Aula 6.1 - Multiplicidade e entropia de Boltzman

[Música] [Música] eu começo com um resumo três frases que resumem uma discussão que nós vi eh vínhamos travando nas últimas duas aulas nessas aulas nós partimos de um pressuposto que é eh o postulado fundamental da mecânica quântica perdão da mecânica estatística que é o postulado que afirma que todos os microestados de um sistema macroscópico compatíveis com as leis de conservação são igualmente prováveis partindo deste postulado nós mostramos que eh os sistemas físicos eles vão ficar com maior probabilidade em torno dos macro Estados que estão associados ao maior número de microestados nós chamamos ao número Chamamos

o número de microestados de multiplicidade do macroestado Então os sistemas vão procurar a vizinhança do macroestado de maior multiplicidade estudamos a forma da distribuição de multiplicidades e mostramos que essa distribuição se torna cada vez mais estreita a medida que o número de componentes do sistema aumenta nós mostramos na verdade que a largura relativa da da distribuição de multiplicidades ela cai com um sobre a raiz de n onde n é o número de partículas que compõe o sistema então se nós temos um sistema com 10 elevado a 20 partículas O que é um sistema ainda pequeno

do ponto de vista macroscópico a essa incerteza relativa é um proporcional a um sobre a raiz desse número que é 10 A -10 então uma parte em 10 elevado a 10 ou seja a a chance de nós encontrarmos esse sistema fora dos macro estados Associados a esse pico de largura tão Estreita vai a zero à medida que n cresce tá como eu disse também na última na última aula é isso que torna possível a termodinâmica é o fato de que a largura dessa distribuição cai com n elevado - me e o fato de que os

nossos instrumentos de observação nosso instrumento de medida tem precisão limitada portanto a partir de um certo tamanho de sistema a flutuação inerente ao ao fato de que nós estamos lidando com o efeito probabilístico é a flutuação em torno do macroestado mais provável se torna impossível de observar tá muito bem esta estas ideias esta ideia Central eu diria tá aqui resumida com três frases cujo tamanho decresce a primeira frase é uma frase extensa Nós estudamos sistemas interagentes e verificamos que partículas e energia desses sistemas se reum graças a esse postulado fundamental da mecânica estatística Até que

a multiplicidade do sistema total do sistema Global composto pelos sistemas interagentes alcança o seu valor máximo Ah claro que isso é verdade contanto que o número de partículas e a energia sejam grandes o suficiente para que a estatística dos grandes números seja aplicável né uma outra forma de dizer a mesma coisa é qualquer sistema grande em equilíbrio será encontrado em seu macroestado de maior multiplicidade Claro a menos de pequenas flutuações que decrescem com o tamanho do sistema e que são para sistema mais grandes não observáveis ou ainda para ser ainda mais sintético a multiplicidade tende

a aumentar qualquer desses três enunciados pode ser eh chamado de segunda lei da termodinâmica Nesse contexto a segunda lei da termodinâmica não é de fato uma lei nova ela é uma decorrência eh da hipótese fundamental de que todos os microestados que satisfazem as leis de conservação são igualmente prováveis né Mas é claro que a gente chegou a ela desta forma porque eu fiz uma escolha pedagógica eu escolhi apresentar a vocês a segunda lei a partir do mundo microscópico como eu também já mencionei várias vezes a segunda lei foi descoberta Ah sem conhecimento prévio do mundo

microscópico de fato a segunda lei é uma lei fenomenológica do ponto de vista histórico foi uma lei fenomenológica e que apenas com o advento da mecânica estatística lá pelo final do século XIX é que essa conexão que eu tô estabelecendo aqui com você pode ser feita a partir do final desse Capítulo nós vamos olhar pra segunda lei como uma lei nova como uma lei fenomenológica Tá certo então essa isto que eu fiz aqui só serviu para ah eh estabelecer o conceito de entropia em bases mais firmes acredito mais fáceis de você dominar muito bem acontece

