Probabilidade em eventos dependentes e independentes | Ferretto

Então vamos lá pessoal vamos ver agora uma aula muito importante não somente para a prova do Enem mas também para vestibulars tradicionais e essa aula aqui é sobre assunto probabilidade no caso probabilidade entre eventos que são dependentes e também entre eventos que são independentes tá uma aula bastante importante anote tudo Preste bastante atenção e vem comigo aqui [Música] então a primeira coisa que a gente tem que saber aqui é diferenciar O que são eventos dependentes e o que são eventos Independentes tá vou começar com uma questão aqui bem simples falando primeiramente sobre eventos que são dependentes olha só aqui está a questão e ela diz o seguinte ó duas bolas são retiradas Olhem só simultaneamente tá de uma urna no caso coluna abaixo qual é a probabilidade de que ambas sejam vermelhas tá agora a gente vai ter que pensar o seguinte a gente vai retirar duas bolas simultaneamente então o que que está acontecendo imagine lá a urna toda escura né então você vai mexer lá as duas mãos e tirou as duas bolas de uma vez só pronto qual é a probabilidade dessas duas bolas aqui serem vermelhas eu quero que você repare que essa situação de colocar as duas mãos dentro da urna e retirar e olhar as duas bolas é a mesma situação de Olha só você colocar apenas uma mão na urna retirar a bola olhar ver se a vermelha tá deixar ela de lado não colocar novamente ou seja não repor a bola na urna colocar a mão lá dentro e retirar uma outra bola tá então colocar as duas mãos retirar ou colocar uma olhar não e colocar a segunda é a mesma coisa tá então duas retiradas simultâneas ou duas retiradas sucessivas mas sem repor a primeira bola é a mesma coisa então o que que a gente tem aí são dois eventos e a retirada da primeira bola e a retirada da segunda bola quer saber a probabilidade então nós temos duas bolas vermelhas Se você olhar na urna aí gente nós temos uma urna composta por 10 bolas das quais seis são vermelhas e quatro são azuis perfeito aí olha só o que acontece essa probabilidade que nós queremos calcular a probabilidade da ser vermelha e vermelha esse E aí a gente é fundamental aí na probabilidade né então vamos lá primeira coisa em relação a primeira bola aqui ó qual é a probabilidade de ser vermelha lembra que a probabilidade é uma fração no qual número do numerador é a quantidade de casos que são favoráveis e o denominador é o número total de possibilidades então se você quer retirar uma bola vermelha repara que tem seis bolas vermelhas então é 6 é o número de bolas que faz são vermelhas ou seja casos favoráveis dividido por total no caso 10 bolas ou seja seis em 10 seis em 10 6 / 10 é a mesma coisa que 0,6 que é a mesma coisa né que é 60% Beleza então ó primeira bola ser vermelha agora olha só gente E lembra que o e gente ó representa uma multiplicação no cálculo de probabilidades né e a segunda bola também é vermelha só que agora gente lembra que retirar simultaneamente as duas bolas ou retirar sucessivamente sem reposição é a mesma coisa eu retirei vi que é uma bola vermelha deixei de lado e vou agora retira segunda só que nessa segunda retirada Olha a urna que acontece ali gente ó acaba sumindo uma bola vermelha porque você já retirou uma bola vermelha concorda comigo agora nessa situação que está aí nessa segunda retirada nós temos um total de cinco bolas vermelhas em um total de nove bolas então a probabilidade é cinco nonos cinco dividido por 9 Então se a gente multiplicar aí gente nós vamos ter o que ó 5 x 6 é 30 10 x 9 a 90 30 dividido por 90 a mesma coisa que um terço então a probabilidade é uma em três ou seja aproximadamente ali 33%, beleza gente agora porque o que caracteriza essa ideia de eventos que são dependentes repara o seguinte quando eu retirei a primeira bola vermelha repare que a retirada dessa bola Keila vermelha ela interferiu na probabilidade da outra retirada Por que interferiu Porque na primeira retirada era 6 décimos 60% agora quando eu retirei