📚 INTEGRAL DEFINIDA - Cálculo 1 (#44) Áreas e soma de Riemann

e nesse vídeo gente vai falar sobre a relação do cálculo de área tem com a soma de rima ea soma de rima tem com a integral definida fica comigo até o final que valeu bastante a pena tem certeza vem comigo pessoal a gente vai começar com um exemplo eu tenho aqui um círculo e aí a ideia é o seguinte na antiguidade os matemáticos sabiam calcular área de retângulo de triângulos de quadrados de trapézios mas quando vinha para figuras curvilíneas como o círculo por exemplo então eles precisavam utilizar o chamado método da exaustão que fazer aproximações

a partir das áreas conhecidas como triângulos por exemplo que é o caso vou fazer aqui toca campanha comigo com a ideia porque esse exemplo é importante para a gente fazer um gancho com que vou falar daqui a pouquinho beleza e a gente pegava o círculo e inscrever nele um polígono digamos de n lados então permita-me fazer o desenho aqui rapidinho tá o reparo que eu tô tentando fazer aqui e nenhum número já grandinho né que vai ser importante para a gente tá aqui um lado to co circunferência aqui aqui é outro lado tocou circunferência aqui

aqui e aqui e por aí vai beleza então você tem um polígono né é de quem lado eu não vou desenhar tudo o que vai dar muito trabalho aqui e não é necessário beleza tô escrevendo tão por um gene lado imagine esse polígono inscrito aqui foi ideia a ideia a gente fazer triângulos aqui dentro vou fazer aqui alguns lá por exemplo é super estranho aqui bom e pegar esse outro aqui já já eu vou sair da sua frente tá vendo e aí eu pegar esse outro esse outro esse outro é tô calculando a área desses

triângulos eu teria uma aproximação da área do círculo porque cada triângulo não vai corresponder claro a área desse setor circular porque vai ter uma pequena falta aqui tá vendo então vai ser uma aproximação por falta mas vai ser uma aproximação beleza uma observação este polígono não precisa ser regular não precisa ter todos os lados iguais mas eu vou nesse exemplo supor que seja o polígono regular porque facilita o entendimento tá bom mas não é necessário não é uma obrigatoriedade então vamos raciocinar o seguinte somando todos esses polígonos para eu ter que então é perdão só

mandou essas áreas desses triângulos né a gente tem aqui ó uma base é o chamado the l ta bom temos não isso aqui é raio né só que errar isso aqui é raio vamos pensar na área do triângulo que a base vezes altura então temos também aqui a altura a chamar dh naturalmente ah beleza então e aqui altura a área de cada triângulo zinho você sabe que é base vezes altura é sobre dois beleza bom eu vou ter n triângulos então a área total né vamos dizer assim aliar n vezes a área de cada triângulo

l2h sobre o 21 e nesse momento eu vou imaginar que eu posso substituir ó nv xl é sobre 2 a upa justiça os pontinho da multiplicação de fora nxl sobre dois como os em perímetro né porque esse polígono tem aqui o lado l ele tem n lados tão l mais velho mas era você lv zeni é o perímetro como eu tô dividido por dois estou falando sangue litros em perímetro símbolo esse aqui p pesada tá bom então só que eu sem perímetro beleza ficou com ela para você sempre porque eu tô dividindo por 2 e

p já é o símbolo de 100 perímetro só para ficar mais bonitinho aqui então essa é a área do polígono que se aproxima do circo aproximação a ideia é o seguinte imagina que eu vou fazendo o seguinte vou diminuindo a base desse triângulo começa a fazer um monte de triângulo zinho aqui mas muitos mesmo pessoal eu vou tá fazendo é de lado escrito em entender um infinito então quando n tende ao infinito e a gente vai concordar que essa aproximação ela fica muito melhor porque imagina eu vou tá fazer um desenho aqui se eu começo

a botar triângulo muito pequenininho mesmo ó tipo isso aqui oi tá entrando bem pequenininho olha aqui eu vou traçar aqui a base dele reparo aqui visualmente vou dar um juntos para você eu nem consigo perceber a diferença existe claro né mas eu não consigo mais perceber por causa da da ponta da caneta então é claro que quando os triângulos porém muito pequenininhos ou seja quando a quantidade de lados do polígono por um n muito grande tendendo a infinito essa aproximação ela fica muito próximo do valor real é uma excelente aproximação com erro muito pequeno só

que se eu faço o e nintendo infinito pessoal que que vai acontecer com o semiperímetro repara oi ó sem perímetro é a soma dos lados eu nem consigo fazer diferenciação da própria circunferência tá vendo então sem e perímetro do polígono vai entender para o semi perímetro da circunferência em circunferência gente eu falo pênis não deixar o comprimento da circunferência o comprimento de uma circunferência sabe que é dois pierre então o cm comprimento sem teremos seria simplesmente pierre que é metade disso é tão perímetro tende para pierre que é metade do comprimento da circunferência e observa