que neste ponto Onde nós estamos Nós aprendemos a calcular a multiplicidade e exercitamos o cálculo das multiplicidades para três sistemas modelo que foram o sólido de de Einstein em particular no limite de altas temperaturas o paramagnet de dois estados e o gás ideal eu tô escrevendo aqui do lado as expressões que nós obtivemos paraa multiplicidade do sólido de Einstein e a multiplicidade do gás ideal porque nós vamos utilizar isso daqui a pouco o problema dessa formulação é que multiplicidades são números muito grandes e por muito grande eu entendo né números eh que sejam da ordem

de exponenciais de números grandes 10 elevado a 10 a 23 por exemplo é um número muito grande multiplicidad são número números muito grandes e em geral não são muito fáceis a gente trabalhar com eles por isso nós vamos criar aqui uma outra maneira da gente olhar para essa multiplicidade já que multiplicidades são números muito grandes Vamos definir uma grandeza que é proporcional ao logaritmo da multiplicidade por um logaritmo de um número muito grande é só um número grande Tá certo e por isso vai ser mais fácil a gente trabalhar com esse número e esse número

se chama ou essa grandeza construída dessa forma se chama a entropia a entropia nada mais é do que ah do que a expressão logarítmica da multiplicidade a medida logarítmica da multiplicidade ora a multiplicidade é um número sem dimensão o logaritmo da multiplicidade também é um número sem dimensão acontece que a entropia por motivos históricos foi definida como uma grandeza Dimensional ela foi definida da seguinte forma vou usar a letra s entropia a entropia é o logaritmo da multiplicidade multiplicado por uma constante da natureza que tem dimensão A constante de bolman nós vamos ver que definida

Desta forma a entropia vai satisfazer uma série de resultados interessantes que são derivados Como eu disse antes apenas da fenomenologia n lembre que a dimensão de k é a dimensão de energia por temperatura no sistema internacional k a unidade de k e jaes por Kelvin portanto a entropia tem essa unidade também tá bom vamos eh brincar com alguns exemplos Primeiro vamos obter aqui a entropia do sólido de Einstein no limite de altas temperaturas e é por isso que eu escrevi aqui a multiplicidade desse sistema então a entropia do sólido de Einstein nesse limite é k

vezes o logaritmo da multiplicidade e isso dá esse n desce né que eu ainda posso exprimir de uma outra forma esse e é o número de nper logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos eu posso separar isso aqui em logaritmo de e mais o logaritmo de q so n logaritmo de e é 1 portanto isso aqui e resulta a uma quantidade que é veja NK n é o número de componentes do sistema k é a constante de bolman e o que aparece aqui é um número que é o logaritmo dessa razão q sobre

n que é a energia por partícula mais a unidade Esse é um número que em geral não é muito grande então você tem um número não muito grande multiplicado por n ve k onde n Grand é o número grande claro nós estamos interess em Sistemas macroscópicos Então esse n grande é da ordem de 10 a 23 número de avogado nós podemos dizer que esse exemplo corrobora eh uma afirmação de que em primeira ou em aproximação de ordem zero a entropia de qualquer sistema vai ser proporcional vai ser da ordem de grandeza perdão do número de

componentes desse sistema vezes a constante de bols NK vezes um número que não é um número Grande Tá bom nós vamos usar esse fato para cálculos simples um deles um cálculo que você vai fazer na sua lista de exercícios para determinar a entropia de um buraco negro você vai ver que essa essa ideia é suficiente pra gente calcular a entropia de objetos esquisitos um deles é o buraco negro em geral quando a gente aumenta o número de partículas ou aumenta a energia do sistema a entropia também vai aumentar a entropia vai ser uma função crescente

de número de partículas e de energia na verdade nós tínhamos visto isso quando estudamos a multiplicidade se a multiplicidade é crescente a entropia que é o seu logaritmo também será crescente em particular nós vamos ver aqui que a entropia definida dessa maneira é é uma é uma quantidade que é aditiva a entropia posta pelois não é tem tem umas umas dificuldades aí mas enfim não vou entrar nesse território Ah uma outra coisa importante de de eu mencionar aqui é que muitas vezes você vai ver ah a palavra entropia ligada a ideia de desordem Então você

