Funções: Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem (Aula 2 de 15)

[Aplausos] olá pessoal vamos continuar com as funções essa aula ainda faz parte do conselho introdutório desse assunto que as funções rock vamos ver aqui o domínio contra domínio e conjunto imagem acompanha comigo aqui o seguinte olha só seja uma função fd a e b então imagine o seguinte uma função f1 dizendo que adiar em b ou seja o nosso conjunto de partida é o conjunto a que o nosso conjunto de chegada ao conjunto b conselhos que a gente viu na anterior ok olha o que diz aqui ó o domínio é representado pelo conjunto a esse

conselho é bem importante estar domínio de uma função nada mais é do que o conjunto de partida e o conta domingo essa função é o conjunto b no caso conjunto de chegada então nós temos aqui o conta domínio da função agora em relação à imagem olha só a função efe aplicada em x pertencente à resulta em um elemento y pertencente à b não se desenhar esse diagrama se entender bem olha só nós temos aqui o conjunto a eac assim o conjunto b um elemento x incendiar como ele fala que a aplicando a função nele a

função é aplicada em x pertencente à então aplicando aqui uma função nós vamos obter um elemento y y pertencente a b ea que diz aqui ó esse elemento y é imagem de x quando aplicamos a função efe então esse elemento y aqui há nada mais é do que a imagem da função efe aplicada no valor x ok para mim aqui ó sempre uma função então é composta de três componentes o conjunto de partida chamado de domínio o conjunto de chegada chamada de conta do índio ea função de correspondência entre essa esses dois conjuntos essa função

aplicada em alguns elementos do conjunto de partida obterá outros elementos do conjunto chegada lá no condomínio esses elementos que possui correspondentes no conjunto de partida esses elementos fazem parte do conjunto imagem da função efe joc quem come aqui para você entender bem isso daqui olha só o primeiro exemplo diz assim é temos um conjunto a vamos colocar aqui foi um diagrama você entender bem a um conjunto a que nós temos aqui um conjunto b ok esse conjunto é formado pelos elementos 0 2 e 4 tatras elementos que pertence ao conjunto a que o conjunto b

é formado pelos elementos 0 2 4 6 e 8 tá apertado e não vê problema tá aí assim ó tem que ter uma função que com relaciona-se dos comuns a função está aqui ó é uma função de a e b e essa função a deixa claro que o conjunto de partida é o conjunto a e conjunto de chegada é o conjunto b ou seja a função tá vindo da esquerda para a direita então nosso domínio é o conjunto a e o b é o nosso contra o domínio ok essa função de o seguinte ela transforma

o x pertencente ao conjunto a ok em 2 x ou seja o x ele acaba virando 2 x 1 olha só a função aplicada em um valor x resultará em um valor que é exatamente duas vezes o x beleza então olha só a função efe aplicada no valor 0 nós teremos então 2 vezes 10 o resultado é 0 a função efe aplicada no elemento 2 resultará em 2 vezes dois veja quatro ok ea função efe aplicado no valor 4 resultará quando 2 vezes o 4 resultado 8 ou seja 0 possui o zero com uma imagem

o 2 possui 14 como imagem e 14 possui 18 com uma imagem tão nós temos aqui o zero vai no zero o 2 vai no 4 e 14 vai 8 beleza dessa forma pessoal nós temos seguinte o domínio entanto essa função é o conjunto a o contra domingo essa função é o conjunto b ea imagem dessa função é o conjunto formado pelos elementos 0 4 e 8 então nós temos aqui ó 048 como seus elementos que pertence ao conjunto imagem observação é pra mim aqui ó é para que os elementos que pertence ao conjunto imagem

todos elementos pertence também ao condomínio que quer dizer isso o conjunto imagem acaba sendo então subi conjunto do conjunto contra o domínio vamos ver isso daqui ó olha aqui ó uma observação bem importante está o conjunto imagem isso vale para qualquer função a imagem de uma função está contigo sempre no contra domínio nessa função vamos descer mais um pouco e vamos prá letra b que assim olha só temos o conjunto e o conjunto b vamos fazer aqui o conjunto a que o conjunto b o conjunto é formado dos elementos 1 2 e 3 enquanto em

