Estatística e Probabilidade - Variáveis aleatórias e valores esperados

[Música] Olá pessoal bem-vindos a quarta semana da nossa disciplina estatística e probabilidade da Univesp nessa semana a gente vai começar a estudar variáveis aleatórias variadas aleatórias são importantes porque elas fornecem uma alternativa na verdade alternativa preferida para estudar a teoria de probabilidades e para estudar estatística então a gente viu na semana passada um pouco de teoria de probabilidades a gente viu aquela coisa de espaço amostral eventos o cálculo da probabilidade de alguns eventos e tudo isso é muito importante o conceitualmente mas as variáveis aleatórias oferecem uma alternativa ao cálculo das probabilidades que é mais versátil

a gente prefere na verdade falar de variáveis aleatórias do que falar de eventos então a aula de hoje a gente vai introduzir as variáveis aleatórias num contexto geral depois vamos falar de alguns tipos delas e esse vai ser nosso assunto para essa semana e semana que vem vamos lá variáveis aleatórias e valores esperados muito bem a gente tem que tentar entender o que é uma variável aleatória então variável aleatória é uma maneira de descrever o resultado de um experimento aleatório em termos de um número em termos de números porque é mais fácil a gente falar

que o resultado de um experimento aleatório é um número do que uma palavra ou então uma frase uma explicação cumprida eu Realizei o experimento e das duas primeiras vezes que eu lancei a moeda saiu o primeiro cara e depois coroa é mais fácil dizer não o resultado do experimento foi três Então eu tenho uma variável aleatória fornece para a gente uma maneira de transformar resultados ou seja fornece uma maneira da gente descrever eventos em termos numéricos Então na verdade uma variável aleatória é uma função parece uma brincadeira né a gente fala uma variável mas a

variável é uma função é isso mesmo é uma denominação comum todo mundo entende a gente se acostuma matematicamente variável aleatória é uma função que pega eventos do espaço amostral e levam a um número real existem variáveis aleatórias que assumem valores complexos também são muito importantes em por exemplo engenharia elétrica teoria de telecomunicações variadas aleatórias que assumem valores complexos mas para gente aqui mecânica em física mecânica quântica mas para gente aqui uma variável aleatória vai ser sempre um número real tá bom é uma função que transforma um conjunto num número que que entra na variável aleatória

um conjunto que que sai um número ela é uma função de Ômega em R por exemplo aqui essa figura exemplifica bem em vez de dizer que o resultado do Meu experimento lançamento de dois dados aqui vocês vêm um dado de 1 a 6 numa linha na coluna é um dado valores de 1 a 6 numa linha eu digo o seguinte a variável aleatória descreve o resultado do lançamento da soma do lançamento de dois dados quando vale oito eu digo x de Ômega Vale 8 agora quem é esse quem são essas entradas bom eu posso ter

aqui o evento deu seis num dado e dois no outro que é essa primeira bolinha lá em cima primeiro evento eu posso ter o segundo evento o segundo um outro né Porque eles não têm ordem Mas enfim um outro evento é saiu quatro nos dois dados já vai levar ela dá oito ela pega todos esses eventos ela pega um conjunto de cinco eventos e diz olha o resultado da soma das faces mostradas no lançamento de dois dados é oito então x de Ômega Vale 8 se x maiúscula e a nossa variável aleatória Aqui tá um

X maiúsculo Porque isso é uma questão de notação a notação preferida para variável são as letras latinas maiúsculas então variável aleatória X1 e y Zezão são sempre letras maiúsculas Tá bom então variável aleatória é uma função do espaço amostral na reta real para nós tá bom isso já é suficientemente abrangente motivações para usar variáveis aleatórias bom é mais fácil e mais rápido de escrever o resultado de um experimento aleatório ou um evento em termos de um número do que uma frase tem que descrever o que aconteceu foi o que eu dei um exemplo da aula