a bola vermelha Opa a probabilidade passou para quanto gente passou para cinco nonos ou seja ela alterou essa primeira retirada ela alterou a probabilidade da segunda retirada por isso que o segundo evento ou seja retirada da segunda Bola Ela depende de você ter retirada da primeira bola vermelha ou nesse caso Azul beleza ou no caso Azul Beleza então nós temos aí eventos que são dependentes agora como é que seria um eventos Independentes vamos pegar aqui a mesma situação só muda pouco enunciado Olha o que diz ali ó duas bolas são retiradas sucessivamente tá E era só reposição aqui já muda tudo né da urna abaixo qual é a probabilidade de ambas ambas serem vermelhas é a mesma questão só que agora nós vamos retirar a primeira vamos olhar colocar novamente na urna vamos fazer o que um trabalho de com reposição tá Então olha só primeira coisa né probabilidade de ser vermelha e vermelha né então seria o que 6/10 e olha só vezes Agora a gente qual a probabilidade de retirar uma nova bola vermelha a gente olhou a vermelha colocou novamente ou seja a unha ficou exatamente da mesma forma da primeira retirada ou seja acaba sendo 6/10 novamente seis bolas vermelhas em um total de 10 bolas fazendo a multiplicação aqui a seis vezes seis isso aí dá 36 10 vezes 10 a 100 36%, então é um pouquinho maior né a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas comparadas a situação que no caso nós tínhamos anteriormente no caso dos eventos que são dependentes Então olha aqui você identificar evento que é dependente e independente nesse caso aí você não precisa nem identificar na hora da prova Ah isso aqui é dependente o independente mas saber o que você tem que fazer nessas situações que envolve reposição que não envolve reposição e outras situações que nós vamos ver ainda nessa aula tá como calcular o resultado é diferente reparem que esse evento aqui gente ele é um evento independente porque porque na retirada da segunda bola nada na entrada da primeira bola nada mudou a probabilidade da retirada da segunda bola porque na segunda bola quando a gente vai retirar a urna tá como ela tava anteriormente já que a gente fez a reposição Então são duas retiradas como se fosse a primeira retirada uma independe da outra beleza certinho vamos ver uma situação agora que eu quero que você já na leitura já identifique aí se são eventos dependentes ou Independentes beleza olha só a probabilidade de um jogador a acertar um pênalti é de 80% e a probabilidade de um jogador de acertar um pênalti é de 90%. aí vem a pergunta qual é a probabilidade de que pelo menos um deles Acerte o pênalti gente são eventos dependentes ou eventos Independentes pensa o seguinte primeiro batedor vai lá bate e acerta o pênalti tá acertou fez o gol e essa esse evento aí do primeiro batedor acertar o pênalti ele interfere de alguma forma no segundo tem alguma interferência não tem interferência nenhuma a afeto mas vai deixar o cara mais nervoso se o primeiro batedor já errar o pênalti o outro fica na obrigação tem aquela história mas não gente são dois eventos completamente Independentes beleza bom para resolver essa questão aqui gente nós vamos trabalhar com a ideia de eventos complementares que que são eventos complementares Olha só nessa situação aí vamos supor aqui aqui a probabilidade de acertar o pênalti e a probabilidade de não acertar o pênalti são essas essas situações que eu tô colocando aqui ó o x com a Barrinha como se fosse um não tá então isso acontece as duas situações ou você acerta ou pênalti ou Você erra o pênalti somando as duas probabilidades vai dar 100% por exemplo no jogador se ele tem 80% de chance de acertar o pênalti Em contrapartida significa ele tem 20 de chance de errar o pênalti e somar essas duas probabilidades 80% mais 20%. isso é 100% Então isso que nós vamos sempre considerar em eventos que são complementares ó ou você acerta o pênalti ou Você erra o pênalti tá então somando essas duas situações aqui ó dá 100% um né gente é 100% é 100 / 100 assim como 70% é 