conjunto b é formado pelos elementos 2 3 4 e 5 está aqui beleza e diz o seguinte ó a função fd a e b vamos escrever aqui ó efe de a e b isso aqui já deixa claro então que oa é o nosso domínio e o bb é o nosso condomínio ea função está indo de a para b poderia ser o que é efe db em ao ser teria vindo do conjunto b no conjunto a ok e essa função de o seguinte ó a lei de correspondência é dada por fdx gostes mais um vamos escrever

aqui ó fdx e guaches mais 1 ou seja nós pegamos a função f e aplicarmos um elemento 1 o resultado será um mais um ou seja 2 dessa forma a imagem do elemento um é igual ao dois então do 12 ago efe de 2 será igual a dois mais 12 mais um o resultado é 3 ou seja a imagem do 2 é o valor 3 que pertence ao conjunto de chegada ou seja ao condomínio eo f de 3 que é o último elemento conjunto a é igual a 3 mais um ou seja quatro então dessa

forma o elemento 3 possui correspondente 4 seja imagem igual a quatro então nós temos aqui ó dessa forma a gente olha fica bem claro bem visível que o conjunto imagem que ó é formado pelos elementos 2 3 e 4 tá então nosso domínio é o conjunto a o conta domínio é o conjunto b ea imagem da função ora como escreve em maio da função é dar dois elementos 2 3 e 4 ok para mim aqui ó como a gente viu o conjunto imagem está contido no conjunto contra o domínio reparem que ali o condomínio tem

um elemento sobrando os cinco não é a imagem de nenhum elemento que pertence ao comando da partida aquele 5 ali pode sobrar sem problema algum o que não pode é a gente viu na anterior é sobrar elementos no conjunto de partida ok se sobrar elementos do conjunto partida ou seja não ter correspondente no conjunto chegada e só aí não é uma função beleza compõem comigo aqui a letra c aqui ó essa função repare é do conjunto natural no conjunto natural ou seja o domínio e o contra domínio são formados por infinitos elementos vamos lembrar aqui

ó que o conjunto dos membros naturais é formado pelos 0 1 2 3 e assim vai até mais infinito ok e ac dc no dia seguinte a função de correspondência é igual à x + 1 ou seja fdx é igual à x + 1 beleza vamos representar em diagramas essa função aí nós temos os dois conjuntos formado pelos números naturais domínio conta domínio e cada elemento do domínio possui uma imagem é um valor y valor y então pertencia a imagem ea gente viu que o y nada mais é do que o x mais um tá

o valor que assume y é uma mais valia para mim saber aplicar por exemplo efe de zero o valor imagem não ser a 0 mais um ou seja é o conseqüente fd01 resultado de um f de um será um mais 12 fd 2 será um mais 2 ou seja 3 e assim vai olha que vamos rever isso rapidinho nós temos que fd01 igual a zero mais um o resultado de um f de um igual ou mais 1 ou seja 2 fd 2 em godollo 2 mais um ou seja três e por aí vai tá e

por aí vai agora repare o seguinte o que é esse conjunto aqui ó esse conjunto nada mais é do que a imagem da função tudo bem a função aplicada no conjunto dos naturais seu condomínio aqui nós obtemos valores 123456 assim vai o que são os elementos aqui são todos naturais exceto o zero ou seja naturais não mundo está então o conjunto formado pelos elementos y aqui ó é uma imagem com uma imagem formada pelos naturais não nulos então fazendo fechamento aqui é o seguinte em uma função três componentes sempre aparece o domínio que é o

conjunto de partida.o conta domínio que é o conjunto chegada ea imagem é formada por elementos que estão lá no conjunto chegada tá todos os elementos da imagem possuem correspondentes lá no conjunto de partida ok vamos ver agora funções definidas por fórmulas matemáticas olha que diz aqui ó grande páginas são sonhos é definida por fórmulas matemáticas aqui temos alguns exemplos e diz o seguinte ó nós temos aqui uma função de a em r que para o seguinte ó o conjunto a é o nosso domínio está aqui na frente ao conjunto então falar com esses três elementos

