Cálculo: Introdução e Noção Intuitiva de Limites (Aula 1 de 15)

olá pessoal tudo bem vamos começar agora um curso completo de cálculo aqui no canal mais matemática tá vamos começar com a ideia intuitiva delimix vamos ver mais aulas de limites na sequência e depois vamos para derivadas integrais ou seja todo o curso de cálculo que nós vemos aí nas engenharias matemática na física na química na administração economia enfim pessoal em diversos cursos do ensino superior beleza disciplina é fundamental está na parte básica desses cursos aí assim olha só se você tem um pouco de dificuldade em matemática eu aconselho que você dê uma passada no canal

a&e na seção de ensino médio e aí você encontrará diversas aulas de funções tá função do primeiro grau função o segundo grau funções modulares tudo isso pessoal função composta também está a função logarítmica função exponencial todas essas funções vão te dar uma boa base para que você entenda bem essas aulas de cálculos que estão aqui beleza aí assim pessoal se você gostar da aula clique em curtir a faça comentários do vídeo e assim ó se você ainda não se inscreveu no car no canal inscreva-se tá é gratuito e assim você fica por dentro de todas

as postagens novas aí que acontecem semanalmente beleza vão começar bem comigo então vamos lá pessoal na primeira aula vamos tratar sobre limites mais sobre a noção intuitiva do que são os limites rock aí é o seguinte nós temos aqui uma placa de metal vamos imaginar tá e essa placa de metal está sendo aquecida aí assim pessoal vamos imaginar que essa placa ia ser uma placa metálica quadrada e vamos imaginar que o lado dessa placa seja um valor um pouco menor do que 3 centímetros beleza aí assim ela está sendo aquecida e esse fogo aí pessoal

e a dilatar essa placa e quanto mais aquecer o valor do x ou seja um lado dessa placa irá se aproximar de três centímetros quanto mais o lado dessa placa se aproximar de três centímetros mais a área dessa placa irá se aproximar de nove centímetros quadrados está então essa ideia é uma idéia de limite ou seja quando o lado mais se aproximar de três centímetros mais a área da placa irá se aproximar de um limite de nove centímetros beleza vem aqui ó olha só pessoal que acontece aqui graficamente ó aqui nós temos a parábola pessoal

está representando a área da função tá nesse caso pessoal a área está sendo representada por uma função chamada aqui df dx tudo bem e essa função fdx como nós vimos x elevador quadrado tudo bem então nesse caso aqui pessoal é só quando x vale3 que acontece quando x ele vale 3 nós vamos ter q f de 3 isso aqui será exatamente igual a 3 elevada ao quadrado e o resultado aqui é igual a 9 agora o pessoal muito importante na idéia de limite é que não nos interessa o que acontece com a função nesse caso

aí a quando x é exatamente igual a 3 isso não nos interessa vai ter até situações que a função sequer estará definido ou seja nem existe quando x vale3 claro que não é esse caso aqui mas o que nos interessa em relação a limites é quando o chile está na vizinhança daquele valor 3 a lia ou seja o valor de x está se aproximando três ali com valores menores do que três ou também com os valores de che se aproximando do 3 só que partindo dos valores maiores do que três empresas eo valor de x

se aproximando 3 que vai acontecer com a função para a qual valor a função irá atender beleza esse valor que a função irá assumir a tende a sumir um valor esse valor é o limite de uma função a empresa vem aqui ó então pessoal primeiramente vamos imaginar os valores de che só vindo aqui da esquerda tal seja valores que são menores do que três imagine um valor de x ac assim ó tudo bem repara que acontece esse valor de x irá determinar o valor de uma função mais ou menos aqui assim concorda comigo seja aqui

será a área da função pra esse valor de x que está aqui agora quanto mais esse valor de x ac a se aproximar do 3 agora só vamos pegar um outro aqui ó mais próximo do 3d para o seguinte olha nós vamos ter que o valor da função já um outro valor para a área que ficou mais próximo aqui do 9 podemos colocar aqui ó a 11 ea área que num segundo momento ficou cada vez mais próximo de 9 e isso acontece cada vez mais que o che se aproximado 3 cada vez mais pessoal a

