RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA - DEMONSTRAÇÃO E EXERCÍCIOS

quem aí Tá estudando e surgiu aquela dúvida sobre as relações trigonométricas Então deixa que eu vou te ajudar em primeiro lugar eu vou mostrar para você o porquê da relação fundamental da trigonometria seno ao quadrado x + cosseno ao quadrado x = 1 né Então essa daqui é a primeira que a gente estuda para porque depois a gente vai encontrando as outras então vou fazer uma demonstração para você ver perceber da onde que ela surge Então vamos tomar por base esse triângulo retângulo aqui e com esse ângulo de visão bom quando eu tenho um ângulo

de visão um triângulo retângulo eu posso tirar dali daquele triângulo as razões trigonométricas vamos ver quem é que tá lembrada das razões trigonométricas vamos ver quem lembra bom as razões trigonométricas Então são aquelas C no cosseno e tangente né mas vamos falar das duas primeiras aqui agora quem se lembra então da razão trigonométrica seno de um ângulo Alfa vamos usar esse ângulo aqui como parâmetro como que eu vou escrever aqui a representação do seno desse ângulo alfa ele vai ser a razão entre entre o que o cateto oposto que é o b pela hipotenusa que

é a maior medida do nosso triângulo ó então o seno do ângulo Alfa é a razão entre B por a agora quem se lembra o cosseno do ângulo Alfa vai ser a razão entre quem mesmo o cateto adjacente estou olhando um ângulo alvo cateto adjacente pela hipotenusa tudo bem até aqui deu aquela lembradinha né se você não se lembra tem a sala específica explicando tudo isso daqui para você tá bom agora outra coisa que eu posso observar quando eu tenho um triângulo retângulo é o nosso querido teorema de quem gente teorema de Pitágoras e o

que que o teorema de Pitágoras nos dias então que se eu pegar um cateto e levar ao quadrado e somar com o outro cateto também é levado ao quadrado eu obtenho a hipotenusa elevado ao quadrado não é isso daqui a gente tá bom tudo bem mas e aí como é que você vai partir disso tudo e chegar na relação fundamental da trigonometria Então olha o que eu vou fazer aqui no nosso teorema nessa sentença aqui do teorema de Pitágoras eu vou pegar tudo isso daqui e vou dividir ambos os membros por a elevado ao quadrado

ó vou dividir ambos os membros então B ao quadrado eu vou dividir por ao quadrado vai ficar assim ó B ao quadrado dividido por x ao quadrado + c² dividido por a ao quadrado igual a ao quadrado dividido por a ao quadrado muito bem aqui eu posso escrever de outra maneira também como o b e o a ambos têm o expoente 2 eu posso escrever separadinho assim ó posso escrever B sobre a entre parênteses só elevado ao quadrado aqui deixa eu arrumar esse B que ficou feio OK mas aqui eu posso escrever C sobre a

elevado ao quadrado um expoente só né a mesma coisa e aqui gente ao quadrado dividido por ao quadrado veja que aqui eu vou encontrar um como resposta porque o número dividido por ele mesmo resulta em um agora olha bem se você consegue perceber B sobre a não é a mesma coisa que o seno do nosso ângulo B sobre a é o seno do ângulo eu vejo aqui no lugar de B sobre a aqui eu vou escrever o seno tá agora eu posso colocar o seno do nosso ângulo Alfa como eu tô trabalhando com ângulo Alfa

e ele está elevado ao quadrado muito bem mas se sobre a o que que acontece com você sobre a não é o nosso cosseno de Alfa Então vai ser cosseno de Alfa só que é levado Nossa que Alfa que eu fiz aqui só que é levado ao quadrado e isso é igual a um olha em que eu cheguei aqui gente você consegue perceber que isso é o que tá aqui na relação fundamental só que aqui tá escrito com x né e aqui tá escrito com Alfa mas ah é a representação de um ângulo né gente