do conjunto r ou seja dos reais é o nosso compra do domínio então nós temos algo assim que haviam o conjunto a formado pelos elementos menos 20 e 3 eo conjunto de chegada ali o contra o domínio formado pelos reais tá e a função que relaciona esses dois conjuntos essa função fdx é igual a 5 x 1 - 1 4 dia seguinte determinar o conjunto da imagem então o que nós devemos fazer vamos aplicar essa função aqui ó em todos os elementos do conjunto a lembra que nunca podem sobrar elementos no conjunto de partida então

começando aplicando fd - 2 o resultado então será 5 que multiplicam menos dois e temos ainda o menos quatro repasses seguinte a matemática básica temos uma multiplicação e uma subestação primeiro vamos fazer a multiplicação da então nós vamos ter efe de -2 é igual a cinco vezes menos dois isso dá menos 10 e temos ali ou menos 4 o resultado aqui ó menos 10 com menos 4 - 14 tá então acontece a função aplicada no elemento menos dois resultou uma imagem igual a menos 14 está então a função aplicado menos dois aqui ó resultou em

uma imagem lá - 14 ok vamos continuar aplicando a função agora no valor zero ou seja efe de zero será igual a 5 vezes 10 - o 450 00 com menos 4 -4 ou seja a função ao aplicar um valor 0 resultou valor menos 410 caiu ali no valor menos quatro beleza por último nós temos então agora a função f1 aplicar no valor 3 como é que fica fica cinco vezes ou três que dá 15 né - 14 o resultado é 11 ou seja efe de 3 então o resultado deu uns ok então é só

o que nós temos bem definida aqui ó é que a imagem seja o conjunto chegada lá ó que possuem correspondente do conjunto partida é formado pelos elementos - 14 - 4 e 11 vamos escrever aqui ó o nosso domínio então é o conjunto a o nosso conta domínio são todos os reais ea imagem da nossa função aqui é dada pelos elementos - 14 - 4 e 1 11 beleza vamos fazer um pouquinho aqui ó e vamos para o item 2 dia seguinte olha só como é que pode aparecer também a notação de uma função tapatío

do é chegando não é ou seja aqui nós temos o nosso domínio aqui está o nosso contra o domínio e nós temos a função f sendo aplicada ok tal que toque a função ao ípsilon é igual à x ao quadrado mais 2 x menos cinco o que diz aqui ó determinar a imagem do número 3 ou seja o que nós temos que fazer aqui simplesmente é calcular f3 efe dt da quando substituindo ficará então 13 elevada ao quadrado mas 2 vezes o 3 - os cinco ou seja efe de três será igual a 3 ao

quadrado 9 mais duas vezes 36 -5 nós teremos então qf de 3 é igual a 9 + 6 a 15 menos 15 10 aqui então a função aplicada no elemento 3 obteve uma imagem exatamente igual a 10 tranquilo tranquilo dessa aqui vamos lá a questão três diz assim ó terceiro exemplo é uma função é responder escuta em r nós temos aqui o nosso domínio e aqui está o nosso contra o domínio e para o seguinte ó domingo nós temos um asterisco lema que significa esse asterisco pessoal um conjunto que tem aquele asterisco ali significa que

10 ele não faz parte desse conjunto agora me diz o seguinte por que o zero não faz parte desse conjunto olha a função a você está vendo uma parte da função sendo representada por 11 sob x lembra que todos os elementos domínio deve ser substituído na função imagine-se 10 tivesse fazendo parte do domínio lá e aparecer um sobre 0 e 1 sobre zero não existe ok então 0 não pode fazer parte do domínio por isso nós temos um asterisco ali nosso domingo ok então dia seguinte o tal que fdx negócio a função de terminar fd

