a equação de sacur tetrode para um GS ideal qualquer acho que tá claro como que você faz isso né você tá vendo onde é que você vai meer é onde aparece fator 3 me é ali que você vai meer n então um G ideal monoatômico que sofre um processo no qual u e n são constantes e v aumenta por exemplo sai de um v inicial para um VF um processo de expansão tá mas sem que a energia interna do gás se modifique se é um gás

ideal Ah que tipo de processo é esse aí você consegue imaginar um um processo com gás ideal uma expansão isotérmica numa exp isotérmica isso aqui ocorre né expansão isotérmica a temperatura não muda Como a energia de um gás ideal só depende da temperatura a energia fica constante o número de partículas também não e o volume aumenta Você conhece outro processo que também faz a mesma coisa o processo de expansão livre que nós discutimos H duas aulas atrás no processo de expansão livre Você tem uma massa gasosa confinada a um pedaço de um recipiente você faz

um furo na parede que que a confina deixando que o gás se Espalhe pelo recipiente inteiro por isso quer dizer expansão livre um processo isotérmico não um processo de expansão livre é isotérmico mas quando eu me refiro a um processo isotérmico eu tô me referindo em geral a um processo no qual existe troca de energia entre o sistema e o ambiente essa troca de energia não muda a energia interna tá o processo de expansão livre é um processo de isotérmico muito particular no qual não há nenhuma troca de energia entre o sistema e o meio

ambiente Tá certo eu só fiz um furo numa parede que limitava o volume que o gás podia ocupar Ora se eu faço um furo eu não tô realizando trabalho sobre o sistema n ele supostamente tá no recipiente adiabático então não há troca de calor não há troca de energia produzida por diferença de temperaturas também com o ambiente q e w são portanto q + w é nulo del u é zer primeira lei a energia não muda tá certo num processo isotérmico que pode ser representado num diagrama de clapon para um gás ideal percorrendo-se uma isoterma

do gás ideal né eu parto aqui de um certo volume vi Inicial e vou até um volume veia final sobre uma isoterma assim também não há mudança na energia interna mas não porque não haja troca de energia com ambiente mas porque existem duas trocas que uma compensa a outra quando o gás está se expandindo ele realiza trabalho sobre o ambiente Portanto o trabalho que ele sofre é um certo valor negativo Tá certo por outro lado para que isso possa acontecer é necessário que eu dê energia para ele so forma de calor de tal maneira que

outra vez q mais w d0 mas aqui há troca de energia na expansão livre não há nenhuma mas nos dois processos como o e n ficam constantes e a única coisa que acontece do ponto de vista da entropia é que o volume muda a variação de entropia vai ser a mesma tá E é fácil ver como é que vai ser essa variação de entropia porque se você calcular a entropia da situação final veja todos os números que aqui estão serão os mesmos que no estado Inicial exceção feita a este aqui tá certo então eu poderia

fatorar poderia separar esse logaritmo no logaritmo de v mais o logaritmo do resto o logaritmo do resto vai embora porque é o mesmo tem o mesmo valor no estado Inicial e no estado final então a única coisa que sobra é o logaritmo de V no estado final e logaritmo de V no estado Inicial portanto Isso aqui vai ser n x k vees o V Fin menos o logaritmo de v Inicial todos os outros termos se cancelam mas o logaritmo mas a diferença de dois logaritmos é o logaritmo do quociente portanto isso aqui é n x

k log de VF vi na Tera lista Você tem um exercício onde aparece pela primeira vez uma entre a variação de entropia sofrida por um sistema e a energia que entra nesse sistema so forma de calor você vai provar que neste processo isotérmico de um gás ideal a variação de entropia é exatamente igual a quantidade de calor que tem que ser recebida pelo sistema dividido pela temperatura você vai provar que del s é q so T certo na verdade nós vamos seguinte nós vamos provar que existe uma relação de fato entre a variação de entropia

e a energia que entra so forma de calor num sistema tá mas é importante você já Ficar alerta para o fato de que a fórmula que nós vamos demonstrar só é verdadeira para processos quase estáticos e é fácil de ver aqui um contraexemplo no numa expansão livre do gás ideal não existe troca de calor portanto não pode É verdade que dels seja q sobre t para esse processo porque senão dels seria zero de fato dels só é q so t em processos quase estáticos e a expansão livre é o nosso modelo de processo não quase

estático Tá certo então Eh eu já vou anunciando a gente vai ver isso na na no Capítulo seguinte que eh você injetar calor num sistema sempre vai aumentar a sua entropia né Nós vamos ver isso eh independente de eu poder utilizar a fórmula del s = q so t ou não Ou seja independente da do processo ser ou não quase estático tá E esse fato tá relacionado com o fato de que a entropia é monotonamente crescente com a energia tá isso aí é que vai tá envolvido eh para esse resultado mais uma coisa que eu

