Estatística e Probabilidade - Probabilidade condicional e independência

[Música] Olá pessoal bem-vindos a mais uma aula da nossa disciplina de estatística e probabilidade Hoje a gente vai falar de probabilidade condicional e Independência então a gente viu Que probabilidade é uma função que associa um número entre 0 e 1 a um determinado evento o que acontece é que muitas vezes a gente quer analisar dois eventos em sequência então uma coisa aconteceu qual a probabilidade de outra acontecer posso perguntar por exemplo qual a probabilidade de ter inundado a Marginal em São Paulo dado que choveu mais de 100 mm bom essa probabilidade deve ser um né

Mas a gente pode fazer essa pergunta qual a probabilidade do meu carro derrapar na curva dado que o meu pneu já tá com 70 mil quilômetros rodados então eu quero saber a probabilidade de um evento em função de conhecimento que eu já tenho a palavra-chave aqui é conhecimento quando a gente sabe alguma coisa e vai calcular uma probabilidade que de alguma forma pode estar ligada com aquilo que a gente sabe a gente tem mais elementos para estimar essa probabilidade e quem traz esses conceitos para o formalismo matemática as fórmulas que a gente usa para deixar

claro esse tipo de raciocínio são as fórmulas da probabilidade condicional e a noção de independência tá legal probabilidade condicional dados dois eventos A e B com P de B maior que zero Então veja bem tenho dois eventos a e b a Marginal transbordou B choveu mais de 50 mm a probabilidade de B tem que ser maior que zero tá então se eu tenho dois eventos A e B com p e b maior ou igual a zero maior que zero perdão maior igual não maior que zero a gente define a probabilidade condicional de a dado B

tá escrito aqui do jeito que a gente lê tá em destaque aí a probabilidade condicional de a dado b então dado que b a conta de aconteceu a probabilidade condicional de ar é dado por esta fórmula que a notação é essa P de a/b isso a gente lê probabilidade condicional de a dado B ou probabilidade de a dado b o condicional da implícito pelo jeito que a gente falou é dado pela razão entre a intercessão desses dois eventos dividido pela probabilidade de B a probabilidade condicional pediada do B responde a seguinte pergunta sabendo que o

evento B ocorreu qual a probabilidade do evento a ocorrer também tá bom então em figuras a gente tem o seguinte a gente tem aqui o evento a eventual é um conjunto né a gente ainda tem aqui o evento a a gente tem o evento B tá bom a que a gente tem aqui o evento B que são dois subconjuntos que estão dentro do espaço amostral e a gente tem uma intercessão entre eles aqui ó isso aqui que tá chorando aqui é intercessão isso aqui é a a intercessão com B tá bom aquela parte achurada ali

eu gostaria de ter feito a parte achurada um pouquinho maior para ficar claro mas vocês estão entendendo né o que acontece é que a probabilidade condicional vai me dizer o quanto de a intercessão B representa de b então dado que B aconteceu quanto de B também é Então o que eu tenho O que é probabilidade condicional Olha é o conjunto B como se B fosse o meu novo universo o meu novo universo não é mais o espaço amostral inteiro é só aquele subconjunto de eventos que aconteceram o b choveu mais de 50 milímetros a partir

do momento em que eu tenho aquele novo novo assim ele é um espaço amostral efetivo Quanto Desse cara que é aquela partezinha que tá achourada ali Quanto Desse cara também é aqui ó a interseção com B Tá bom então o que acontece é que a probabilidade de condicional olha para probabilidade de a acontecer dentro de B por quê Porque eu tô dizendo B aconteceu quanto de B também é em relação a b quanto dessa probabilidade recai sobre a também se a gente voltar aqui ó a gente voltar aqui na definição pediatra do B epdiar A

intercessão com B que aquela partezinha chorada dividido por mês em relação a probabilidade de B quanto disso eu posso atribuir a ou seja quanto do total das coisas que acontecem que são B quanto disso também é isso que quer dizer a probabilidade condicional tá bom tá em termos de desenhos geralmente pediatra do B maior que isso aqui é uma coisa importante também interpretação bonita o BM traz informação falou qual a probabilidade de a Marginal ah sei lá existe uma probabilidade ali qual a probabilidade de da Marginal transbordar dado que choveu mais de 100 mm Ah

agora eu já sei bastante eu tenho informação o b me trouxe uma quantidade de informação então em relação a essa informação nova a minha certeza de quanto a pode acontecer ou não de quanto a Marginal pode não transbordar aumenta então a probabilidade condicional geralmente é maior que a probabilidade do evento sozinho ou seja a probabilidade condicional é uma maneira de eu atualizar o meu conhecimento sobre a probabilidade do evento acontecer o b me traz informação Eu uso esse a ocorrência do evento B me traz informação que eu posso usar para estimar a probabilidade de ar

