Aula 5.11 - Multiplicidade do gás ideal

pausa para respirar porque agora venho agora vem um um tema pouco mais delicado do ponto de vista de formal mais importante lembre que eu já falei pra você que ao longo da licença disciplina longo desse método nós vamos focalizar três sistemas físicos modelo três sistemas físicos que são é que vão nos ajudar a criar a intuição sobre a termodinâmica esses três sistemas física a gente já mencionou quais são é o para magnético dos estados falamos sobre ele na hora passada o sólido diante tem estamos falando sobre o momento eo lugar ideal esses três sistemas vão

está na nossa mira o semestre inteiro a o que eu vou fazer agora é usar o ferramental que eu acabo de derivar em particular a maneira de calcular multiplicidade de macro estados para abordar o gás ideal não é só o tema é um lugar ideal primeiro tentar caracterizar de uma maneira mais simples aqui é tentar caracterizar o cais ideal de um jeito prático pra mim assim o ideal é oco é a coleção de partículas independentes entre si e não localizadas eu vou também exigir que essas partículas sejam indistinguíveis o que eu vou fazer aqui é

encontrar uma maneira de calcular a multiplicidade de um macro estado do gás ideal é isso que eu quero fazer eu vou começar é tentando descobrir como eu calcula multiplicidade para um caso muito simples base ideal que só é composto de uma partícula então a pergunta é a seguinte suponha que eu tenha uma partícula dentro de um recipiente com o volume determinado ver e eu quero saber e com certa energia determinado eu quero saber quantas maneiras essa partícula pode está organizada pode está situado bem eu tenho eu tenho na verdade é duas têm o duas coisas

com as quais mexer 16 posição da partícula e outra é o seu vetor velocidade estou falando é a multiplicidade associada a uma determinada determinado valor de energia de volume está ligada às diversas maneiras como eu posso colocar essa partícula portanto as posições nas quais eu posso colocá lo e as diversas formas que eu tenho de orientar o seu vetor velocidade ou se você preferir o vetor momento certo espero que esteja claro que do ponto de vista da da posição se eu tenho um determinado volume v eu tenho lá uma certa quantidade de posições nas quais

eu posso botar essa partícula seu dobrar o volume é o dobro da quantidade de posições também então a quantidade de posições diferentes nas quais eu posso votar partícula deve ser proporcional ao volume todo mundo aceita esse argumento e princípios alguém poderia dizer papel é esse número tem que ser infinito porque quantos pontos diferentes têm em qualquer volume infinito enquanto as orientações diferentes têm o vetor momento e finitos parece que todo 11 veículos sem saída mas não é verdade porque em primeiro lugar a outra vez eu to me colocando numa situação na qual meus instrumentos de

medida tem uma precisão fita então não é verdade que duas posições que definirão entre si por uma distância pior do que a precisão do meu instrumento pra mim quem faz são iguais melhor do que isso ainda lembra que na realidade eu estou falando de uma partícula microscópica eu tô falando de uma partícula que é quântica que obedece a mecânica quântica e mesmo que você nunca tenha visto mecânica quântica na sua vida você certamente já ouviu falar do princípio da incerteza de heisenberg que diz que eu não posso determinar com precisão absoluta ao mesmo tempo a

posição ea velocidade de uma partícula em particular se eu pensar que essa posição está estruturada não está especificada por meio de um sistema cartesiano xyz e portanto o momento também tem um componente x componente psicopolítico dizê-la incerteza associada à posição a componente x da posição multiplicada pela incerteza associada à componente x no momento não pode ser menor do que um determinado limite que a natureza nos impõe e esse limite é dado por um por um acordo por uma constante física chamada constante de planck que tem que ser maior ou igual a constante de planck e

o mais por mais preciso que eu consigo ser quando isso aqui é h então na verdade é como se eu tivesse o seguinte eu tenho aqui o eixo x xx as posições nas quais essas partiu essa partícula pode está não são um contínuo sobre esse eixo x porque o produto da distância entre duas posições diferentes e há há a certeza que eu tenho no momento associado a cada uma delas não pode ser arbitrário na é como se eu tivesse uma coisa assim eu tenho um conjunto infinito de posições possíveis aqui eu vou chamar isso aqui

