Cálculo I - Aula 28 (1/3) Mais produtos trigonométricos e frações parciais

[Música] vamos lá gente bom dia para todos vocês vamos continuar o que a gente estava fazendo que era técnicas de integração a gente estava escrevendo fórmulas a potência de cênicos e não está certo e produtos dezenas de concelhos então vou escrever suas formas ea gente já aplicou em alguns casos né então a gente tinha visto fórmula integral forma não né métodos para calcular potências descer no método para calcular potências de concelho dependendo da qualidade dos points certo se o senado estava elevado um inteiro impacto positivo inteiro ímpar negado interpar positivo também a gente conseguia fazer

todas essas coisas só ficou faltando escrever fórmulas para os produtos né então como é que você calcula uma coisa desse tipo né acho que cheguei a comentar por cima no final do ano passado a 0 gol de escrever isso de novo direitinho ainda não se tem um produto de cenas e conselhos qual que é o truque padrão se olha de novo para a qualidade do das potências além dos points está então em caso particular assim se você tiver com n ímpar que a potência do senado for him para fazer a mudança de variável ou igual

a concelho e xx porque isso vai funcionar se esse cara que tem uma potência e para ser solta um deles passaram e pensa que vai ficar uns e no the x sozinho sendo xdx exatamente o que vai aparecer com deu oq ta certo é sobre uma potência para descer no sendo uma potência de conselho que você faz com que a potência parte do senado sei lá por exemplo sobre os e na sexta vez como sendo um quadrado ao cubo e ao seu quadrado você troca por um - conselho ao quadrado então vai ficar 1 polônia

1 na variável conselho de x vezes sendo xx com essa mudança sem trocas integral com o primitivo de um pano nome faz direto tá bom se o ele foi limpa que a gente faz se o enem para a mesma coisa se chama o decênio de xis aqui então deixe está o iguaçu x e vai fazer a mesma coisa né e soltam cosseno daqui odeo vai ser o cene x de x e vai virar um codinome só na variável cene x também então essa coisa funciona sempre que acontece o caso que sobra se um dos dois

for limpa não importa qual é o outro se faz o conveniente aqui se os dois forem paris qual é o truque mm paris que a gente pode fazer se os dois são paris você pega qualquer um dos dois e trocam conselhos ao quadrado que está dentro desse esporte parou sendo enquadrado por um - conselho quadrado - e no quadrado e vai ficar um monte de potências de selos e conselhos o que a gente pode fazer você usa aquelas igualdade que a gente tem né se no quadrado de x é meio - conselho de 2 x

1 e continuou quadrado de x e meio mais de dois filhos usando qualquer uma dessas duas não se reduz à troca quadrados por coisas o conselho de 2 x 1 esse baixo grau fizer um exemplo calcula acho que integral de sendo a 4ª aula passar desse jeito também então essas são as mudanças que você faz os casos potências de semi concelho fizemos exemplos nova passada outra coisa que pode ser interessante há algumas formas que a gente chama de recorrência na oi a tudo sobre dois também aqui claro obrigado meio - com 102 x sobre dois

e meio mais próximo de 2 x sobre dois não precisa ficar decorando isso não né comandam de que a gente tirou isso das identidades econométricas senão quadrado mas com sinal quadrado igual a 1 e continuou quadrado - senão quadrado cada um de x igual sendo de 2 x 1 somando subtraindo essas duas identidades você constrói essa sair tão famosas de recorrência que são fórmulas de recorrência em geral é você calcular alguma coisa em função de uma coisa bem parecida com ela num caso mais simples exemplos clássicos pois você pode pensar em seqüências dadas por recorrência

pensa na sequência de fibonacci cada termo usado pela soma dos dois anteriores que você canta quem são os dois primeiros se consegue desenvolver sequência inteira é uma forma de recorrência que a gente consegue calcular a integral de potências só descer não só de você não precisa decorar isso mas a título de curiosidade de saber que dá a gente consegue escrever por exemplo a primitiva descer no elevado a n the xx em função da primitiva de cena levando menos dois tá então isso aqui fica por exemplo - um sobre n sendo levado em -1 de x

cosseno x mas n - um sobre n vê sua primitiva de ser um elevado ainda menos 2 x 2 x 1 eu consigo calcular qualquer potência de seno se você calcular primitiva de dois a menos dessa forma vale pra bom vamos pensar que o enem é maior ou igual ao q2 aqui né como é que o cálculo integral de cena ao cubo cuba é menos um terço desse nó quadrado concelho mais dois terços da integral de cena a gente sabe quanto o que é motivo de ceni - conselho também consegue ser uma quinta vai depender

de si no terceiro e assim por diante como é que se faz para demonstrar essa fórmula por exemplo o truque é usar a integração por parte escreve esses elevado a ele como se elevado a eni menos 2 vezes e no quadrado é aplicar consegue calcular essa integral direitinho bom integral de conselho também dá pra fazer isso aqui vai dar um sobre n sem sinal de menos conselho é levado ainda menos um aceno de x + e - um sobre n vezes a primitiva de concelho levado em -2 xx são potências dcm conselho dá para calcular

