Matemática Básica - Potenciação e Radiciação

[Música] Olá pessoal nessa aula de hoje nós vamos falar de potenciação e radiciação elas estão presentes em várias das atividades que a gente vai resolver no âmbito da Matemática então é importante revisitar esses conceitos checar se você tem dúvidas se tem alguma coisa que você não viu se tem alguma coisa que você não lembra ou que não lembra muito bem e para começar nós vamos ver as potências Será que você se lembra de algumas coisas bem básicas a primeira delas é simplesmente o conceito de potência se eu tenho por exemplo 2 elevado a 3 eu

vou fazer 2 x 2 x do três vezes certo e aí a gente tem as diferentes possibilidades de potência se eu tiver particularmente 1 elevado a 0 eu sempre que eu tenho um número Qualquer que seja elevado a zero O resultado vai ser um se você tiver Curiosidade você pode colocar essa busca na internet que você rapidinho vai descobrir várias explicações do porque isso acontece e a elevado a 1 é um número elevado a 1 ou seja ele mesmo então a elevado a 1 vai ser a 5 elevado a 1 vai ser 5 10 elevado

a 1 vai ser 10 e elevado a 2 então é um número vezes ele mesmo a x a e assim vai a elevado a 3 vai ser a x a x a três vezes bom e aí a gente tem algumas propriedades que envolvem essa potência Então vamos ver se eu tiver um a pode ser um número qualquer real um B que também pode ser um número real qualquer e agora as minhas potências que são os números m e n pertencentes aos naturais Ok então a elevado a m x a elevado a n o que que

eu faço eu vou juntar essas potências eu vou somar essas potências então vai ficar elevado a m + n bom vamos tentar entender um pouquinho do por isso acontece eu vou colocar aqui do lado na forma numérica para ficar mais fácil de visualizar Então eu tenho a elevado a a três vezes x a elev 2 bom a elevado a a 3 vezes é a x a x a e a el 2 é a x a Quando eu olho tudo isso o que ficou a x a x a CCO vezes né ou seja eu somei 3

+ 2 então por isso que eu posso representar dessa forma somando os expoentes agora eu tenho a elevado M divido por a elevado n na multiplicação anteriormente a gente somou as potências quando eu tenho uma divisão eu vou subtrair as potências então a elevado a 3 so a elevado 2 bom quando eu falo elevado a 3 de novo vai ser a x a x a e no denominador vai ser elevado a 2 então a x a o que vai acontecer Olha só eu fiquei com a so a x a so a x a so 1

mas a so a é 1 então eu tenho a elevado a 1 e isso eu posso Enxergar como sendo a elev 3 - 2 que é a a elevado a 1 então por isso que dá pra gente enxergar a razão pela qual eu faço essa subtração claro que nesse caso eu não comentei mas esse a tem que ser diferente de zero pois ele está no denominador e a gente já sabe não posso ter o denominador igual a zero agora eu vou fazer a x b elevado a uma potência n eu vou contar para vocês que

eu posso colocar essa potência n tanto no a quanto no b e manter a minha multiplicação vamos de novo tentar enxergar isso então a x b elevado Quad bom se eu tenho algo elevado ao quadrado é ele vezes ele mesmo como a gente acabou de falar então vai ser a x b x a x b Isso vai ser a x B X a x b bom agora eu posso como é uma multiplicação a ordem não altera eu posso trocar de lugar aí vai ficar a x a Já que é o quadrado e b x b

que é b qu depois a so B elevado n bom eu vou dizer para vocês que eu posso separar aí em elevado a n tirar o parênteses E então no denominador ficará B elevado a n Bom agora eu vou fazer de novo um exemplo aqui em que eu vou fazer a so B elevado a quadrado então é a sobre o b x a so B quando eu faço essa multiplicação a x a vai ser a quadr e b x b vai ser B qu e por fim a quinta propriedade é a elevado a m e

tudo isso elevado a n e isso vai acontecer o quê que eu posso multiplicar essas duas potências o m e o n vamos ver por quê vamos ver um exemplo o a elevado a 3 e isso elevado ao quadrado bom se está quadrado eu vou fazer a elevado 3 x a elev 3 afinal de contas é a elevado 3 xes ele mesmo a gente já viu que quando eu tenho uma multiplicação eu posso somar as potências Então vai ser 3 + 3 que vai dar 6 desse modo a gente pode ver que realmente eu só