de maneira mais precisa essa é uma interpretação que tá na origem da teoria da informação por exemplo que é um tópico de teoria de probabilidades estatística de enorme utilidade super contemporâneo muitos de vocês já devem ter ouvido falar a teoria da informação uso de probabilidade condicional inferência benesiana que é um tópico derivado é tá nos fundamentos da teoria da informação junto com uma determinada funçãozinha lá que se chama função entropia tá bom para quem tiver interesse aí pode digitar no Google e ir atrás de entropia de informação bom uma outra coisa que o conceito de

probabilidade condicional nos permite fazer definir o que são eventos Independentes pensa assim a gente já se convenceu aqui de que quando eu sei que B aconteceu eu posso melhor estimar qual a probabilidade de a acontecer problema de a dado B se esses dois eventos forem Independentes nada muda né então qual a probabilidade do Palmeiras ser campeão dado que o número 27 saiu no sorteio da mega-sena dessa semana bom a gente pensa pô mas não tem nada a ver né qual a probabilidade de um time ser campeão dado que um determinado número saiu na mega-sena bom

esses eventos são independentes então a probabilidade do time ser campeão não depende de dos números da mega-sena da semana em que ele jogou são eventos Independentes ou seja pediar dado B continua sendo pediar a informação que o BM trouxe é irrelevante porque porque a probabilidade de a acontecer nada tem a ver com a probabilidade de B acontecer então esse conceito de que B traz uma informação para eu atualizar minha estimativa da probabilidade de a me permite definir eventos Independentes como aquele caso em que essa informação trazida por B é de relevância nenhuma Tá bom matematicamente

a gente escreve assim ó só passei o p e b para o outro lado então pedir a intercessão com b é pediatra do B vezes P de muitas vezes por exemplo por exemplo uma amostragem sequencial por importância eu tenho uma urna com 5 bolas três pretas e duas brancas eu tiro uma bola branca qual a probabilidade da minha próxima bola sair Branca bom essa informação de que a primeira bola foi Branca me traz informação porque agora só sobrar só sobrou mais uma bola branca e três pretas então a probabilidade Inicial era dois quintos mas agora

a probabilidade de vírus ficou sendo um quarto que eu só tenho uma de quatro antes eu tinha duas de cinco agora se eu faço a reposição eu tiro uma bola branca a primeira bola foi Branca põe de novo lá qual a probabilidade da segunda bola ser branca é a mesma probabilidade que eu tinha antes o fato de eu ter tirado uma bola branca ou preta ou de qualquer outra cor no começo se tornou irrelevante porque a próxima situação é exatamente igual a que eu tinha antes então por exemplo amostragem sequencial com reposição é um caso

desse típico é um caso típico desse aqui a probabilidade de a da do B é igual a probabilidade de a ou seja o evento b não me trouxe informação nova nenhuma nestes casos o que que acontece se a gente pegar essa equação aqui e colocar pediada WB igual a p de a que que vai acontecer eu vou obter essa outra equação aqui pedir a intercessão com B fica sendo pediatra vezes P de B Essa é a definição operacional prática de eventos Independentes quando que dois eventos de um espaço amostral quando que duas coisas são independentes

entre si quando a probabilidade da intercessão delas ser igual o produto das probabilidades e esse raciocínio é claro quando a gente pensa em probabilidade condicional né Uma Outra vantagem de pensar em termos de probabilidades condicionais tá bom pessoal essa definição aqui é muito interessante que vocês guardem porque ela é muito útil tá legal baseado nisso tudo que a gente falou a gente pode estabelecer o teorema de bayers nos ensina como atualizar nossas estimativas de probabilidade do eventual conforme a gente vai receber ainda mais informação teorema de bens é uma é uma reescrita daquela fórmula da

probabilidade condicional de maneira a deixar bem claro que quando a gente realiza um experimento quando a gente observa um resultado os resultados desse experimento Se eles forem dependentes com o que a gente quer saber se houver alguma dependência entre essas coisas entre se houver alguma dependência entre evento A e B saber o que deu experimento aleatório para verificar qual a probabilidade B me ajuda a incrementar o meu conhecimento sobre a probabilidade de ar então teorema de bens se baseia nessas duas formas pediatra do B é isso aqui p de B dado a é o contrário

só que os numeradores aqui são a mesma coisa né pessoal esse cara aqui e esse aqui eles são a mesma coisa né porque a intercessão com b e B interseção com a mesma coisa então o que eu faço eu identifico esses dois caras e chego nessa equação aqui pediada do B vezes P de igual a p de B dado a vezes P de a igual os dois lados passo o p de B para o outro lado e obtenho essa expressão aqui essa expressão tem a seguinte interpretação pediá qual a probabilidade de observar a dado que