e outra observação às vezes mas aqui o quadrado tá fora dos parentes aqui tá em cima vai dar na mesma você escrever o expoente aqui em cima do seno bem como você colocar aqui nos parênteses Então veja que eu acabei O que fazer para você a demonstração da relação fundamental da trigonometria e agora vamos observar também essa relação na circunferência trigonométrica vamos lá e como muitos gostam de visualizar também a demonstração da relação fundamental da trigonometria aqui na circunferência Então veja que eu trouxe uma circunferência nós temos aqui o raio medindo um então um aqui

um aqui como é a esquerda menos um e aqui abaixo menos um OK agora vamos escrever aqui um arco AB Então vamos começar aqui considerando um ponto a e ele vem até aqui num ponto b então aqui está representado o arco AB muito bem agora olha o que eu vou fazer nós vamos fazer a marcação do seno e do Cosseno E aí os alunos falam disso mas por que cê Nico cosseno porque que fica em pé e o cosseno fica deitado olha aqui considerando então o arco AB cuja medida é o número real x denominamos

Seno do arco AB o valor da ordenada do ponto b para quem não se lembra ordenada é que o eixo vertical e a abscissa é referente ao eixo horizontal Então como ele disse ali o seno desse arco A B ele vai ser o valor da ordenada desse ponto b ponto b tá aqui ó Então deixa eu fazer desse ladinho para não errar ó ponto b aqui a referente a ordenada do ponto b então essa medida aqui vai ser a medida C Ok da mesma forma que se nós olharmos agora e o cosseno do arco AB

o valor da abscissa desse ponto b a abscissa desse ponto b então vai ser referente ao eixo horizontal então Aqui nós temos o cosseno Vou abreviar para cós e o seno para seno assim tá bom E aí giz como que eu vou tirar um triângulo dali agora veja a gente eu não tenho um raio unitário como eu coloquei aqui Então veja que se eu ligar aqui olha bem o raio aqui também nesse que eu acabei de fazer em vermelho caiu o raio aqui gente que eu acabei de traçar vai ser de um Porque qualquer lugar

que eu colocasse um raio aqui seria de um mas estou traçando aqui para formar o triângulo tá gis aqui tá fácil né aqui é o cosseno que é essa medida que veio daqui até aqui que é a medida do Cosseno mas agora o seno não tá aqui se você observar a medida do seno tá aqui por que que eu coloquei aqui ué aqui não Tá formando 90 graus eu fiz uma transferência de medida essa medida aqui eu escrevi ela aqui ó onde ela está também pode ser representada ali formar o triângulo então aqui vai ter

a medida de seno pode por x se quiser gente ó X E agora Como que eu posso continuar aqui nós temos um triângulo retângulo então podemos aplicar teorema de Pitágoras Olha aí então vamos pegar cateto ao quadrado então vai ficar seno de x elevado ao quadrado mais o outro cateto que é referente cosseno cosseno de x elevado ao quadrado que vai ser igual a hipotenusa elevado ao quadrado sendo ao quadrado seno de x ao quadrado vai ser seno ao quadrado x você pode deixar escrito com parentes também mas não precisa mas cosseno de x ao

quadrado vai ser o cosseno ao quadrado de x e um ao quadrado vai ser um então mais uma vez aqui para você a demonstração mais uma vez aqui para você como nós podemos chegar na relação fundamental da trigonometria então naquele primeiro caso eu fiz direto lá do triângulo retângulo como você observou e aqui eu fiz a partir da circunferência trigonométrica tiramos um triângulo retângulo também mas foi um pouquinho diferente Conseguiu perceber então agora Tá tranquilo né E as outras relações fundamentais que não é só uma relação são várias relações fundamentais Você já conhece outra então

vou escrever aqui para você vamos lá e as outras relações trigonométricas marca bem aí eu coloquei aqui as abreviações porque você não fique confuso né que que são essas abreviações TG abreviação para tangente você vai encontrar tudo isso na sua apostila também os livros vai falar o que que é né coteger aqui coteger da cotangente seque é da secante e consegue é da cor secante então aqui são as abreviações para você anotar aí agora Gente o que que é a tangente essa relação trigonométrica a tangente ela vai ser a razão entre a medida do seno