foi o exemplo que eu dei no começo da aula é x do evento vale 5 é melhor do que falar X no evento é um dado deu três o outro deu 5 então é e outra farinha aleatória tem uma grandeza associada ela que é de sua distribuição de probabilidades é a função probabilidade que diz quanto cada valor que a variável aleatória pode assumir tem carrega de probabilidade a função distribuição de probabilidades a gente vai ver também na aula de hoje o que é isso a função distribuição de probabilidades descreve completamente a variável aleatória ela é

praticamente a definição quando eu quero definir uma variável aleatória eu dou a função distribuição de probabilidades dela eu digo olha com probabilidade tanto essa variável aleatória x assume o valor um probabilidade de tanto essa variável aleatória assume o valor x igual a 2 E aí se eu der a função de probabilidade a distribuição de valores de probabilidade para cada um dos valores que a variável aleatória pode assumir eu caracterizei essa variável aleatória é completamente então é mais fácil fazer isso em vez de caracterizar Ah quando os dados dão ou cinco e um ou quatro e

dois ou três e três então a variável aleatória Vale 6 com probabilidade tanto essa é uma descrição muito comprida é mais fácil pensar só na variável aleatória e abstrair o espaço amostral daquele ponto em diante Porque como a gente vai ver aqui no próximo slide existe uma relação Clara entre um e outro uma vez que a gente saiba exatamente qual é a relação entre o que eu tenho lá no espaço amostral e o valor que a variável aleatória assume eu esquecer esquecer entre aspas mas assim eu Abstrai o espaço amostral e fico lidando só com

a variável aleatória fica usando fica trabalhando só com números números são bem melhores de que trabalhado que conjuntos né Eu prefiro usar álgebra e aritmética usual dos números reais o que a álgebra de conjuntos que é difícil não você não vai muito longe com ela tem uma hora que a coisa começa a ficar enrolada então a motivação para introduzir várias aleatórios é essa e finalmente a probabilidade de qualquer evento pode ser encontrada a partir da distribuição de probabilidade da vari aleatória é o que eu disse eu caracterizo ela completamente a partir desse momento eu sei

tudo que acontece o dicionário entre eventos e valores da variável aleatória aqui eu tenho alguns exemplos por exemplo o número de peças defeituosas em um lote de produção Isso é uma variável aleatória Eu tenho um lote Eu tenho um número de peças defeituosas lá eu digo x é igual a número de peças defeituosas no lote x pode valer zero pode valer um pode valer dois pro de x = 0 é um tanto probabilidade de x vale1 é outro tanto se eu dou essas massas as probabilidades que cada um dos possíveis valores de x pode assumir

eu caracterizo completamente e a partir dali eu posso estudar o número de peças defeituosas no lote sua distribuição qual as chances de encontrar duas de não entrar nenhuma de encontrar um milhão enfim o número de bugs e um programa de computador é uma variável aleatória porque esse é um fenômeno aleatório também né não é determinístico quantos bugs um programa de computador complexo um sistema operacional um software para aviação enfim coisas desse tipo o número de bugs que tem lá vocês ficaram espantados de saber é um número grande de bugs mas não sabe exatamente de antemão

quantos então é um fenômeno aleatório eu posso associar o número desses bugs é uma variável aleatória e caracterizado em termos de suas probabilidades etc a quantidade de chuva em determinado local durante o mês de janeiro o tempo que um Cliente aguarda na fila Esse é um exemplo importante de variável aleatória pessoal ajuda em engenharia de produção pesquisa operacional estuda muito teoria de filas e lá linguagem é das variáveis aleatórias em particular de Poções exponencial E então as variáveis aleatórias Elas têm um papel na descrição de eventos que acontecem em sujeito alguma aleatoriedade em vez de

escrever esses eventos em termos de subconjuntos de espaço amostral eu descreva esses eventos em termos de números esses números são as variáveis aleatórias são uma função que pega um evento do espaço amostral e me joga na reta Real Tá bom agora os relatórios podem ser discretas Ou contínuas discretas aquelas que só assumem valores discretos número de bugs um dois três zero quatro cinco é uma variável aleatória discreta assume valores assume um conjunto discreto de valores ou variáveis contínuas por exemplo o tempo que um Cliente aguarda na fila é um instante de tempo lá que em