5 e fdx mais dois primeiramente vamos fazer aqui ó efe de 5 f de 5 substituído então será 2 x 1 5 - um sobre cinco rock e será 2 vezes 5 10 -1 5º nós temos um número inteiro subtrair uma fração a gente pode fazer mas caminha bem rápido aqui ó esse denominador ele passa multiplicando a parte inteira e depois a gente vai somar com aquele numerador ali ok como é que fica isso não foi feito fica assim ó cinco vezes o 10 isso dá 50 50 somado com menos um cuidado - um aqui

ó ficará então 49 / quem dividido pelo cinco então efe de 5 é igual a 49 sobre cinco beleza agora fdx mais dois pessoal seguinte ó deve ter reparado é o seguinte aqui aqui todo o valor que a gente substituir aqui a gente tem que substituir aqui e substituir aqui então se nós estamos fazendo o seguinte fdx mais dois nós estamos colocando x + 2 ali nós devemos então colocar o x + 2 ac x mas nós aqui ok vamos lá vai ficar 2 que multiplica o x + 2 a 1 - 1 sobre o

x + 2 agora esse dois aqui ó ele faz a distribuição já está multiplicando parentes ali fala distributiva então nós temos o seguinte isso aqui é igual 2 vezes x 2 x 2 vezes o 2 resultado é 4 - 1 sobre x + 2 beleza para sair disso aqui agora nós é o seguinte temos que tirar um mínimo múltiplo comum passando um traço comum não aparece nada aqui embaixo nós temos um ok então vamos tirar o mínimo comum que é o seguinte ó nós temos então aqui o x + 2 vai ser o nosso mínimo

comum e vou fazer o seguinte x + 2 / um resultado é x + 2 e esse x + 2 a multiplicar todo o numerador ou seja o 2x mais 14 ok - mais ou menos aqui agora x + 2 / x + 2 vai dar 11 vezes um aqui de cima o resultado é um ok agora só dois parentes aqui tem que fazer distributiva o x multiplicou 2 x 1 eo x multiplica o 4 a 1 vamos fazer aqui ó isso aqui então será igual passa o traço que nós teremos x vezes 2 x

2 x ao quadrado x vezes o 4 + 4 x 1 agora esse dois vai ter que multiplicar esse 2x e esse dois teria que multiplicar aquele 4 então nós teremos dois meses 2 x 4 x 2 vezes o 48 temos 1 - mali o denominador é x + 2 beleza agora é só somar o número a dor ora como é que fica 2x ao quadrado agora 4x com mais 4 x da 8 x 8 -1 isso aqui ficará mais os 7 e o denominador x mais dois toque então fdx mais dois o resultado deu

tudo isso daqui ó beleza vamos descer um pouquinho vamos até aqui assim olha só aqui nós temos uma função fdx é igual a 3 x - o 2 essa função é finita e nós temos uma outra função chamada de função reali que pouco importa tá o que interessa tem duas funções a equipe aí diz o seguinte ó determinar o valor de a então esse aqui ó a gente deve determinar ele sabendo que heath de três mais g2 e glock disse ok vamos fazer por partes aqui ó fd 3 enquanto o f3 bom vamos na função

f1 então já colocamos o três aqui vamos colocar o três aqui ficará então três vezes o 3 - 2 ou seja efe de três será 9 - o 27 ok agora vamos a função g ele diz o seguinte g2 qual nós colocamos os dois aqui temos que colocar os dois aqui então ficar 2 vezes o dois mais o a óleo ou ali ó oa nosso parâmetro tá isso aqui então será exatamente dois meses 2 a 4 mas oa ou seja g2a igual a 4 mais água substituindo aqui nós vamos ter o seguinte fd 3 o

resultado é set efe de z g2 o resultado é 4 mais a 14 mais um a nove estão sendo somadas e o resultado aqui é 15 então é só calcular ficará 7 mais o 4 0 que dá 11 mais o a isso aqui é igual a 15 faz oq ó passa 11 lá pela direita trocando sinal nós vamos tentam que o ato é igual a 15 menos 11 eo aek igual a quatro ok esse é o nosso resultado disse que em dezembro aqui nós temos uma função tal que fx igual parari parará pessoal essa função