70 sobre 100 que é a mesma coisa que 7 sobre 10 que é a mesma coisa que 0,7 tá então nós temos aqui a 100% beleza agora olha só ele quer saber a probabilidade de pelo menos um dos jogadores acertar o pênalti os dois vão cobrar então o que que pode acontecer pode acontecer dos dois acertarem o pênalti pode acontecer de somente o jogador a acertar o pênalti e pode acontecer também de somente o jogador acertar o pênalti então calcular essa probabilidade eu vou fazer de uma maneira agora um pouquinho mais longa tá deixa eu ver aqui em cima tá fazer uma maneira um pouquinho mais longa mas ela vai ser de extrema importância na sua compreensão em relação ao cálculo de probabilidade olha só que é você ter o raciocínio bem correto é objetivo te leva um equacionamento correto querem ver olha só essa primeira equação aí ó a probabilidade tem então de pelo menos um dos jogadores acertarem o pênalti aqui ó está a probabilidade de do jogador a acertar o pênalti e o jogador B errar o pênalti ou gente ó Ou lá em conjuntos e também probabilidade a gente coloca adição tá ou pode acontecer o quê o jogador a errar o pênalti e o jogador B acertar o pênalti ou pode acontecer o quê dos dois jogadores tanto a quanto jogador B eles acertaram pênalti essas três situações aqui ó ocorre a primeira ou ocorre a segunda ou ocorre a terceira por isso nós temos estamos utilizando o sinal de adição tá essas três possibilidades configuram isso aqui ó pelo menos um deles acertar o pênalti tá agora o cálculo é bem mais tranquilo querem ver a probabilidade do ar acertar o pênalti o a é 80% ó 80% é oito décimos beleza e olha só E então às vezes e o jogador B errar se o jogador B tem 90% de chance de acertar o pênalti que ele tem 10% de chance de errar o pênalti tá é a probabilidade complementar então nós temos aqui ó e um décimo ou o jogador a errar jogadora seria então de 20% que a probabilidade complementar e novamente aqui ó o jogador a b no caso acertar seria 90% nove décimos ou 0,9 poderia calcular tudo em decimal também sem problema nenhum ou né gente ou então mais o a acertar é 80% e o b acertar os dois acertaram o pênalti 90%.

aí ia fazer continha gente ó 8 x 1 dá 8 10 x 10 dá 100 então fica 8 sobre 100 tá aqui ó 8 por cento mais duas vezes na hora 18 10 vezes 10 dá 100 9 x 8 72 10 vezes 10 a 100 adição aqui gente ó de frações que possuem o mesmo denominador a gente Conserva o denominador e vai somar os numeradores 8 + 18 + 72 dá 98 sobre 100 ou seja 98%, então é de 98% de chance tá olha só imagina dois jogadores em cobrar 98% de chance dos dois acertarem a cobrança fazerem o gol agora tem uma maneira mais rápida de calcular isso daqui Claro que tem E é isso que eu vou mostrar agora justamente trabalhando com essa ideia de complementar então se eu quero preste atenção comigo era bem para mim aqui ó se eu quero calcular a probabilidade pelo menos um acertar que que pode acontecer ou pelo menos um acerta ou os dois erram concorda comigo que essa situação também é vamos dizer assim gera probabilidade complementar Ou pelo menos uma certa dos dois ou os dois é isso que vai acontecer aqui a pelo menos um seria o acertar ou o b acertar ou os dois acertarem e aqui seria os dois errarem somando 100%, Então o que eu posso fazer olha só eu posso enviar isso aqui para o lado direito ele passa com o sinal negativo então a probabilidade de ao menos um deles acertar é igual a um menos a probabilidade dos dois errarem Então olha só é um menos a probabilidade do jogador a errar que é 20% e o jogador B errar no caso que é 10% isso aqui vai dar dois vezes um dividido por 100 dá 2%. 