princípio você pode medir com inúmeras casas decimais é praticamente um número real né a gente já viu isso aqui quando a gente falou de variáveis quantitativas né estatística descritiva a mesma coisa se aplica aqui mesmo tá bom vamos lá variava aleatória nessa aula de hoje a gente está interessado nessa semana a gente está interessado em variáveis aleatórias discretas tá então quando o número quando a quantidade de valores que a variável aleatória pode assumir discreto Não precisa não precisa ser número inteiro hein uma variável aleatória que só pode assumir dois números pi e √2 é uma

variável ela tá discreta Ah mas pia um número real irracional não portanto ela é contínua não não o espaço amostral o domínio Domínio Não perdão a imagem dessa função a variável aleatória ela pega lá sei lá o quê não estamos descrevendo espaço amostral por enquanto mas Suponha que dado um evento lá ela pode assumir só dois valores e Raiz de e ou pi raiz de dois né que eu tinha dito é uma variável discreta só pode assumir dois valores tá bom os valores não precisam ser inteiros Mas elas só assume valor um número finito de

valores então dizemos que a variável discreta nesse caso por exemplo lançamento de um dado eu posso associar ao resultado de um lançamento de dado uma variável aleatória que assume o valor fácil observado Então nesse caso a relação é óbvia a variável aleatória é igual ao valor da face que virou para cima lá fácil observada então o x de 1 Vale 1 x do evento um vale um X do evento né O evento é um conjunto né um subconjuntores X do evento mostrou um vale um X do evento dois mostrar dois uma relação direta praticamente uma

identidade mas o segundo exemplo aqui mostra que isso não é necessariamente de verdade eu posso associar uma variável aleatória ao resultado do lançamento de uma moeda se deu cara eu digo que a variável vale zero se deu coroa eu digo que a variável vale um Vocês estão vendo eu tô pegando um evento um subconjunto do espaço amostral o cara coroa e dizendo que a variável aleatória calculada naquele evento vale um número Que número zero para cara um para a coroa podia ser ao contrário podia ser menos um mais um enfim não interessa eu vou definir

os valores que a variável aleatória pode assumir em função do que eu quero Observar se eu quero contar o número de caras que eu obtive perdão nesse caso aqui de coroas Isso aqui é uma boa escolha a soma de todas as variáveis aleatórias dos resultados dos experimentos vai me dar automaticamente o número de coroas né na verdade a gente faz isso quando estuda estatística tá então o que que eu preciso eu preciso definir efeito Agora eu preciso inverter né lembra pessoal eu falei varelatória é bom porque em vez de estudar evento eu estudo número mas

dado o número qual foi o evento eu tenho que conseguir inverter essa relação bom eu consigo definir um evento olha essa anotação aqui é importante ó isso aqui vamos ver aqui essa anotação aqui x com parênteses xão = x Isso aí é um conjunto a professor mas conjunto é quando tem chave mas quando a gente está falando de variável aleatória a gente descreve o conjunto dos eventos que sobre os quais a variável aleatória assume aquele valor por essa notação de parêntes então o evento sempre que eu falo em evento eu tô falando em conjunto o

evento x ão = X é esse conjunto que está definido aí embaixo tá bom ele é definido como o conjunto dos eventos elementares do espaço amostral tal que a variável aleatória calculada neles dá o xizinho que eu tô procurando Então essa maneira de inverter na mesma maneira eu posso descrever outros eventos o evento a variável aleatória X1 Vale menos do que um tanto todos os eventos para os quais quando eu calculo o xzão nele me dá um valor menor que x certo e assim por diante os outros aqui são equivalentes um intervalo maior menor igual

e para esses eventos definidos por uma variável aleatória eu consigo calcular probabilidade deles aplicando a função P A função probabilidade a função probabilidade é uma função de conjunto a probabilidade calcula a massa de probabilidade que um determinado evento possui se esse parêntese é que assim xzão igual a X1 é um evento quando eu aplico P nele ele me dá uma probabilidade que probabilidade é essa essa expressão que tá aqui é a soma de todas as probabilidades sobre os eventos tá o que os eventos a variável aleatória naqueles eventos vale o valor que eu tô procurando