de x pelo cosseno de x Ok a cotangente vai ser a razão entre o cosseno e o seno tá vendo que tá ao contrário a tangente com quanta gente ao contrário uma da outra então nós podemos falar que a cotangente ela é o inverso da tangente olha aqui ó um inverso um sobre a tangente a secante gente ela é o inverso do Cosseno um sobre significa o inverso de e a cossecante é o inverso do seno aí eu lá quando eu estudava e falava Professor mas era mais fácil a secante ser o inverso do seno

porque daí as duas começavam começavam com c né sendo secante daí não né e a cossecante eu falava porque que não inverso do Cosseno né mas isso são definições a gente só está aqui aplicando As definições gente então marca de novo secante ao inverso do Cosseno e a cossecante o universo do seno mas onde que se localiza a cotangente a secante a cossecante na circunferência trigonométrica Então não perca as próximas aulas que eu vou mostrar para você aqui marca bem essas relações fundamentais e essa a relação fundamental que nós acabamos de fazer e essas relações

e vamos fazer exercícios para você poder praticar aí e agora aquele exercício clássico tem aí no seu livro esse tipo de exercício eu adorava fazer esses exercícios referentes às relações trigonométricas Então olha aqui sabendo que seno de x = 3/5 e x pertence ao segundo quadrante calcule Você se lembra quando eu fiz a circunferência trigonométrica vou desenhar aqui de novo para lembrar eu não tinha marcado que aqui o raio era unitário que variar o 1 e aqui Valia um aí no eixo horizontal como era para o esquerdo porque aqui é no cruzamento delas é o

zero né gente é a origem do lado esquerdo seria menos um e aqui para baixo menos um Vai pensando na reta numérica não é agora o x pertence ao segundo quadrante então para você que esqueceu nós contamos os quadrantes assim ó primeiro quadrante aqui é o segundo aqui é o terceiro e aqui é o quarto quadrante tá bom aí quando eu resolvo esse tipo de exercício eu preciso pensar Ah o seu no cosseno onde ele se localizam e qual o sinal que ele tem então se a gente pensar o seno o seno como você viu

lá na demonstração ele se aplica aqui né no eixo das ordenadas então ele tá aqui então no primeiro quadrante no segundo quadrante ou como ele está acima que do eixo do Zero eles têm os valores ou sendo tem os valores positivos tanto no primeiro quanto no segundo e já no terceiro no quarto como está abaixo eles têm ele tem os valores negativos da mesma forma que o cosseno vamos escrever aqui pera aí deixa eu pegar outra caneta Deixa eu fazer ah essa caneta que eu quero é azul ó vamos fazer aqui então para o seno

para você lembrar o seno então Ó daí já marca tudo aí o seno Ele é positivo aqui positivo aqui por conta de que a ordenada referente a ele Aqui ó é positivo né negativo e negativo tudo bem o cosseno que que acontece com o cosseno gente o cosseno ele vai ser aqui ó referente essa medida não é positiva aqui então no primeiro quadrante Ele é positivo no segundo quadrante aqui não é negativo porque se aqui é um aqui é o lado negativo menos um então Aquele é negativo no terceiro quadrante ele é negativo e no

quarto quadrante Ele é positivo Então vai lembrando dessas regrinhas tá bom para você ir fazendo os exercícios depois bom o cosseno gente é eu preciso encontrar o cosseno Mas como que eu encontro cosseno seus seios só o seno relação fundamental da trigonometria Então vamos começar vai ser assim ó sen² de X + cosseno ao quadrado de x é igual a 1 não é que nós fizemos duas demonstrações na verdade duas formas bom eu já não sei o valor do seno o valor do seno é de três quintos Então vai ser três quintos ao quadrado mais