área que irá se aproximar do valor 9 toque pessoal falei aqui o valor de x que vem pela esquerda tá mas nós podemos também ter aqui ó valor de x que são maiores do que três mas irão cada vez mais se aproximar do 3 imagine por exemplo o valor de x ac assim ó tá olha só pra esse valor de x nós vamos ter uma válvula um valor de uma área mais ou menos aqui assim eu vou colocar aqui a área e um terceiro momento beleza agora imagine o seguinte cada vez mais que o x

aproximado três aqui ó vamos pensar num aqui assim ó cada vez mais repara só a área irá se aproximar aqui ó do valor 9 beleza então tá vindo agora nesse sentido aqui beleza cada vez mais se aproximando aqui ó do valor 9 que no caso então é o limite dessa função em então reparem pessoal para valor de x menores do que três que estão se aproximando cada vez mais do 3d para valores de chips que são maiores do que três que estão cada vez mais se aproximando 3 o que acontecerá ó cada vez mais valor

da função ou seja a área dessa placa metálica irá se aproximar além do valor 9 beleza tão que a gente diz o que o limite dessa função quando o x tende a 3 o limite dessa função é igual a 9 quer ver bem comigo olha só pessoal em si luz o que nós temos aqui olha só quando x ele se aproxima aqui é de 3 centímetros que acontece ou a área que ela possuía ao quadrado se aproxima de nove centímetros quadrados como o limite para essa função beleza agora olha só pessoal simbolicamente nós temos daqui

olha só onde a notação x flechinha 3 indica x em dia 3 nós temos aqui ó beleza enquanto que o limite aqui olim lm significa o limite de então o que nós temos aqui a pessoa ser o seguinte ó que o limite de x elevada ao quadrado quando x tende a 3 o resultado desse limite ele é igual a 9 ei pessoal essa notação de limite nós vamos ver aí diversas vezes no cálculo beleza agora pessoal vamos ver mais dois exemplos está para que você entenda bem essa ideia intuitiva essa noção inicial de limites beleza

nem comigo olhem só nesse primeiro exemplo aqui diz o seguinte determine o limite de 2 x - um isso quando x tende a 3 o pessoal então que nós temos aqui ó esse 2x - um nada mais é do que a função ou seja a gente quer saber o limite dessa função quando xis aqui ó tende a 3 ok agora pessoal vamos investigar o que acontece com essa função quando x ele se aproximar ou seja entender cada vez mais ao valor 3 tá na hora seguinte pessoal é só muito importante limites é que você entenda

que não nos interessa o valor da função que acontece com a função quando x é exatamente igual nesse caso aí a ao 3 o que nos interessa e limites por exemplo nessa função é o que acontece com a função quando o valor do che se aproximar cada vez mais daquele valor 3 ali beleza aí o seguinte pessoal pra isso eu construí essa duas tabelas aí tá e essas duas tabelas vão nos dar bastante noção do que está acontecendo com essa função quando x tiver cada vez mais próximo de 3 beleza entendido vem comigo pessoal vamos

imaginar aqui ó o eixo x ou seja o eixo das aps está e agora vamos imaginar que o valor 3 esteja mais ou menos aqui assim aí primeiramente pessoal como você pode ver aqui ó eu criei uma tabela com os valores de x pendendo a 3 só que nós temos este negativo aqui o ferreto que significa esse negativo significa o seguinte que os valores de x estão tendendo a 3 nesse sentido aqui ou seja com valor de x que são menores do que três cada vez mais se aproximando 3 tá então nós temos aqui ó

o xis tendendo a 3 tá pela esquerda a gente fala em beleza olha só o que acontece aqui na tabela nós temos valor de x o cada vez mais se aproximando de 3 a 2 depois o 2,5 a 2,9 2,95 a r 2,99 a r 2.999 cada vez mais se aproximando três aqui pela esquerda beleza agora repare o seguinte olha o que acontece com os valores da função quando x vale 2 nós temos que a função ali no x igual a 2 a será quanto ó efe de 2 e ganhou 2 vezes o x ou

seja 2 vezes o dois e temos aí o - um tudo bem em 2002 a 44 com menos um e três ou seja pessoal quando x vale dois o valor da função é exatamente igual a 3 rock quando x vale 225 a função assumir valor 4 quando x vale 2 vila móvel seja cada vez mais próximo do 3 o valor da função já subiu para 4,8 olha o que acontece aqui com o valor da função a de 3 foi para 4 4,84 rio a 94 e 98 4,998 ou seja pessoal quanto mais o xis aqui