aqui altura eu nem consigo desenhar aqui porque foi muito pequenininho mas a altura se você tentar imaginar uma altura sendo desenhado aqui tá vendo olha altura vai ser praticamente igual ao raio vai tender para o raio então no caso de entre no infinito a altura do triângulo olha aqui olhando esse desenho como você ativar diminuir ele vai ficando mais baixo tá vendo ea altura aumenta um pouquinho altura vai entender para o raio então altura tende para o raio e a gente conclui que a área vai ter um limite vai entender para pedir multiplicar a reserva

ou seja é o quadrado então dessa maneira a gente consegue por esse método que é chamado né o pistão isso vai colocando ali infinitos triângulos para fazer aproximação da área você consegue chegar na famosa forma que a gente conhece que a área do círculo neca pi r ao quadrado legal para caramba isso né e aí a gente vai começar a baseado nesta ideia tentar extrapolar isso não pensar no círculo em ser mas pensar numa área de um determinado o gráfico de uma determinada função então acompanha comigo aqui que vai começar a ficar legal agora temos

aqui uma função a princípio não não precisaria ser contínua né mas eu vou até considerar aqui uma função continua definido o intervalo a de ficar mais fácil para o nosso entendimento tá certo então a gente quer começar a estimar essa área que está entre o eixo x e a função ser que está abaixo do gráfico da eu quero começar a estimar a sara vou usar uma ideia muito parecido com ela só que em vez de usar a triângulos que ela mexe confortável aqui eu vou usar um monte de retângulo luizinhas tá certo mas eu vou

fazer isso de maneira um pouquinho mas rigorosa então presta bastante atenção que você vai entender o que eu vou fazer aqui eu vou pegar o intervalo dele e vou fazer o que a gente chama de ir partição eu vou realmente reparti-lo em subintervalos pequenininhos beleza então começo precisamente daqui mesmo tá chamando esse a se desfizer aí eu venho então para eu botar aqui ó fiz um é um x 2 a 163 por aí vai tá vamos botar mais um mochila há uns quatro e aí você imagina que eu tô indo ali até chegar lá o

bebê esse meu bebê aqui é seria aqui nesse exemplo seria ter um x5 né mas eu vou botar de modo literal ou chamar de xl beleza então temos aí uma partição o comprimento uma observação importante reparou que eu botei mais ou menos o mesmo tamanho é propositalmente eu vou utilizar aqui mais ou menos aqui uma medida que seja bom mas não é necessário não precisaria ser igual tá bom é colocando igual acho que fica um pouco mais fácil para o entendimento mas não é obrigado tá bom então cada intervalo de se né que eu vou

chamar aqui de ir cada cumprimento desse eu vou chamar de delta x que seria o que o tamanho de cada um desses comprimento tá então por exemplo tamanho do primeiro x1 - xl tamanho do segundo ao x2 - x 1 então de modo literal é x menos x y - um tamanho de cada intervalinho tá não precisa ficar preocupado para locação que eu sei que é um pouquinho carregado mas delta x e o tamanho de cada subintervalo beleza porque se vai ser importante daqui a pouco tão deixou isso aí aí qualquer ideia em cada um

desses intervalos em cada um desses intervalos eu vou pegar um carinha né eu vou desenhar aqui um carinha mais ou menos no meio mas também não é necessário que vocês no meio tá bom é só para ilustrar e ficar mais mais bonitinho mais compreensivo então vou pegar um carinho aqui no meio desse primeiro e eu vou chamar os carinhas de ir seu vou pegar um outro carinha aqui ó que eu vou chamar ali c2 então eu tô pegando mais ou menos ali o ponto médio mas não seria uma obrigatoriedade tá pode ser um pouquinho mais

para frente porque mais para trás tanto faz a beleza e por aí vai né aqui por exemplo seria o meu c4 eu teria ali em algum lugar um cna tá bom então tô tô definido um carinho aqui que ele tá dentro do intervalo que começa por exemplo aí é digamos aí x e menos um e vai até o x ir pronto beleza então o seu um por exemplo tá aqui no intervalo que vai de x 0 a x1 tá vendo os e três por exemplo tá aqui no intervalo zinho que pega o x 2 até

o x3 beleza tranquilo então eu vou começar a fazer os retângulos da seguinte maneira olha só eu vou pegar aqui ó e a imagem de ser um hum que vai ficar aqui ó e a imagem do seu um ó e vou traçar um retângulo que inicia aqui no x 0 que o ar hoje e vai até o x1 mas com essa altura vou fazer até de régua para ficar bonitinho para você eu vou ficar assim ó e é para que se é uma coisa interessante acontece aqui que esse retângulo ele tá bem próximo da área

abaixo desse gráfico porque aquele perde um pouquinho tá vendo a uma falta aqui mas aqui do outro lado é um excesso né então acaba meio que compensando tá dizendo que seja igual mas se aproxima bastante tá bom quando eu vi aqui para essa outra situação então vou pegar a imagem do seu dois pela função que vai ser esse ponto aqui mais ou menos essa vai ser minha altura essa é a altura do meu meu retângulo tá e vou ter então o seguinte né vai ficar até aqui muito próximo a altura desses dois eu vou fazer