o cosseno ao quadrado de X eu não sei o valor então vou escrever aqui ó cosseno ao quadrado de x igual a 1 e agora o que que eu vou fazer agora vou calcular essa potenciação 3/5 ao quadrado é mesma coisa que 3/5 x 3/5 que aqui Vai resultar em 9 25 avos Ok mas cosseno ao quadrado de x = 1 bom agora aqui o que que eu tenho eu tenho uma equaçãozinha não é então nós vamos separar quem tem a incógnita de um lado quem não tem vai para o outro logo o nosso cosseno

ao quadrado de X vai ser igual a 1 quem é que vem aqui junto com ele o 9 25 avos só que daí vai ser menos 9 25 anos e agora agora nesse segundo membro vem aqui tira o MMC ó o primeiro membro vai ficar assim porque eu busco o valor de cosseno mesmo coloco um aqui embaixo o MMC entre 1 e 25 é o 25 então ó vai ficar 25 para cada um sabemos que aqui vai ser igual porque não muda de 25 para 25 permanece o mesmo agora de um para 25 foi às

vezes 25 então aqui Eu também faço vezes 25 ó agora o que que eu vou chegar que o cosseno ao quadrado de X vai ser igual mantém o denominador que é o 25 que se repete e subtrair o numeradores 25 - 9 16 e agora para terminar isso daqui como eu tenho cosseno ao quadrado gente como que é a operação inversa da potenciação eu faço a radiciação Então como aqui é o quadrado eu venho aqui e tira Opa deixa eu escrever de novo eu venho aqui e tiro a raiz quadrada então então o cosseno de

x vai ser igual a raiz quadrada de 16 25 avos Ai como eu faço a raiz quadrada no caso Nesse contexto de uma equação nós temos um valor positivo e negativo aí vamos analisar o x pertence ao segundo quadrante cosseno no segundo quadrante ele é negativo não tem valor positivo ali então por isso que eu já venho aqui e coloca que o resultado vai ser menos raiz quadrada de 16 4 raiz quadrada de 25 5 Então quer dizer que o cosseno de x vai ser igual a menos 4/5 por conta que o x perdesse o

segundo quadrante se o x pertence esse é o primeiro ou ao quarto quadrante esse valor aqui eu só colocaria o valor positivo pronto resolvemos a primeira Ok a tangente agora como que eu faço a tangente então eu vou apagar tudo aqui vou fazer a tangente para você bem explicadinho tá bom agora tangente ó que que você anotou aí em relação a tangente de X ela vai ser a razão entre o seno de x pelo cosseno de x OK e eu já marquei aqui a medida do Cosseno ó para você não se esquecer então a tangente

de X vai ser igual a medida do seno que é 3/5 ó 3/5 aí gente tá vendo essa barra aqui é da divisão Tá representando a divisão Você pode escrever assim ó dividido por pela medida do cosseno de x que é menos quatro quintos Ó você pode fazer assim uma representação ou se você preferir você escreve assim ó que a tangente de x é igual a medida do seno que é de 3/5 pela medida do Cosseno que é menos 4/5 só você pode fazer as apresentações que estão corretas bom eu gosto mais dessa Daqui parece

que é mais tranquila então aqui quando eu tenho a divisão entre duas frações eu faço o quê eu faço a multiplicação ping pong Então vou multiplicar esse com esse e esse com esse ó vai ficar três vezes cinco quinze e cinco vezes menos quatro menos 20 aí mais e menos vai ser menos o resultado e posso simplificar aqui ó se eu simplificar dá para simplificar por 5 né que vai ser três e 20 por 5 4 então o valor da tangente ela é de menos três quartos aqui nesse caso menos três quartos e no círculo

trigonométrico se você quiser se observar a tangente ela ocorre aqui ó eu tenho os dois eixos ordenado e abscissa a tangente ela ocorre aqui ó OK aí então ela está o x está no segundo quadrante a segunda quadrante está aqui a tangente se eu pegasse qualquer valor referente a tangente ó ele iria tocar aqui ó então é negativo do lado negativo negativo e aqui positivo então a tangente ela é positiva no primeiro e no terceiro quadrante negativa no segundo e no quarto quadrante então aqui dá tangente Tá bom então ficou negativo tá no segundo quadrante