tá bom esse familiarizam com essa mutação aqui não é difícil de entender é simplesmente uma maneira de escrever eventos em termos de variável aleatória mas geralmente a gente quer olhar só para variável aleatória raramente a gente quer saber quais foram os eventos que deram origem a aquele número porque uma vez que a gente entenda o número e o que ele significa Eu só preciso dele da Índia tá bom distribuição de probabilidades é o que eu havia dito certo Dar uma variável aleatória se eu puder especificar a probabilidade envolvendo o X para todos os valores que

x pode assumir eu caracterizo completamente a variável aleatória essa atribuição de probabilidades é o que a distribuição de probabilidades faz e significa a distribuição de probabilidades faz isso ela associa a cada possível valor que a variável aleatória pode assumir uma probabilidade claro que quando eu vou fazer essa atribuição eu tenho que pensar no evento tem que pensar no espaço amostral Mas dali em diante não precisa mais pensar tá bom tem a distribuição acumulativa a distribuição cumulativa vocês vão ver depois no material base aí da nossa semana o que ela significa exatamente mas aqui a gente

tem uma definição dela a função cumulativa de uma variável aleatória diz o quanto de massa de probabilidade aquela variável aleatória acumula até aquele ponto então é pão de xizinho é a probabilidade de que a variável aleatória tenha assumido um valor menor ou igual aquele xizinho Então vou pegar todos os eventos para as quais a variável aleatória x quando calculo naquele evento Dá Um Valor porque lembra para relatório é uma função do espaço amostral na reta Então eu pego esse essa forever aleatória aplico naquele evento deu 3 3 é menor que X é soma aplica o

variável aleatória no outro evento deu 5 5 é menor x não não então esse aí não conta então o efão de x é a distribuição cumulativa ela vai me dizer conforme eu vou acumulando eventos pega esse evento Pega aquele Pega aquele outro vou pegando lá que tem um espaço amostral vou pegando os eventos aqui dentro e vou acumulando a probabilidade quando eu não peguei nenhum evento qual a probabilidade de X usar o ser menor que menos infinito zero ou seja não peguei ninguém aí conforme esse x aqui ó no eixo X aqui da nossa figura

vai aumentando eu vou acumulando eventos vou pegando os eventos na hora que ele tá lá no mais infinito qual a probabilidade da variável aleatória valer menos do que mais infinito um Então vale um então quando X vai de menos infinito até mais infinito essa distribuição cumulativa vai dizer até um Tá bom toda a função de distribuição cumulativa tem essa cara aqui tá legal distribuição de probabilidades a distribuição cumulativa a gente geralmente Abstrai o cumulativo fala só distribuição de probabilidade Existem duas distribuições de probabilidade acumulativa e a densidade ou a gente fala densidade de probabilidades se

refere a densidade a gente vai ver mais para frente ou a gente fala distribuição de probabilidades E aí automaticamente a gente está pensando na cumulativa a distribuição de probabilidades tem as seguintes propriedades ela é limitada ela vai entre zero e um porque ela é uma probabilidade ela é um acúmulo ela é uma probabilidade f de x é p de alguma coisa pede alguma coisa sempre um número entre 0 e 1 pessoal tá bom ela é crescente Porque conforme o x vai aumentando eu tô abocanhando mais eventos são mais eventos que a variável aleatória descreve quanto

mais x anda para frente mais a variável aleatória x ou não tá descrevendo eventos então ela vai crescendo ela nunca diminui nunca eu vou adicionar um evento e a minha probabilidade Total acumulada até aquele ponto vai diminuir isso aí significaria que eu teria a probabilidade negativa isso não existe então a distribuição é sempre crescente e ela é contínua à direita Isso é uma técnica qualidade né eu eu quando eu adiciono um evento o valor dela pula tá aqui ó tá vendo essas bolinhas fechadas nas figuras até eu chegar naquele ponto eu ainda não abocanhei aquele