de um delta x ela pode estar aqui ou pode estar aqui pode estar aqui mas não importa no meio bom então a caco o número de posições diferentes é o número de coordenadas x diferente que essa partícula pode ter é o tamanho da aresta do recipiente onde ela está contida achava isso aqui dl e pedindo por delta xixi ou se foi um paralelepípedo lx sobre delta x é isso é isso é com a quantidade de escolhas diferentes que eu tenho para a posição xixi para a coordenadora x ora então se eu me lembrar que além

disso tenho as coordenadas y e z a quantidade de posições diferentes nas quais eu posso colocar essa partícula vai ser o produto lx sobre elton xl sobre delta ylva sobre del trazer lx vezes ly vezes eles é o volume então eu posso dizer que isso aqui é e aqui ele apareceu o volume de fato você vê que a quantidade de posições diferença proporcional o volume como eu tinha anunciado antes tá bom mas e no que se refere ao momento se eu digo que essa partícula tem uma determinada energia chamada gil a energia que essa partícula

tem agora começa uma partícula sozinha solta né tá andando pra lá e pra cá a única energia que ela pode ter energia cinética então essa energia tem que ser meio dia 22 os que têm termos do momento p quadrado sobre 2m mas o momento pelo quadrado ele tem componente xyz porto é p x quadrado mais peritos um quadrado mas pensei quadrado então isso aqui é x quadrado subiu 2m mas o y quadrado subiu 2m mas desenquadrado sobre 2m senhor especificou qual é o valor da energia que essa partícula tem o especificou qual é o valor

da soma desses quadrados mas eu tenho liberdade às diversas escolhas possíveis para pxp y e z se você imaginar um sistema cartesiano abstrato no qual os eixos são peixes p y e z se a soma dos quadrados de peixes competição fez e tem que dar 2 e mil que é o que acho que tá aqui ó isso significa que os valores possíveis de peixes pym pz são as coordenadas de todos os pontos que pertencem à superfície de uma esfera cujo raio é raiz 2000 tá certo desse raio que agora fica claro que se eu tiver

mais energia os pontos associados a essa energia pertence à superfície uma espera maior portanto vai ter mais possibilidades diferentes claro então que a multiplicidade vai crescer com a energia nós já sabíamos disso eu apaguei quem estava no caso do solo de astana que a multiplicidade era proporcional à energia e levado ao se esta coisa dos graus de liberdade sobre dois portanto é crescente com a energia outra vez é crescente com energia que também né então de certa maneira eu posso dizer que a multiplicidade associada a uma partícula com jumar que o estado está especificado quando

digo qual é o volume e qual é a energia ela tem que ser associada ao volume geométrico não está aqui volume geométrico e ao volume associado às diversas possibilidades de escolha do px y e z que eu vou chamar de ver algo assim aqui uma um simbolismo simplesmente não leve isso aqui ao pé da letra e aí eu poderia pensar também que o eixo pexixe vai ser dividido da mesma maneira que eu dividi o eixo x em posições ou e valores que diferem por delta peixes por tantas os diferentes valores da componente x do momento

vão ser é o momento total é dividido por esse delta pexixe então eu posso escrever isso assim o blog chamado isso aqui como eu chamei aqui no dl eu vou achar que é mais aqui de um lp então eu vou ter na verdade pra cada componente para a componente x eu vou ter l sobre delta x possibilidades na posição e eu vou ter lp sobre delta px de possibilidades para a componente x no momento isso aqui vai me dar um l vezes um lp / delta x vezes delta peixes e isto é h é então

há que eu sei eu já tinha incluído que a multiplicidade tinha que ser proporcional essas coisas e agora tô gostando você qual é o fator de proporcionalidade isso me leva ao resultado de que o ômega um vai ser igual eu vou multiplicar temos como esse para a componente x y e z não vou ter um sobre a gal cubo que multiplica o volume que multiplica o volume associado às diferentes possibilidades de orientação do momento p posição eu tenho essa parece número de escolhas para cada coordenada da data escolhida uma posição eu vou escolher uma orientação

do momento significa escolher um valor para pxp y e z isso significa na verdade eles estão eu não tenho liberdade para escolher os 3 independentemente se eu escolher o peixe copy3 e está determinado por isso na verdade esse volume no espaço de momento na verdade não é exatamente o volume é uma superfície é a superfície da esfera associada ao raio raiz de 2000 muito bem isso aqui é o resultado para uma partícula que para duas em algum momento a gente vai usar o princípio da indução não é isso a gente consegue determinar o resultado para