negativo ok e por último a secante que é fácil de achar né gente o que que era secante mesmo a secante de X vai ser igual ao inverso do Cosseno não era o cosseno não é quatro quintos Qual que é o inverso não É só virar Então vai ser cinco quartos e o sinal Lá é menos Então vai permanecer O negativo aqui menos 54 se você quisesse fazer assim ó um sobre menos 4/5 você poderia escrever assim como eu coloquei anteriormente ou você escreve assim ó um esse um aqui dividido por menos quatro quintos então

como eu fiz até a gente você pode escolher aqui é mais fácil de fazer né Então faz 1 x 5 dá 5 e aqui eu coloco embaixo 1 vezes o -4 - 4 + e - vai dar o menos que eu coloquei lá e para você que gosta de fazer assim ó que que eu faço como aqui em cima é inteiro eu venho aqui coloca a fração Um sobre um Daí você pode fazer assim quem gosta multiplica os dois extremos e os dois meios ó uma vez cinco cinco quatro vezes um quatro quer dizer quatro

negativo da mesma forma que da tangente que eu não fiz dessa forma três cinco Cadê 15 5 x - 4 - 20 tá aqui também tem gente que fala barriguinha barrigão né também para memorizando mas aí fica a seu critério ó se você tiver gostando se inscreva no canal Não perca mais as aulas da Gisa aqui no canal hein e eu vou fazer outro exercício aqui para te ajudar cada vez mais vamos lá então agora é sabendo que cosseno de x é igual a menos raiz quadrada de 3 sobre 2 e lá vem raiz quadrada

né e x pertence ao terceiro quadrante então fica de olho aqui x pertence ao terceiro quadrante vou até grifar aqui para você não se esquecer calcule a secante de x e a cor tangente de x e agora que que nós sabemos em relação a secante ela é o inverso do Cosseno e o que que nós sabemos da cotangente ela inverso da tangente agora eu vou vir aqui o exercício não pediu mas eu vou ver aqui eu vou colocar calcule a cossecante de X também Agora sim hein E aí por onde eu tenho que começar tem

que começar a descobrindo eu tenho cosseno Então já consigo descobrir a secante não é porque a secante vai ser o inverso disso daqui ou seja dois menos dois raiz quadrada de 3 só que gente eu não posso deixar raiz quadrada no denominador ok que que eu tenho que fazer eu tenho que racionalizar Ou seja eu multiplico o numerador e o denominador pela própria raiz quadrada tá bom E aí vai ficar o que menos dois raiz quadrada de três aqui e aqui raiz de 3 por raiz de 3 √3 x √3 da raiz de 9 não

é e √ 9 é o próprio 3 pronto Agora sim achei a secante de x que é o inverso do Cosseno tranquilo agora para eu encontrar a cotangente eu sei que a cotangente ao universo da tangente Ixi mas não tem a tangente que que era tangente mesmo a tangente era o seno pelo cosseno eu só tenho cosseno Então eu tenho que encontrar agora o seno Então vamos lá encontrar o seno relação fundamental vou começar aqui ó C no ao quadrado de X + cos ao quadrado de x é igual a 1 seno de x eu

não tenho então vamos colocar seno ao quadrado x + cosseno ao quadrado de x ou seja menos raiz quadrada de 3 sobre 2 ao quadrado ó menos raiz quadrada de três sobre dois ao quadrado igual a 1 continuamos seno ao quadrado de X vai ser igual vai ser igual ainda não depois eu passo tô fazendo por partes mas raiz quadrada de 3 ao quadrado é a raiz quadrada de 3 vezes a raiz quadrada de 3 que a raiz quadrada de 9 que dá três dois ao quadrado 4 ages mais esse sinal de negativo todo número