ó se aproximar do 3 nós temos aqui o valor da função cada vez mais próximos aqui do 5 concorda comigo mas isso pessoal olhando para o valor de x que se aproxima aqui do 3 pela esquerda ok agora pessoal olha essa tabela aqui de baixo quando che se aproximado 3 pela direita ou seja com valor de x que são maiores do que três eles vêm para aqui ó ok ou seja aqui nós vamos ter então aproximação do x pela direita que acontece com essa simbologia kyoshi estende a 3 pela direita ok então começa com valores

maiores do que três olha só começa com quatro aí vai diminuindo 3,5 3,1 3,05 3,01 3,001 ou seja cada vez mais se aproximando 3 beleza agora olha o que acontece com os olhos da função começa aqui no set a eventos 65 mil a 25 mil a 1 5 vila 02 5,002 ou seja cada vez mais se aproximando dos cinco pessoa nessa investigação conseguimos perceber o seguinte que quanto mais o x se aproximar do 3 seja pela esquerda seja pela direita nós temos que o valor da função cada vez mais se aproxima de quanto se aproxima

de 5 ou seja o limite dessa função que é 2 x 1 - 1 quando o x tem 63 o limite dessa função é exatamente igual a 5 ferreto seguinte tem o gráfico disso claro que tem a ver comigo olha só pessoal graficamente nós temos aqui ó a reta que representa essa função nós temos então que a função é fdx igual a 2 x 1 - 1 dá uma função aqui do primeiro grau beleza aí reparei que quanto mais nós nos ocimar mussak o do valor 3 mais o valor da função irá se aproximar além

dos 5 vai perceber isso aqui ó olha só quanto mais nos aproximamos aqui do valor 13 só pela esquerda ser x atendendo ao 3 pela esquerda mais o valor da função irá se aproximar aqui no nosso limite que é 5 beleza a mesma coisa pessoal acontece mesma idéia acontece para valores de x se aproximando 3 só que agora se aproximando 3 pela direita ok então pessoal a idéia de limite está sempre relacionada com valores próximos do x ou seja o que acontece com o valor da função quando o valor do x nesse caso tender cada

vez mais ao valor 3 tanto pela esquerda quanto pela direita ok nesse caso o valor da função cada vez mais irá se aproximar dos 5 ou seja o limite dessa função quando che estender a 3 ele vale 5 aí você pode dizer o seguinte ferreto não é somente substituir o 3 na função e nós já vamos saber o valor do limite aí o seguinte pessoal em diversas funções apenas a substituição tá irá dar o valor resultado além do limite só que em muitos outros casos apenas a substituição não irá resolver ou seja nós não iremos

encontrar o limite da função apenas substituindo o valor do x na função beleza e talvez pessoal seja exatamente esses casos que são cobrados nas provas pra vocês beleza aí como é que faz preto aí pessoal olhe segundo e último exemplo olha só como a função fmx olha só x ao quadrado - 1 / fiz - um se comporta próximo de x igual a um toque pessoal e talvez você pensa o seguinte feito faz simplesmente efe de um e achou do limite olha só pessoal se nós calculámos aqui ó fd 1 como é que ficará esse

resultado olha só nós vamos ter aqui o um elevada ao quadrado - o 1 / 1 - 1 que acontece o que nós vamos ter um ao quadrado da 11 -1 e só que dará a zero e aqui no denominador 1 - 1 também dar a 0 nesse caso aí pessoal 0 sobre zero significam uma indeterminação não mas isso é assunto para outras aulas tá eu quero dizer a vocês o seguinte que nem sempre uma simples substituição do x na função irá colocar ali o valor do limite dessa função há efeito como é que faz

esse caso aqui nem comigo olha só pessoal novamente vamos imaginar aqui o eixo x tudo bem e vamos imaginar que o valor 1 ele esteja que assim beleza aí é o seguinte a quando x se aproximar do um ataque pela direita o que irá acontecer ou então os olhos do x estão cada vez mais diminuindo e ficando cada vez mais próximos do 1 hora só o xis aqui está começando pelo 2 vai para 1,5 um vilão um 1,01 1,001 e por fim esse valor aqui é muito próximo do 1 que é 1,00 é lá um

beleza agora o que está acontecendo com a função olha só quando x tem valor 2 o valor da função é exatamente igual a 3 na então substituindo-o dois aqui é assim o dois aqui assim nós vamos encontrar na função o valor 3 beleza substituindo x por 1,5 nós vamos encontrar um fdx ou seja o valor da função valendo 2005 e era só o que acontece com os alas da função de 3 vai para 2,5 para 2,1 vai para 2,01 barba 2,001 e aí vai pra esse valor aqui ok é muito próximo do 2 da então