um pouco mais de desenho tá tendo só paciente porque incomil que eu vou fazer aqui agora o próximo vai pegar aqui mais ou menos o fdc1 que vai ser a altura desse meu retângulo tá e por aí vai né então observa aqui a área desse retângulo de fato não é exatamente a área em baixo do gráfico da função mas é uma aproximação interessante né bom e o que acontece qual que é a ideia vai ser similar a essa aqui se eu diminuo a base do retângulo essas ausências e esses excessos vão diminuir tanto que aí

eu vou te entender efetivamente para a área procurada quer ver você tem ideia se eu pego já vou mudar culpa ficar bem bem de idade para você faz laranja a cerveja fazer esse retângulo aqui com essa área é com essa base bem larga bem espaçado eu quisesse assim era só as partições bem bem pequenas de retângulos a loteria na verdade é uma aproximação né vamos botar aqui ó e aqui aqui aqui ó é aqui que não tem uma área zinho que já iria melhorar bastante e em relação esse aqui passou e já já o conserto

ele uma coisa muito mais aproximada porque ficaria muito mais fiel exatamente o que acontece ali por isso que eu fiz aquele exemplo ele é importante o que você ali consegue visualizar que eu quero mostrar aqui ó vou dar um zoom aqui essa parte laranjinha que são dois retângulos se confundiu totalmente aqui com a curva efetivamente tá vendo ah então tá muito mais fiel tá muito mais próximo e aí dá exatamente essa pessoal eu vou fazer o n tender infinito e aí essas bases dos retângulos elas tendem a zero e aí eu consigo uma aproximação muito

maior então ideia seguinte é que a área embaixo desse gráfico lá vai ser assim gente ó tá bom pensa comigo cada retângulo desses somado já dá uma aproximação tão vem aqui ó vamos fazer um somatório esse aqui é o símbolo de somatório tá due iniciando em 0 indo até n oi e aí a base de cada um desses retângulos é o delta x né base às vezes altura altura lembra aqui eu usei o seu c1 c2 c3 e peguei imagem dele depois a imagem do senhor e inclusive seria qwef disse depois eu usei o fdc

2 esse aqui por exemplo o fdc três que vai estar aqui em cima né é filho de ser três isso são as alturas né então base vezes as alturas é fiz eu sei tá só o somatório e aí olha que interessante esse tomar tório aqui pessoal de todos esses retângulos é o cliente se chama de soma de rima legal né a soma bom de rima a beleza não é paulo então sozinho esse processo de aproximações e tal cinco exatamente isso só que pensando na área eu tenho que fazer estender a zero então a área vai

ser o limite aplicado a soma de lima que limite o esse pessoal é quando a base ela vai entendendo sempre a zero lembra que eu falei que a base não precisava ser exatamente do mesmo tamanho não precisa ser mas a gente pode garantir que eles vão tender para zero considerando o ter é isso aqui gente ó pega aqui uma base genérica delta x1 e atendendo a 0 mas eu pego o que o maior desses intervalos ou seja o máximo deixou só escrever isso que não ficou muito bonitinho se você me permite e se inscrever para

ficar bem bonitinho para você que você merece e aí eu vou até explicando para que você possa entender então vou fazer o maior um dos intervalos que representam a base é o máximo dos deltas xy tem deus é porque se o maior tá atendendo a zerar pronto os outros todos claro tão tendendo a zero né então a área ficar sendo igual o limite do máximo dos as bases dos intervalos delta x tendendo a zero dessa soma que representa a soma das áreas dos retângulos então a gente tem aqui ao som de rima que a gente

tem essa área e aí o que interessante que é o gran finale aqui é que essa essa área como de fato existir né que é dado por esse limite vai ser precisamente o que a gente vai definir como a integral de rima então vai ser integral definida no intervalo de ar até dele de f de x é o deixes isso é uma coisa absolutamente linda porque a gente começa a fazer aqui agora um significado do que seja muito grau espera aí paulo então integral ela é uma área precisamente é isso está diretamente relacionado então isso

é legal para caramba espero que eu tenho conseguido fazer você entender isso não é um conceito um sempre realmente é uma notação é carregada mas acredito que eu consegui explicar para você delta x ir é a base desses retângulos f de ser um é a altura de carretão tá quando pega a base vezes altura eu tô fazendo a área de cada retângulo tô somando e seu símbolo somatório tô somando por essas áreas quando a base maior que existir e a tender para zero fica muito fininho aproximação ficar muito perfeito atendendo para colorir de fato então

essa é a área e essa área afetada por um limite nada mais é do que a definição da própria integral definida beleza pessoal tira um print se você gostou muito importante que você manifeste isso para mim deixa para curtida que não veio verifica se tá escrito ir segue na playlist daqui a pouco ela tem vídeo novo é toda segunda-feira tamo junto beijo grande no seu coração