2 pra n para duas é fácil né veja só eu sei a multiplicidade associada uma partícula a então esse primeiro escolha a posição de uma partícula eu sei quantas maneiras eu posso fazer isso escolha a posição da outra sei quantas maneiras eu posso fazer isso tem que tomar cuidado para o fato de que essa situação particular um aqui partícula dois aqui é a mesma que partícula um aqui partícula dois aqui porque elas são indistinguíveis então na hora que eu faço o produto das diversas maneiras que eu tenho posicionar uma ea outra eu tô contando a

mais tá certo tem que dividir pela permutação das duas que em 2002 no que se refere ao momento não é verdade que eu possa multiplicar as diferentes possibilidades que eu tenho de orientar o momento a partícula 1 pelas diferentes possibilidades que eu tenho de orientar o momento a partícula dois porque agora a restrição não é independente para cada momento eu só sei que a energia total vale o que eu não sei quanto vale a energia de uma ou de outra tá certo as diversas maneiras que eu tenho de distribuir a energia entre a partícula uma

partícula dois fazem parte da contagem desses diferentes micro estados possíveis então a minha restrita a minha restrição aqui da instituição aqui é que o meu a energia total do sistema tem que ser o portanto onde eu tinha essa equação de conservação aqui pra uma partícula agora eu tenho uma equação que envolve seis fatores porque envolve peixes da partícula um coordenadas ou perdão aos componentes do momento da partícula 1 mas as componentes no momento da partícula 2 isto aqui é que tem que dar 20 mil tá certo então ao invés de eu ter o produto de

dois fatores que contam quantas possibilidades de orientação do momento eu tenho pra cada um das plantas partículas eu tenho um fator só que me diz de quantas maneiras eu posso distribuir a energia total entre seis parcelas distintos então o espaço onde vive o vetor momento que tinha dimensão três acerto agora tem dimensão 6 então na verdade o resultado para este caso vai ser um meio o meio por causa da dupla contagem no caso das posições do volume elevado ao quadrado multiplicado pela superfície de uma hiper esfera em seis dimensões associada a um raio raiz de

2000 então vp em seis dimensões aqui eu tinha bp em três dimensões certo essa é o resultado é para duas partículas se eu sei fazer para duas eu sei fazer pra n na verdade me diga qual é o resultado pra ele um sobre fatores ao dn patrulha de patrulha da tecnologia x v elevado a ene vezes vp de dimensão três vezes ele então a área a área melhor dizendo a área da ipr esfera ela é dada pelo seguinte ponta onde de a dimensão do espaço então é um espaço tridimensional de 3 a aac eu tô

falando de um espaço que é 3 ceni dimensional isso a gente chega aqui olha só quando a dimensão por três isso aqui vai dar 2 pia três meios não dias 13 é ruim ver são dois pensam porque vai dar fatorial de um número é fracionário eu não quero discutir aqui mas quando dimensão dois aqui dá fatorial de 04 01 ciac da pia levado a 12 pierre elevada 12 pierre é a circunferência é a fronteira de uma hiper esfera de dimensão 2 é o perímetro de um círculo você fizer isso pra mim é igual a 3

que consultar o que é fatorial de um número fracionário isso aí vai dar pierre quadrado que essa área de uma hiper esfera de dimensão 3 e assim por diante então com essa expressão na mão eu vou escrever a multiplicidade de um gás ideal composto de n partículas com energia total o simplesmente uma cópia do que eu já fiz até agora vamos apontar de onde veio cada um dos termos desse bicho feio que apareceu aqui né um sofá tori ao dn a gente já viu vem da índia extinguida didá ceni partículas ver elevado a ele veio

da não localidade das partidas e agora tem esse terreno aqui então tenho dois piller vado a 3m sobre dois assim tentei agarrar ao colocar o cubo que tinha vindo cá dele aliás eu tinha esquecido escrevê lo aqui né aqui já tinha aparecido 1h sexta quer agarrar o cubo x ao cubo então aqui está o h3 e então aqui é a fórmula da área da ip espera simplesmente é substituída por três ceni simplificação imediata a fazer aqui porque lembre em um número grande número grande somado com o número normal é o número grande então esse -