vou fazer a multiplicação das potências bom mas vamos ver agora um exemplo numérico um pouquinho diferente do anterior antes a gente estava tendo um número a e um b então agora nós vamos ver um exemplo com números a propriedade 1 eu vou colocar como exemplo Então eu tenho 5 elevado 4 x 5 elevado qu de novo eu vou fazer como antes 5 x 5 x 5 x 5 4 vezes depois 5 qu que é 5 x 5 duas vezes e aí eu consigo enxergar que eu vou ter o 5 multiplicando por ele mesmo seis vezes

e por isso que é 5 elevado a 6 por isso que eu somo os expoentes eu consigo enxergar de onde vem essa soma e isso não importa quantos fatores eu tenha na minha multiplicação Então nesse outro exemplo 3 elev 4 x 3 elev 2 x 3 elev 5 não tem problema eu vou manter a base a base tem que ser igual que é 3 e eu vou somar os expoentes então 3 elev 4 + 2 + 5 Então vai dar 3 elev 11 na propriedade 2 eu coloquei como exemplo 5 elevado 8 divido por 5

elevado 6 bom estar elevado a 8 vai ser 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 tudo isso dividido por 5 elevado a 6 então eu separei aqui como uma fração mesmo para enxergar o dividido que eu penso que facilita para enxergar a simplificação quando eu faço 5 sobre 5 isso é 1 então qualquer número multiplicado por 1 dá ele mesmo eu não preciso representar o um então eu consigo enxergar eu fazendo essa simplificação como eu tenho seis em baixo eu vou cortar que é na verdade a gente

sabe que não é cortar né simplificar E aí a gente costuma usar isso vou fazer né cortar em cima e embaixo e vai ficar 5 x 5 que é 5 a quadrado Ou seja é a mesma coisa que eu tivesse feito a subtração 8 - 6 que também eu vou enxergar mais rapidamente o 5 elevado a 2 na propriedade 3 Eu tenho 2 x 3 elev 4 bom se ele está elevado a 4 então eu vou fazer 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 de novo vale a

mesma coisa que a gente já falou antes certo a ordem dos fatores não vai ter alteração no meu resultado então eu posso colocar primeiro o número dois e depois o número TR então vai ficar 2 x 2 x 2 x 2 e 3 x 3 x 3 x 3 ou seja eu vou ter então 2 elev 4 x 3 elev 4 já na propriedade 4 eu coloquei aqui uma fração 8/4 tudo isso elevado a 3 bom eu posso colocar aqui 8 x 8 x 8 e 4 x 4 x 4 ou seja ficaria 8 elev

3 e 4 elev 3 e finalmente a propriedade 5 3 elev A 4 tudo isso elevado quadrado Essa é a importância desse parênteses ele nos indica que o o 3 elevado a 4 que está ao quadrado então a gente resolve primeiro que está dentro do parênteses então eu vou abrir ali 3 x 3 x 3 x 3 que é o 3 elevado a 4 bom como isso está ao quadrado eu vou fazer isso vezes isso mesmo ele de novo então vai ficar 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x

3 Então veja que eu tenho aí o 3 multiplicando a si mesmo oito vezes de modo que a gente consegue enxergar que bastaria eu fazer 4 xes 2 para rapidamente eu resolver essa operação com a potência e cuidado isso é diferente de colocar 3 elevado a 4 que tá elevado a 2 sem o parênteses porque aqui o que que tá acontecendo Eu tenho 3 como eu não tenho parênteses Então como é que fica é o 3 que está elevado a 4 que tá elevado a 2 então o 3 está elevado a 4 que tá elevado

a 2 que é 16 então é o 3 que tá elevado a 16 vejam que é diferente da resposta anterior quando a gente tinha um parênteses tem que ficar atento a isso mas e agora se eu tiver uma potência negativa como é que eu faço bom a gente vai fazer o seguinte cada vez que eu vou fazer uma operação que envolva potência e eu tenho um número negativo eu vou inverter o número então se eu tenho 2/3 eu vou ficar com 3 so 2 mas se for o número cinco bom o cinco nada mais é

do que eu querer representá-lo na forma fracionária o 5 sobre 1 então quando eu inverter eu vou ter 1 sobre 5 certo Então olha lá a elevado a a - n eu vou inverter um vai ficar 1 sobre a E aí eu mantenho o expoente só que agora ele fica positivo porque eu já fiz a inversão vamos dizer assim inverter para retirar esse menos da potência vamos ver aqui um exemplo eu tenho 2 elev -3 veja eu vou inverter vai ficar meio tudo isso elevado a 3 então vai ficar 1 elevado a 3 e 2