e quando aparece aquela chave é uma função que é representada por uma sentença dada por uma sentença que significa isso indica o seguinte que dependendo do valor de x que irá assumir a linha fx a função vai assumir igual a 2 x mais 3 ou x ao quadrado isso depende do valor de entrada hóquei então olha só a função fx será igual o 2 x + 3 se o x for menor ou igual aos 51 será fdx guaches ao quadrado se o x for maior que 5 rock olha só dia seguinte determine fd set efe

de 2 e ief de raiz e 30 rock vamos fazer efe de 7 olha só o xis aqui sendo 7 ele seria maior ou menor ou igual a 5 ou maior que 5 f de 7 é um valor maior que 5 ou seja a função fx será igual à risca o quadrado tá então efe de sete será dado por sete elevada ao quadrado resultado disso é 49 então efe de 7 é 49 beleza vamos apagar aqui ó e vamos fazer agora efe d2 fd 2 aqui é o 2 é um valor que é menor ou

igual a 5 concorda comigo então f2 vai ser determinado por esse valor aqui é por essa sentença de cima então efe de dois gol do 2 vezes 12 mais 13 isso aqui dá dois meses 2 a 4 mais três o resultado é sete anos a pagar aqui o agora essa atenção nesse aqui ó quanto é que dá o wef de raiz de 30 obras mim haye de 30 então agora é um valor maior que 5 ou menor de 5 pensa o seguinte raiz quadrada de 25 é exatamente igual a 5 não é então raiz quadrada

de 30 é um valor maior que 5 se é maior que 5 ou seja está aqui ó fdx será dada por x ao quadrado então efe de raiz e 30 isso aqui é exatamente igual à x ao quadrado ou seja a raiz de 30 e levado ao quadrado aí acontece mesmo esse quadrado corta com a raiz e o que sobra aqui ó é o módulo de 30 só que modo de 30 é o próprio valor 30 oc essas funções determinadas por sentenças da pessoal são muito importantes para a sexta e última questão que diz o

seguinte olha só fd rr ou seja que nós temos o nosso domínio e aqui está o nosso contra o domínio tal que fdx mais dois é igual fdx mais 15 cef de 5 a 8 determine efe de 7 e f de 3 ferreto como é que se resolve isso olha só essa informação aqui ó foi dada a esse valor 5 nada mais é do que o valor isso é assumir essa função então quando nós insistimos na função o valor x igual a 5f de 5 assumir valor 8 que quer dizer com isso ele quer dizer

o seguinte nessa função aqui ó se nós assumimos aqui ó trocando o x por 5 1 colocando cinco aqui nós devemos colocar os cinco aqui também ou seja efe de 5 mais 1 15 lado direito e lá disse que nós vamos te f de 5 mas quem mais dois beleza agora só quando a quebra de 5 mesmo fd 5 é 8 então vamos ter oito mais o 15 tá e lá e eles vamos ter fd cinco mais 2 ou seja efe de 7 fc7 então quem quer saber né é igual a 8 mais 15 ou

seja efe de 7 é igual a 23 agora quer saber quanto é que vale o fd 3 vamos pegar e copiar a função aqui embaixo fdx mais dois é igual à f e x mas o 15 a pergunta f3 que já fazia vamos colocar num lugar desses xis aqui ó o valor 3 como é que vai ficar vai ficar então f3 mais o dois fica 5 é igual à efe de 3 que é o que quer saber mais o 15 agora o fd 5 não vale hoje aqui em cima então efe de 5 valendo oito

anos trocar aqui ó isso aqui então será igual a oito é igual à efe de três mais o 15 agora que ele 15 vai passar lá para o lado esquerdo o sinal fica menos 15 ou seja é f de três será igual a 8 -1 15 portanto efe de 3 é igual a menos 17 pessoas chegamos ao final vá espero que você tenha entendido tudinho a gente viu domínio conta domínio conjunto imagem e as funções dadas por fórmulas beleza se você gostou da aula clique aqui e gostei ok acompanha próxima aula que ainda faz parte

dessa introdução de funções ok um abraço e até mais