um aqui não existe pelo mesmo argumento aqui também não aqui está a multiplicidade de um galho ideal dn partículas de energia há a desculpa que apresenta certo que o livro hc muito obrigado o importante aqui é o seguinte é que nós conseguimos obter uma expressão para a multiplicidade que depende da energia do sistema do volume e da quantidade de partículas de um dvd n que eu posso escrever assim ó sinteticamente tenham a dependência em n quer ver elevado a ele tem uma dependência na energia que a energia é a raiz de ueda levado a 3

n isso aqui é energia e levado a 3m sobre dois para um pouquinho pra olhar isso energia elevada três anos 2 quanto os graus de liberdade têm o gás ideal com em partidos 3g e olha o resultado de novo e energia elevada metade dos graus de liberdade tá certo essa é a parte bonitinha o resto é feio osasuna verdade mas é uma função dn complicada tudo bem mas olha só olhando para isso aqui a gente já tem alguns resultados imediatos eu tenho um lugar ideal com energia o volume v ele partículas eu deixo esse o

recipiente aumentar de volume para ter um volume 2 de ver muito bem nesse volume desculpe vou começar vou pensar de novo tenho um volume v m partículas de energia total o ártico estão distribuídas aqui dentro do volume v alguns algumas configurações podem estar associadas ao mal estado por exemplo de todas as partículas estão de um lado só ocupando o volume vez sobre dois certo qual é a probabilidade de ocorrência de improbidade relativa de ocorrência desse estado aqui basta você comparar a multiplicidade associada à vez sobre dois com a multiplicidade associada a ver de vida ômega

o vez sobre dois n por ômega o vê e tudo igual aqui no seu ver fica vez sobre dois é dividido por vez sobre n vez sobre ele cancela fica um sobre dois elevado a n ou seja as moléculas de atmosfera que estão aqui podem num determinado momento se concentrarem do lado direito da sala para isso a metade nós todos morreremos sufocados qual é a chance de isso ocorrer é proporcionar um sobre dois elevado a n1 sob dois elevada 10 a 23 respiramos aliviados não é impossível mas é muito improvável ea probabilidade relativa é tão

pequena que a gente pode esperar mais ou menos 10 trilhões de idade do universo até ocorra essa coisa uma vez nós não vamos estar aqui daqui a 10 bilhões de da universo não morreremos sufocados por causa disso certo talvez por outro motivo é observe que eu obtive aqui a multiplicidade que é o indicativo de qual é o estado mais provável que é aquela coisa que vai nos dá a lei básica que é assim ó sistemas físicos procura o estado de maior multiplicidade obtive a multiplicidade como função de três grandezas extensivas o vn certo nós vamos

ver na hora da aula que vem que a partir da multiplicidade nós vamos definir o conceito básico da termodinâmica o conceito chão conceito mais importante da termodinâmica que a entropia na verdade a entropia é simplesmente a multiplicidade só que como multiplicidade é um número muito grande e é ruim a gente mexer com um número muito grande eu vou definir a entropia como sendo um logaritmo da multiplicidade que eu fico só com um grande tá e como eu quero que a entropia tenha uma certa dimensão por motivos históricos eu vou multiplicar esse lugar e por uma

constante ea constante de bolt mas se a gente tivesse definido hoje no século 21 entropia não teria importância nenhuma não é utopia que é muito mais bonita sem dimensão mas por motivos históricos então entropia nada mais é do que constante de bolt quando vezes esses lugares porque o acerto então eu eu vou obter entre obtive na verdade só falta os finalmente a entropia do gás ideal como função de 3 quantidades expressivas isso vai nos servir para caracterizar completamente a configuração do sistema termodinâmica e particular quando eu tive que tomar o logaritmo disso você vê que

o a quantidade de de partículas ela comparece como expoente aqui né expoente aqui também mesmo aqui dentro dessa função então quando eu tomar o lugar estimo disso esse expoente vai baixar tá certo a gente vai ver que a entropia vai ser proporcional ao número de partículas e isso daí a gente vai ver que é de certa maneira uma forma rápida da gente estimar entropia de sistema muito estranhos por exemplo entropia de um buraco livro vamos conseguir calcular entropia de um buraco negro com uma precisão é enfim a menos de um fator quem descobriu esse fator

foi stephen hawking só que vamos fazer isso em dois minutos enquanto ele levou alguns anos para obter a entropia completa né eu vou usando botões fator mais aí vai a gente a gente consegue dois minutos em ter esse papel