elevado 3 que como resposta eu tenho 1/8 esse segundo exemplo vai ser 3/2 elevado -2 agora eu já tinha uma fração fica mais fácil de enxergar que 3/2 quando eu inverter vai virar 2/3 E aí novamente o numerador eleva ao quadrado e o denominador eleva ao quadrado e aí eu vou obter 4/9 se eu tiver um decimal eu vou escrever ele na forma de fração então 0,3 é 3 10 e agora eu vou inverter então vai ficar 10 so 3 como está elevado ao quadrado vai dar 100 sobre 9 mas aí fica uma pergunta e

se a minha potência for uma fração bom se ele for uma fração eu vou dizer o seguinte a elevado n so m é igual ra m de a elevado a n e aí eu dou aqui um exemplo 4 elev 3 so 2 vai ficar a raiz qu 4 el 3 que é 8 e se eu tiver 125 elevado 1/3 vai ficar a raiz cúbica agora de 125 que é 5 vejam que agora a gente já entrou na Seara das raízes então eu falei aqui como se todo mundo lembrasse delas a gente vai retomar agora as

Prades que são da radiciação que também tem relação com a potência Então como na potência a gente também vai ter algumas propriedades para começar a gente parte justamente dessa relação entre a raiz e a potência com um número fracionário na primeira propriedade eu vou ter a raiz enésima de a sobre B E aí o que eu estou dizendo para você é que nessa propriedade o que a gente vai fazer a gente vai separar o numerador e o denominador e a minha raiz permanece a mesma se for ao quadrado vai ser quadrada no numerador e no

denominador se for cúbica no numerador e no denominador então por exemplo aqui eu vou ter a raiz cúbica de 2/5 Então vai ser a raiz cúbica de 2 sobre a ra Cica 5 na segunda propriedade quando eu faço uma multiplicação de raízes eu posso juntar e colocar tudo numa raiz só então se eu tiver a raiz quadrada com quadrada raiz cúbica com raiz cúbica Então essa raiz enésima de a vezes a raiz enésima de B eu posso fazer que é a raiz enésima de a x b mais um exemplo agora a gente tem a raiz

cúbica de 9 vees a ra Cica 3 quando eu vou juntar eu vou ler raiz cúbica de 9 x 3 e aí 9 x 3 é 27 Então nesse caso eu chego numa raiz cúbica de 27 que é 3 já a propriedade 3 O que que ela diz Ela diz que se eu tiver uma raiz quadrada com uma potência no seu interior por exemplo a elevado a m quando eu faço tudo isso elevado a t eu posso multiplicar essa potência M vezes o t ou seja informalmente a gente fala que esse T vai para dentro

da raiz então a raiz quadrada de 2 tudo está elevado eu vou colocar então o 4 vejam que o m pode ser um tá intencionalmente Eu já pus isso para chamar a atenção de vocês Esse M não precisa ser 3 4 8 certo pode ser um e pode ser um M qualquer pertencente aos naturais então eu coloquei ali 2 elev 1 + 4 como eu já informalmente a gente fala que vai para dentro da raiz vai ficar 2 elev a 4 2 elev 4 a gente sabe que é 16 então eu vou ter a raiz

quadrada 16 que o resultado todo mundo sabe é 4 já a quarta propriedade se eu tenho uma raiz quadrada e uma raiz cúbica bom Então nesse caso eu vou multiplicar o 2 e o 3 o do numa raiz quadrada com o 3 que é raiz cúbica Por exemplo agora eu tenho uma situação em que eu tinha uma raiz cúbica de 64 e dessa raiz cúbica eu tirei a raiz quadrada agora Então vou juntar tudo isso e v fazer duas vees 3 e vou ficar com a raiz se de 64 para facilitar essa visualização eu vou

trocar o 64 por 2 elevado a 6 então eu posso simplificar E aí eu vou ter como resultado o dois a última propriedade o que que eu quero dizer nela informalmente que talvez seja fácil de vocês enxergarem então eu multiplico o n vezes o t e o m x o t então nós temos aqui também mais um exemplo √ 16 se eu quiser multiplicar eu posso enxergar a ra qu 16 como 2 elev 4 então eu posso multiplicar por dois e do lado de fora vamos dizer assim formalmente e o do dentro da raiz vou

ficar com ra 4 de 2 elevado 8 Essa é a ra qu de 256 que é 4 veja que a gente chegou no mesmo resultado eu fiz intencionalmente para vocês observarem que a raiz quadrada de 16 que foi o que a gente começou é quatro mesmo então vejam que eu quis mostrar que mesmo multiplicando por fora e por dentro entre aspas por favor por um número qualquer que E no caso foi o 2 isso não vai alterar o meu resultado eu continuo chegando no mesmo resultado que nesse caso é o 4 que é a raiz

quadrada do 16 certinho depois da gente ver tanta potência tanta raiz propriedade e exemplo chega né nos vemos na próxima aula [Música] h i