quero falar para você antes de dar fim a esse título é que ah eu posso criar entropia veja eu posso criar entropia nova quando eu aumento o volume do sistema mostrei isso agora eu vou criar entropia nova se eu injeto calor dentro de um sistema eu também posso criar entropia nova se eu deixo os sistemas misturarem a entropia da mistura nós vamos ver agora Se eu misturar dois sistemas diferentes eu vou aumentar a entropia do conjunto é isso que eu vou mostrar agora de novo com um exemplo muito simples assim imagine que eu tenha dois

eh dois gases dois gases ideais vai ambos monoatômicos mas diferentes um do outro aqui o gás a e aqui o gás B por exemplo Hélio e neônio ocupando volumes iguais com o mesmo número de partículas e mesma energia e aí eu vou tirar eles estão Ah eu eu tô impedindo eles de se misturarem por causa dessa partição aqui no meio aí repentinamente eu removo a partição permitindo com isso que as moléculas do gás a ocupem o volume inteiro a mesma coisa com as moléculas do gás B que que vai acontecer com a entropia desse sistema

como um todo Ora eu aprendi que a entropia é aditiva Ou seja eu posso apurar qual vai ser a entropia do sistema todo apurando separadamente entropia de cada um deles mas a entropia do subsistema a ela aumentou porque o volume que as suas moléculas ocupam aumentou nesse caso dobrou porque eu tô pegando duas dois subsistemas de igual volume e eu sei que para um gás ideal o aumento da entropia é proporcional ao logaritmo do quociente dos dois volumes então eu posso dizer que del S de a vai ser n x k vees o logaritmo do

quociente dos do volume final sobre o volume Inicial 2v so V NK log 2 isso foi o quanto mudou a entropia do sistema do subsistema a quanto mudou a entropia do subsistema B or o mesmo raciocínio é verdadeiro também o subsistema B que antes ocupava o volume V quando eu tiro a partição as suas n moléculas agora ocupam o volume inteiro portanto outra vez nós vamos ter que a variação de entropia desse subsistema é NK log 2 e portanto a variação de entropia do sistema como um todo já que ela é aditiva é duas vezes

NK log de2 a eu disse isso aqui eu posso fazer porque os dois gases são diferentes e se os dois gases fossem iguais se os dois gases fossem iguais ao retirar a partição eu estaria em presença de um microestado que é indistinguível de qualquer microestado de Equilíbrio desse subsistema porque eu continuo tendo as mesmas moléculas de um lado e do outro tá e portanto a variação de entropia nesse caso ela é é nula No No No Limite termodinâmico existem alguns microestados novos que aparecem mas esse número que aparece é um número apenas grande e quando

eu tomo o logaritmo dele torna-se um número desprezível tá E vamos utilizar o conceito de entropia para caracterizar o que é um processo reversível Irreversível já falamos sobre isso várias vezes né então se um processo físico eh se num processo físico a entropia total do universo aumenta esse processo é Irreversível então del S do universo vamos escrever assim ser maior do que zero implica em que nós temos irreversibilidade ao contrário se é zero então nós temos reversibilidade então o processo é reversível Se e somente se a variação de entropia associada a ele é nula então

por exemplo nós mostramos na aula passada que o fluxo de calor de um objeto quente para um objeto frio aumenta a entropia do conjunto aumenta a entropia do universo portanto portanto trata-se de um processo Irreversível não vai acontecer o processo oposto que seria dois sistemas com igual temperatura ah evoluí no sentido de que um deles aumenta a sua temperatura e o outro diminui a sua também eu só posso ter um processo reversível com troca envolvendo troca de calor se a diferença entre as temperaturas dos dois subsistemas se tornar despresível nesse limite eu posso falar de

um processo reversível de troca de calor é claro que isso é uma situação idealizada que não ocorre na realidade mas nós podemos lançar a mão dela para sistemas ideais então para o processo ser reversível é preciso que eu consiga provocá-lo com mudanças ou com variações infinitesimais de temperatura ou pressão por exemplo Então nós vamos falar só para terminar aqui nós eu tô aqui desenhando uma situação na Qual você tem eh um processo quase estático a variação de entropia a associada a esse processo e pode até ser nula e ele é provocado por uma pequeno desbalanceamento

entre a pressão interna e a pressão externa mas esse essa diferença tem que ser pequena o suficiente para que todos os estados intermediários sejam estados de Equilíbrio e de novo claro que isso aqui só é só pode ser eh um processo idealizado que não ocorre na [Música] realidade ah [Música]