diz ah quanto maior for a entropia de um sistema Mais desordenado ele é e o motivo de surgir essa metáfora digamos assim é simples de se entender quanto mais maneiras diferentes que eu tenho de organizar um sistema quanto maior a sua multiplicidade maior também a sua entropia Isso quer dizer quanto menos informação eu tiver sobre a disposição microscópica do sistema maior é a sua multiplicidade maior a sua entropia mas essa metáfora tem seus limites por exemplo se você pega eh um copo d'água e você pega um sistema formado por pedaços de gelo você pode botar

tá esse copo de água dentro da geladeira ele vira gelo pega o gelo ele em pedaços e joga no chão compare a entropia desses pedaços de gelo com a entropia da água para nós pode parecer que a entropia que o sistema formado pelos pedaços de gelo é mais desordenado do que o sistema água no entanto a entropia da água é muito maior do que a entropia dos pedaços de gelo portanto essa metáfora tem lá suas limitações e eh ela não tem muito muito significado para nós aqui a entr também vai aumentar quando o espaço disponível

pra evolução do sistema aumenta quando o volume do sistema Aumenta também por motivo Óbvio se o volume do sistema aumenta aparecem mais maneiras de organizar seus componentes então sua multiplicidade aumenta a entropia Aumenta também a entropia é aditiva que que eu quero dizer com isso Imagine que eu tenha dois sistemas A e B que interagem como os exemplos que a gente viu nas últimas duas aulas Nós aprendemos que se eu tenho dois sistemas interagentes então a multiplicidade do sistema formado pelos subsistemas A e B será o produto das multiplicidades individuais de cada subsistema ôa total

é ôa a ve Ô B porque para cada maneira de eu organizar a distribuição de energia entre os componentes de a eu tenho Ô B possibilidades de organizar o resto da energia entre os componentes de b e portanto resulta imediatamente que a entropia do sistema composto por A e B que é K log de Ô total por causa da propriedade aditiva dos logaritmos logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos isto aqui fica k log de ôa + k log Ô B Ou seja a entropia do sistema formado por a e b a soma

das entropias de a e de b então eu posso eh reen unci a segunda lei da termodinâmica trocando a palavra multiplicidade pela palavra entropia então eh qualquer sistema grande em equilíbrio vai ser encontrado no seu macroestado de maior entropia a menos de pequenas flutuações em torno desse macroestado que à medida que o tamanho do do sistema cresce passam a ser difíceis ou impossíveis de observar Tá certo então Eh Ou então eu posso dizer utilizar aquela última frase a entropia tende a aumentar né agora cuidado com essa frase quando eu digo que a entropia tende a

aumentar é possível que você eh descubra processos físicos nós vamos mostrar alguns Nos quais a entropia de um sistema diminua diminua eu não tô essa lei não proíbe que a entropia de um sistema diminua ela proíbe que a entropia do conjunto de sistemas que interagem entre si diminua e isso ela proíbe e de novo uma metáfora aqui se eu pego dados que que estão todos pego 100 dados jogo Cada um mostra uma Face diferente né eu vou lá e reorganizo esse sistema de modo a que todos eles mostrem o número seis para cima eu diminuí

a entropia do sistema formado pelos dados Não é porque eu coloquei ele num macroestado cuja multiplicidade é um mas para fazer isso eu tive que aumentar a entropia de alguma coisa a minha entropia pessoal aumentou então a entropia do conjunto de sistemas que interage é que tem e que não pode diminuir mas a entropia de um dos subsistemas pode um exemplo biológico se você joga sementes num no chão né E você eh molha essas sementes e deixa a luz do sol bater nessas sementes elas vão crescer virar plantinhas plantinhas são sistemas biológicos mais organizados do

que o conjunto de moléculas original que acabou produzindo essa plantinha não é verdade Ah então a entropia associada a essas moléculas que acabaram virando plantas diminuiu Porque elas estão melhor organizadas do que antes a entropia de alguma outra coisa tem que ter aumentado de maneira que o balanço Total vai produzir uma entropia crescente e não decrescente Isto é o por causa disso então aqui nós poderemos exprimir a segunda lei de novo a entropia e agora vou usar a palavra universo entenda universo significa o conjunto de subsistemas que estão em interação né a entropia do universo

é não [Música] decrescente ah [Música] [Música]