a sua maneira não quero que seja decorrem estas fórmulas a título de curiosidade vale mais a pena você usar o que a gente viu antes eu te dou um n concreto aqui olha se para o inter faz com que a gente renova passada bom demais que falta de funções trigonométricas a também colocar as formas de recorrência mas não vale a pena né você decorar isso se você tiver direito à consulta e olha esse faz se não faz do jeito que a gente tem feito separa troca tangente ao quadrado que for troca seqüencial quadrado o que

for então tá bom a essas aqui as formas são os seguintes a a primitiva de tangente levado a amd xx a gente vai conseguir inscrever como sendo intransigente e levado à eni - um sobre ele - 1 - a gente levada nos 2 x de x curta como é que demonstra de novo fazendo integração por partes se você quiser integral das potências dessecante também a gente consegue escrever fica secante levado a ele - 2 tem gente de x sobre ele - um a mais e nem menos 2 sobre ele - 1 - 2 bom por

exemplo como é que eu falei pra calcular semelhante ao cubo que a gente fez na racional passado na integração por parte troca é igual a 3 nesta fórmula que vai sobrar integral dos e kant que a gente sabe vale a pena recordar isso de novo não há outra forma que a gente tem essa aqui é um método que aí vale a pena você lembrar o truque sempre né se você tem secante elevado a ene vezes tangente levado à m xx você faz duas coisas se o m for par impacto na verdade quer dizer em mim

para que esse cara se solta um aqui né o que dá pra fazer vai ficar com umas e cante vezes tangente pode trocar a potência partida tangente pela identidade biométrica conseqüente ao quadrado ficaram por nome só com você cante então gente faz o seguinte isso que você escreve como secante levado a eni - 1 às vezes é tão gentil consigo trocar por ser campeão quadrado - um como enem parque se eu tiro um fica para ser dividido por dois na que é isso aqui é ter gente ao quadrado a gente é o quadrado vai ficar

tangente elevado e -1 campanha que secante x e se tem gente xix e faço igual secante eu faço igual secante vai ficar um pouco o nome na variável secante você calcula direto transforma essa integral de potências emergentes ou integral de um nome para encher o olho se o n for inpa certo como é que se me for parar se eu for parar a gente vai escrever isso desse jeito integral de secante levado a eni e se o hemepar isso que vocês querem simplesmente como um quadrado x - um elevado à pm sobre dois ea gente

consegue calcular com por exemplo na hora que se abre isso aqui tudo vai dar um monte de potência secantes agora dando um monte de potência semelhante ou você usa essa forma se você quiser local como a gente fez no caso concreto a exemplo de cuba também pergunta [Música] não se o emmy foi limpa não importa quem é o n não importa tá eu tô pra calcular esse tipo de primitiva vou me interessar na qualidade só deste expoente essa aqui tanto faz porque se forem para vir isso aqui tanto faz quem é esse cara vai sobrar

um codinome depois que eu faço eu tiro o elimina um dos dois é o que fazer ele estudando e se poderia tentar fazer estudando e se você precisar saber das potências da otan gente legal então falta agora de assim das técnicas mais populares uns entre aspas que a gente viu isso aqui é tudo particularidade é casos específicos de integrais de cenas e conselhos a gente aprender o método da substituição ou mudanças de variáveis tem vários nomes isso aprendemos integração por partes essas caras dão conta de integrar produtos passar para integrar conscientes a gente vai ver

como fazer integrar a primitiva de conscientes de polinômios então vamos tentar ver um método agora que cuida de cálculo primitivas de funções racionais o que a gente chama de método das frações parciais então eu meio que usei ele na aula passada quando a gente calcula primitivas e cante do outro jeito lembra que multiplica em cima em baixo porque o cene x ficou uma coisa tipo 1 - 1 sobre um - o quadrado agente faturou escreveu aquela coisa como uma soma de 2 duas funções nacionais dá pra fazer isso sempre isso é o que a gente

chama de método das frações parciais então isso aqui justifica porque eu fiz aquela conta daquele jeito que vai dar certo sempre está então é pode começar não vou demonstrar esse problema mas eu consigo dar uma motivação boa pra ele assim demonstrar esse problema é uma coisa que é mais um exercício de álgebra linear do que de cálculo mesmo então teorema pega dois polinômios faz que o grau de peixes é estritamente menor que o grau de que the xx então estou interessado em olhar pra esse consciente aqui estou supondo que eu tenho um consciente onde o

grau do numerador é menor que o denominador porque isso é importante porque se fosse o grau de cima maior que o grau de baixo que eu faço o que fazer a divisão de pollino nomes e sempre só me preocupar com esse caso vamos fazer um exemplo concreto depois você precisa fazer isso tá então você tem dois polinômios então dá pra escrever algumas coisas eu vou fazer os comentários não vou escrever o enunciado melhor enunciado possível que cobre todos os casos mas o que eu falar vai ser muito útil para economizar gisi caderno do mais não