que é negativo base negativa elevado ao quadrado fica positivo não é isso continuando igual um agora vamos passar seno ao quadrado de x = 1 - 3/4 e aí você pode fazer o MMC pode fazer direto cálculo mental borboleta produção lembra da borboleta É verdade 1 x 4 4 3 x 1 3 4 - 3 1 e no denominador eu multiplico 1 x 44 aí pronto é um quarto um inteiro menos três quartos um quarto né gente pensa rapidão aí agora para eu terminar isso daqui que eu tenho que fazer aqui a potenciação aplico a

radiciação que operação inversa então o seno de x vai ser igual a raiz quadrada de 1/4 aí vamos analisar nós estamos no terceiro quadrante o seno no terceiro quadrante lembra que eu falei aquela hora o seno no terceiro quadrante então ele é positivo aqui positivo aqui negativo e negativo então ele é negativo o valor do seno então eu vou vir aqui e coloco que o seno de x vai ser igual a -1 que a raiz quadrada de um é um raiz quadrada de 42 pronto encontrei o valor do seno de x que é menos o

meio e agora por que que eu encontrei a raiz o valor do seno mesmo porque eu preciso encontrar lá quanta gente para encontrar cotangente eu preciso da tangente ou então nós vamos fazer o seguinte olha aqui ó eu sei o que eu sei que a cotangente a cotangente de X como ela é inversa da tangente ela vai ser o cosseno de x sobre o seno de x não é isso aqui a tangente a seno por cosseno a cotangente ao contrário Bom vamos lá então o cosseno tá aqui ó vamos colocar aqui ó menos raiz quadrada

de 3 sobre 2 o seno que eu acabei de encontrar é o menos um sobre dois muito bem e agora o que que eu faço aqui bom menos com menos vai ficar mais né posso fazer barriguinha barrigão como você precisar quiser precisar não né quiser ou você faz aquele outro jeito então aqui eu posso fazer raiz quadrada de três vezes dois que vai ser dois raiz quadrada de 3 e duas vezes um que vai ser dois Ó que pode fazer aqui ó já poderia ter simplificado lá naquela hora que eu gosto que você Observe isso

então aqui eu vou encontrar que a cotangente de X ela vai ser igual a raiz quadrada de 3 hoje às mais e o sinal bom se eu pensar na tangente que que acontece com a tangente Vamos colocar aqui de novo desenho agora para tangente eu falei que a tangente ela ocorre aqui né então no terceiro quadrante a tangente ela é positiva porque ela sobe então o valor fica positivo se fosse a tangente que que aconteceria Ficaria um sobre a raiz quadrada de três não era isso como eu estou calculando a cotangente é a raiz quadrada

de três porque é o inverno pronto e por último eu tinha colocado aqui qual que eu tinha colocado a letra c a letra C era cossecante de x olha aí uma tabelinha produção muita coisa né meu Deus a cossecante de mas adorava essa matéria na escola Nossa gostava demais e aí você que tá me assistindo gosta dessa matéria tá achando difícil igual a produção aqui na tabela cossecante de x cossecante de x é o inverso de quem do Seno cadê o seno você não tá aqui ó é menos um sobre dois então a cossecante vai

ser o inverso e qual que é o inverso de menos um sobre dois vai ser menos dois pronto gente tá aqui ó respondido às três olha as três quanto que eu precisei uma duas três eu tive que achar o seno 4 e se você quiser colocar a tangente também poderia ter colocado a tangente também E aí gente dois exercícios aplicamos vários conceitos aqui produção a gente vai fazer diz que vai fazer uma tabela aqui para ir memorizando tudo isso e não deixe de assistir todas as aulas referências a esse conteúdo de trigonometria porque sabe que

uma aula está encaixada na outra né matemática é assim e se você gostou da aula dá aquele joinha aí para giz e já aproveita para compartilhar com os seus colegas sobre esse conteúdo aqui e eu vejo você na próxima aula tchau [Música]