P que aconteceu é a minha probabilidade Inicial minha crença Inicial que eu sabia sobre a atualizado por um fator que fator é esse esse é o fator que me traz informação nova é que chama de atualização sua probabilidade a priori a posteriori são nomes que se usam em probabilidade inferência bem exiana então isso é uma coisa muito bonita na probabilidade condicional a gente tá falando aqui de coisas que são muito caras né quer dizer a partir do conhecimento que eu tenho de alguma coisa eu atualizo as minhas crenças né porque o que eu vou estimar

em termos de probabilidade o que eu vou avaliar em termos de risco e risco é probabilidade né que os riscos que eu vou correr eles são mais precisos e mais como dizer eu eu tendo a acreditar mais neles dado que eu tenho um conhecimento prévio de outras coisas que aconteceram que podem afetar aquele evento isso em termos de probabilidade condicional é assim que se escreve tá bom finalmente a gente tem a fórmula da probabilidade Total teorema de bens nos diz que isso aí é verdade né simplesmente né pediatra a intercessão com B é pedir intercessão

com a igual a esses dois lados obtenham esse essa fórmula do Teorema de B que é o que tava aqui no nosso slide anterior tá legal o que acontece é que se eu quero dessa forma ela usada para inverter probabilidades Olha eu sei quanto é p de b w a Mas eu quero saber quanto é pediada do b então eu sei qual é a probabilidade de eu estar doente e o meu teste dá positivo Eu quero saber qual a probabilidade de eu do meu teste da Positivo sendo que eu estou doente essas probabilidades não são

a mesma coisa então a fórmula de bês o teorema de Bis ensina a gente a inverter essas probabilidades o que acontece é que normalmente eu não conheço o denominador normalmente eu não conheço o p de b o que acontece é que eu posso decompor B em termos de coisas que eu conheço eu pego o espaço amostral inteiro que tá aqui eu pego espaço amostral particiono ele em eventos mutuamente exclusivos conjuntos de juntos a 1 a 2 A 3 A N E o evento B é um cara ali dentro eu escrevo B como bem intercessão com

A1 união com bem intercessão com a dois união com B interseção com a n essas partes são todas de juntas cada uma dessas partezinhas cinzas aqui são de juntas então quando ela calcula probabilidade desse cara é a soma dessas probabilidades e a soma dessas probabilidades em termos de probabilidade condicional nada mais é do que essa fórmula que está aí então a lei da probabilidade Total permite a gente escrever um termo que a gente não conhece em termos de uma soma de termos que a gente conhece isso é muito útil quando a gente quer inverter probabilidade

condicionais eu tenho pediatra do B eu quero calcular P de Bw a então pedir a ou P de B uma coisa aí que eu não conheço vai aparecer no meio dessa conta aí eu apelo para lei da probabilidade Total fácil Essa decomposição soma todo mundo lá e uso na forma onde eu preciso tá bom isso permite a gente então inverter probabilidades condicionais Tá além da probabilidade total é importante pessoal na aula de exemplos a gente vai ver uma aplicação disso aqui o que acontece é que a gente pode pensar nos eventos A1 a dois etc

como uma um conjunto de hipóteses né então por exemplo qual a probabilidade de [Música] Vamos pensar numa hipótese qual a probabilidade do pneu estourado dado que o carro capotou qual a probabilidade da curva estar da curva ser muito acentuada dado que o carro derrapou qual a probabilidade de ter óleo na pista dado que o carro derrapou então eu sei que o carro derrapou e eu tenho três hipóteses tinha óleo na pista o pneu estourou a curva era muito fechada qual dessas é verdadeira então eu tenho o que eu posso interpretar em termos de improbidade condicional

uma interpretação estatística é de que a probabilidade inicial a probabilidade por exemplo da curva ser muito fechada ela vai ser atualizada pelo conhecimento do que aconteceu em B né então a curva é muito fechada bom o carro derrapou qual a probabilidade do carro da curva ser fechado dado que o carro derrapou Então eu tenho hipóteses que ao realizar um experimento eu uso a informação trazida por esse experimento para averiguar essa hipótese Então essas probabilidades condicionais perda da hipótese dado que aconteceu alguma coisa a probabilidade de ter olho na pista dado que o carro derrapou é

chamado de verossimilhança a Vera semelhança quer dizer o quanto é crível o quanto qual Quantos elementos o quanto de crença eu tenho no fato de que tinha óleo na pista dado que o carro derrapou então eu realizo o experimento eu atualizo a informação que eu tenho baseado no resultado daquele experimento e atribua essa informação atualizada uma verossimilhança para as hipóteses que eu tô testando esse raciocínio aqui tá na raiz do método científico e é uma das principais aplicações da inferência beeziana Tá bom então vocês ganham uma olhada nisso aqui depois que visitem esse slide várias

vezes até vocês entenderem isso daqui e por hoje é só muito obrigado até a próxima aula pessoal [Música] [Música]