100% menos dois por cento Claro caímos novamente 98% dessa maneira é bem mais tranquila beleza certinho gente ó eventos Independentes nesse caso aqui e essa parte de e e ou em probabilidade é muito importante falamos aqui de eventos complementares muito importante também e quando o examinador colocasse a situação aí ó de pelo menos um faz o seguinte calcula então a probabilidade de 100% que é um menos de nem uma coisa acontecer daí o que vai acontecer essa probabilidade vai ser de pelo menos um acontecer Tá então vamos lá vamos fazer agora essa questão aqui de 2022 da faculdade de medicina Albert Einstein que diz o seguinte em uma equipe de 15 enfermeiras apenas duas tem mais de 20 anos ó duas tem mais de 20 anos de experiência as outras 13 então não tem então nós temos aqui ó 13 e duas essas duas tem experiência Vamos colocar uma estrelinha são mais vamos dizer Preparadas do que as outras sorteando-se ao acaso cinco enfermeiras para compor um grupo de trabalho a probabilidade Olha só de que nele esteja ao menos uma das duas enfermeiras é exatamente que eu acabei de falar então a gente vai sortear cinco pegar aleatoriamente ali cinco enfermeiras qual é a probabilidade de que pelo menos uma experiência esteja entre essas cinco essa probabilidade de quantos por cento Então a gente vai fazer justamente o contrário a gente vai pensar a probabilidade de não ter nenhuma enfermeira nenhuma enfermeira Experiente no sorteio da cinco se ao sortearmos 5 e nenhuma for experiente essa situação aí não nos serve Então a gente tem que pegar o total que é 100% menos aquilo que não nos serve Então qual a probabilidade de nós fazermos aqui ó a retirada a escolha o sorteio de cinco enfermeiras e a cinco serem não experiência vamos dizer assim bom a gente sabe que tem 15 enfermeiras e tem três então é como se ela tivesse 15 bolinhas tem duas vermelhas e 13 azuis eu quero pegar um azul né são três enfermeiras total de 15 quero pegar uma azul então é 13 em um total de 15 então vai lá 13 em um total de 15 então ó retirei fiz um retirada a primeira bola no caso é escolher aleatoriamente a primeira enfermeira e vou escolher a segunda evento eventos dependentes ou Independentes dependente né gente porque eu peguei a primeira enfermeira colocamos ali para formar o grupo agora não terão mais 15 enfermeiras terão 14 enfermeiras e não terão mais 13 sem experiência teremos 12 tá então a retirada da primeira escolha da primeira enfermeira aleatória né ela interferiu na probabilidade da segunda porque na segunda nós vamos ter um total de agora de 14 enfermeiras mas apenas 12 que são com menos de 20 anos de experiência e assim vai indo a terceira gente bom aí vai cair para 13 enfermeiras e apenas 11 e para quarta cai para 12 enfermeiras e apenas 10 são sem experiência e a quinta e última nós vamos ter ali ó 11 enfermeiras tá e Apenas no caso aqui ó 9 enfermeiras que são sem experiência então essa probabilidade aqui ó retira a primeira e retira a segunda e retira a terceira isso tem que acontecer o que a gente que nenhuma Isso vai nos dar probabilidade de nenhuma é 5 ser experiente porque nós retiramos as experiências tá então a gente pode aqui ó cancelar aqui com aqui o 12 com 12 ou 11 com 11 aqui a 10 vezes 9 isso aqui é 90 denominador 15 vezes 14 Olha só gente 15 vezes 14 90 / 15 dá 6 isso aqui dá 6 / 14 que é a mesma coisa que 3 sétimos simplifiquei então a probabilidade que eu quero nessa situação é um menos a probabilidade que eu não quero qual é a probabilidade que eu não quero ou seja que não tenha nenhuma experiente é de três sétimos um menos três sétimos isso aqui gente dá quatro sétimos ó sete vezes não dá sete menos três dá quatro quatro sétimos a resposta poderia ser assim tá em forma de fração mas está em formato de percentual nós dividirmos aqui ó quatro sétimos já fiz essa continha aqui ó nós vamos ter ali aproximadamente 0,57 isso aqui gente aproximadamente então 57 por cento alternativa letra A beleza caso aí de eventos que são dependentes bom última perguntinha que a última questão da Unesp ano de 2023 questão aí bem recente né diz assim ó a tabela indica o chaveamento de oito times que chegaram Às quartas de final de um torneio de futebol nos jogos de quarta de final as porcentagens ao lado de cada time indicam sua probabilidade de seguir adiante no torneio então por exemplo a quarta de final gente tá aqui os dois jogos de quarta de final e aqui