evento quando eu aumento um pouquinho x você vai lá abocanha que ele vem daí deu um saltinho esse saltinho de um ponto para o outro é a probabilidade que aquele evento trouxe para minha massa total Então ela até aqui ela é aberta ela funciona aberta quando ela Bocão em um evento ela ganha aquilo isso vem da definição de p de x menor ou igual a x se fosse menor seria o contrário Tá bom mas é menor ou igual isso é uma coisa importante tá legal como que eu calculo probabilidade da variável aleatória estável num determinado

intervalo bom em termos da cumulativa ela é dada por isso daí tá bom É fácil de ver isso é um exercício para vocês tá a massa de probabilidade por outro lado é uma distribuição é uma densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta você vai discreta ela tem um certo número finito de valores ela pode valer por exemplo 0 e 1 ela pode valer zero para cara um para coroa então é e-mail é né Por exemplo x de cara é zero x de coroa é um ou vice-versa ela assume um valor finito discreto de valores

a cada um desses valores eu atribuo uma massa probabilidade de x vale1 é o que em termos de eventos é a probabilidade da moeda ter dado o cara vale quanto meio então quando eu especifico a massa de probabilidade de cada um dos pontinhos que estão lá dentro do espaço amostral em termos do valor da variável aleatória eu encontro a distribuição de probabilidades essa distribuição no caso de uma variável discreta é chamada de massa de probabilidades a definição tá aqui ó é Finho daquele ponto que aquele valor que x pode assumir é a probabilidade da variável

aleatória assumir aquele valor claro que a soma de todos esses valores tem que dar um tá legal a gente pode a partir dessa distribuição de massas calcular o valor de da probabilidade de qualquer evento simplesmente porque um evento é uma união de eventinhos tá legal como está exemplificado nessa figura aqui tá bom e finalmente um conceito importante sobre variável aleatória o equivalente da média o valor a gente chama de valor esperado o valor esperado a notação é essa rede esperado Esperança matemática valor esperado de uma variável aleatória é a média dos valores que ela pode

assumir ponderado por suas probabilidades então lembra lá da Média a média amostral ou a média populacional da estatística descritiva era uma soma simples aritmética era uma média aritmética aqui a média é ponderada por exemplo se a variável aleatória pode valer um com um peso 0,1 e pode valer dois com peso zero vírgula 9 qual a média dela 1 + 2 / 2 não é 1 x 01 + 2,09 então o valor médio valor esperado dela é 1,9 não é nem dois nenhum mas tá mais para dois do que para um tá bom é uma média

ponderada o valor esperado de uma vara aleatória é uma média também denominado médio a gente também chama de mi esse e de X a gente chama de Mi e É como se eu tivesse fazendo uma média numa amostra de tamanho infinito tá bom esse valor esperado tem algumas propriedades o valor esperado é uma função linear Então vamos dar uma olhada nas principais propriedades desse valor esperado ele é um operador linear então se eu faço uma combinação linear de variáveis aleatórias o valor esperado dessa combinação linear é a combinação de valores é isso que tá dito

aqui nessa primeira declaração aqui se Z tem essa cara aqui então o valor esperado é esse aqui e em particular mais geralmente por uma função qualquer eu posso calcular o valor esperado dessa função é só enviar a função lá na definição de valor esperado o valor esperado não é a média ponderada da coisa Essa coisa é o próprio valor da variável aleatória é o valor esperado da variável aleatória se essa coisa é uma função é a média ponderada dos valores que essa função assume nos pontos e eu posso fazer Portanto o valor esperado posso falar

de valor esperado de qualquer função é o que tá escrito nesse somatório que vocês estão vendo aí nesse slide uma função particularmente útil é o desvio quadradinho o valor esperado do desvio quadradinho médio como vocês podem adivinhar é a variância da variável aleatória é de suma importância a gente vai falar várias vezes na frente aqui desse curso mais para frente da variância de uma variável aleatória então estudem esses conceitos eles são importantes material o texto-base é rico em exemplos e até a próxima aula pessoal até mais [Música] [Música]