por enquanto aqui nós temos que o limite dessa função é dois toque aí você deve estar pensando seguinte ferreto a gente nem precisa fazer então e segundo quadro meu amigo cuidados e olha só que nós temos ali no primeiro quadro é quando che se aproximar do um ali pela direita ou seja com valores maiores do que um nós vimos que o valor da função cada vez mais fica próximo de 2 isso aí nós vimos no primeiro quadro mas isso não quer dizer que o limite dessa função ele é 2 da pessoal quando nós estudarmos o

limite de uma função nós devemos pensar sempre no valor de x entendendo nesse caso aí ao valor um tanto pela esquerda quanto pela direita tá isso porque vai acontecer em outras aulas aí principalmente nas aos limites laterais quando os limites que vem da direita e da esquerda eles forem diferentes nós não teremos ali o limite sendo definido ok ou seja o limite ele não existe então nesse caso nós devemos sempre na idéia de limite analisar o que acontece com a função quando x estende o valor nesse caso há um tanto pela esquerda quanto pela direita

beleza vem aqui ó agora a pessoa ao nos aproximarmos do um aqui ó pela esquerda vamos ter o seguinte olha só primeiro começamos aqui com 10 depois 0,5 e 0,9 0,99 0,999 e aqui tem um valor muito próximo do beleza e ainda continua cada vez mais próximo tanto quando siqueira ok agora olha o que acontece com os valores da função quando o xis aqui é zero o valor da função ou seja dessa função aqui o pessoal ele assume valor então um a função do valor 11 quando x foi exatamente igual a zero a 5 a

função vai pra 125 olha acontece com os da função 11 villa 51 viu a 91 viu a 99 olha só a cada vez mais próximos aqui do valor 2 beleza então pessoal quanto mais o valor do x se aproximar de um tanto pela esquerda quanto pela direita o valor da função ali a cada vez mais fica próximo do 2 mesmo em vantagem disse que o limite daquela função quando x estender a 1 ele é 2 mesa vêm aqui ó olha só pessoal olha que diz aqui ó embora efe dill não esteja definida ferreto que quer

dizer isso aqui ó que passo seguinte pessoa nós temos que a função fx ela é a função assim ó x ao quadrado - 1 / x - um pessoal o valor de x igual a 1 faria o seguinte ó colocando um aqui nós vamos ficar com o denominador 1 - 1 nós vamos ficar com um denominador zero ou seja denominador 0 pessoal na matemática não irá existir tá então essa função aqui ó ela não está definida para x igual beleza ou seja esse valor um aqui já não faz parte do domínio dessa função ok aí

era só está claro que podemos tornar o valor df dxj tão próximo do 2 quando quisermos escolhendo x suficientemente próximo de um beleza ou simplesmente fx se aproxima do limite 2 quando che se aproxima de um e nós queremos assim o limite de x ao quadrado - um sobre x - um ser o limite dessa função quando x tende a um esse limite é 2 toque pessoal traduzindo isso aí a mesma coisa que nós imaginarmos o seguinte quanto mais o x ficar próximo do 1 mais do valor da função irá ficar próximo do limite que

no caso é o 2 beleza e rebate o seguinte ó lá no x igual a função a não está definida e realmente pessoal e limite como já falei nessa aula o limite não nos interessa quando x ele é nesse caso um e sim somente quando o chile está muito próximo do 1 o que irá acontecer com essa função beleza lenk aí pessoal graficamente que nós temos é o seguinte ó essa reta ela representa essa função que nós acabamos de ver ou seja x ao quadrado - 1 / x - um reparo seguinte ó aqui no

gráfico nós temos uma bolinha aberta sobre o gráfico aqui ó e representando que o x igual uma guia não paz parte do domingo essa função ou seja pessoal que nos interessa aqui ó são os valores de chips que são muito próximos do ou seja cada vez mais próximos do 1 o que acontecerá ó o valor da função irá se aproximar cada vez mais do valor dois ali olha aqui há mais ou menos aqui ó cada vez mais irá se aproximando 2 isso também vale aqui pela direita ok sérgio então pessoal essa aula trouxe apenas a

noção do que é o limite de uma certa função beleza espero que tenha sido bastante proveitosa para você tenha ótimos estudos e acompanha os próximos vídeos beleza pessoal um abração sucesso e até mais