os dois jogos de quarta de final quem passar vai para semi e quem passar da Sene vai para a final beleza esse percentual que por exemplo no grupo A é o time 1 e o time 2 nesse jogo aqui ó o time 1 tem 60% de chance de passar desculpa enquanto que o time 2 tem 40% de chance de passar para a semifinal beleza bom agora olha só nos jogos da semifinal as probabilidades de cada time dos grupos eif são iguais a 50%. então aqui gente ó é 50% aqui é 50 que é 50 e aqui é 50 jogos para eles vamos dizer assim né vamos seguindo coloquei novamente a tabela aqui tá e a pergunta está aqui ó qual é a probabilidade de o time um disputar a final desse torneio contra os times cinco ou sete não pode ser ali né tem que ser ou é ó mais hein então assim ó não tem como disputar a final com os dois times qual a probabilidade de disputar com o time cinco ou com o time 7 primeira coisa gente vamos calcular as probabilidades do time 1 do time 5 e do time 7 chegarem até a final Olha só qual é a probabilidade do time 1 chegar a final bom time um passar desse jogo aqui ó é 60% vou colocar decimal agora para você ver que também pode ser feito cálculo decimal Então ele ganha esse jogo aqui e ganha esse jogo aqui ó e aí vai estar na final tem que ganhar os dois tem que ganhar esse jogo e esse jogo não é esse jogo ou é esse e esse é o jogo da quarta e jogo da semi então e qual a probabilidade de ganhar o jogo aqui gente 50% né que é 0,5 Então as ervas 5 x 0,6 só que é 0,3 Ou seja 30% é a probabilidade do time 1 chegar na final agora a probabilidade do time cinco comprei os times cinco primeiro do time 5 aqui ó É 50% nesse jogo caiu aqui e aqui a 50% também né então 50% passar das quartas para semi ou seja 0,5 e da semi para a final 50% também então 0,5 x 0,5 só que é 0,25 ou seja 25% agora qual é a probabilidade do time 7 chegar até a final vamos ver olha só o time 7 Então vem ser esse jogo a probabilidade de 45%, então é 0,45 e tem que vencer esse daqui também ou seja vezes 0,5 isso daqui gente 045 x 0,5 isso aqui é 025 ou seja 22,5 Beleza então a probabilidade que a gente quer gente pensa o seguinte ó Ele quer saber de o time 1 fazer a final com o time 5 ou com o time 7 Então essa probabilidade é do time 1 fazer a final com o time é cinco tá vamos botar assim a probabilidade do 1 e probabilidade do time 5 ou né ou pode acontecer o time 7 ou time nenhum chegar na final e o time 7 chegar a final beleza vamos continuar aqui em cima qual que é essa probabilidade Então tem um vezes P5 gente é 03 vezes 0,25 0,3 x 0,25 ou pode acontecer chegar com o time 7 time 7 seria P1 e P7 porque tem um ep7 né porque é o time um chega na final eu tive 7 chega na final qual a probabilidade de mim o cheiro na final 03 qual a probabilidade do time 7 chegar na final 0 225 Então essa probabilidade aqui gente ó Isso aqui vai dar 0,075 na primeira multiplicação e nessa outra aqui a 0,0675 se nós somarmos ó probabilidade com essa com essa somando as duas probabilidades chegaremos ali a 0,14 25 que isso aqui é a mesma coisa que 14,25%.

14,25% a alternativa correta é a letra B de Brasil beleza gente olha só que aula importante sobre probabilidade tratando aquela história de e ou probabilidade complementar e principalmente né eventos dependentes e independentes e agora a pergunta que não quer calar esses eventos aqui ó o time a chegar na final e o times time Ah não time 1 e o time 5 chegaram nas finais evento time 1 já na final e o time Sim já na final de São eventos dependentes ou Independentes são independentes um não vai jogar com outro cada um tem que fazer as suas vitórias ali são eventos Independentes nessa situação beleza gente espero ter ajudado vocês dá um abração ah Vale lembrar uma coisa hein para quem não conhece nosso time gente não sou só eu hoje na plataforma tá nós temos aí a plataforma do professor Ferreto corre lá veja um time de matemática humanas linguagens natureza redação enfim preparação completa para o vestibular ou também para a prova do Enem vai lá Professor ferreto. com.