é então vamos ver se você tem por exemplo o primeiro caso se você tem o teu poli nome pdx no numerador supõe que ter o cara que está no denominador que é o que é de x é um polígono de grau n que se fattoria como produto de raiz e simples ou seja ele é um polígono meio redutível e todas as raízes deles são raízes simples todas distintas então se você tem um poder enorme o que é de x que tem todas as raízes distintas como é que esse fator x - a primeira raiz vez

menos a segunda com eficiente dominante na frente está então vamos supor que esse cara aqui têm coeficiente dominante 11 que a gente chama de um poema mônico porque senão que eu faço eu divido por essa constante e coloca fora da produtiva tá então eu posso pensar que pretende x é um pronome mônica e ele vai ter x - alpha 1 x - alpha 2 x - alpha ams foi um problema de grau mma se você tem uma coisa desse tipo é garantido que existem n números reais a 1a 2a e nunca consigo escrever dessa forma

a 1 sobre x - alpha 1 mais a 2 sobre o chile os alfa 2a n consigo transformar um consciente de polinômios quando o denominador tem todas as raízes simples como uma soma desse tipo há uma constante dividido pelo nome pelo por nome ou the ground de cada raiz x - aos 11 minutos por 2 a 0 como é que demonstra bom você pode fazer um monte de coisas né provar que essas essas constantes existem como é que você faria só para dar uma idéia um jeito de pensar é preciso provar que esses dois caras

são iguais como é que se faz a conta desse lado quem quer tirar o mínimo aqui no caso com todos os polígonos são x - um cara 1 diferente do outro tem que é o mínimo múltiplo comum entre todos esses povos é o produto de todos eles ou seja o denominador da o mesmo que o lado de kata certo e quem fica o numerador vai ser por exemplo numerador que vem acompanhando o termo a um é o produto de todos esses caras quanto é um produto de todos esses caras por nome de grau e menos

um que estava supondo que esse cara tinha grau menor mesmo então numerador vou ter um plano de grau e menos um aqui eu vou ter um certo polônia e os denominadores são iguais então que eu concluiria depois que fizer a conta que os moradores não têm que ser iguais entre si e eu vou ter uma identidade entre dois porém nomes do lado de cá um cada degrau no máximo e menos um do lado de cá o cara com grau ele - 1 exatamente quando o q2 por nomes vão ser iguais quando todos os coeficientes são

iguais tá certo então aqui vai ter alguns coeficientes é que eu vou ter menos um curso mn coeficientes né o nome de grau e menos um tem no coeficiente então o que vai me dar isso o sistema de equações quanto as equações n para descobrir n variáveis que você consegue mostrar com a teoria de hoje a liminar que esse sistema é possível determinado como é possível determinado existem únicas constantes a 1a 2a n que verificam essa identidade que vai fazer os casos concretos para você ver como é que isso funciona como que você chega no

sistema linear e aí é só resolver tá então esse é um caso qualquer um segundo caso que poderia acontecer com o nome do denominador ele poderia ter todas as raízes reais e algumas delas e dupla acerto pode acontecer isso é ter uma raiz com multiplicidade maior que 1 nesse caso a decomposição não é exatamente essa vai ficar uma coisa desse tipo vou fazer um caso mais simples tapete x x - alpha 1 x - alpha 2 onde alfa 2a + dupla e quando é uma das duplas de fatura desse jeito tudo bem mais dupla a

gente fez esse exercício todas as duplas de um nome estou por nomes ou derivados portanto ele vai ter que ter essa casa é legal quando você tem esse caso não vai escrever com ele parcelas como é que você faz de novo existem constantes que permite escrever isso dessa forma a 1 sobre che - alpha 1 mas um chamado de bebê só porque da segunda raiz b1 x - alfa 2a + b 2 sobre x - alpha 2 ao quadrado tá então quando você tem uma raiz com multiplicidade você precisa repetir se botar um coeficiente para

cada uma das potências até multiplicidade claro se eu tivesse uma raiz tripla como é que ia ser a coisa se eu tivesse um alpha 3 que é uma estrela tem um sobre x - alpha 3 c 2 sobre o chivas - alpha 3 ao quadrado e três sobrinhos - alpha 3 a 1 a gente não vai tratar casos muito grandes é essencialmente é tudo a mesma coisa é a única coisa que acontece ali é o tamanho do sistema vai ficando cada vez maior com mais variáveis para resolver mas a técnica é essencialmente a mesma então

nos exemplos que a gente vai fazer é certa não vou pegar um plano de grau 20 aqui um denominador não preciso a técnica é a mesma só fica um exercício mais chato de fazer então quando você tem raízes simples aparece um cada vez quando você tem raízes com multiplicidade ele vai aparecendo repetidamente até a multiplicidade desse cara qualquer outro caso que falta quando tem raiz simples já foi quando tem raiz múltipla já foi quando não tem raiz real tá certo como é que a gente resolve quando o nome do denominador não tem raízes reais como

é que fica a carinha dele o que quer dizer que o nome não tem raiz real essas raízes são números complexos e portanto se ele tiver uma raiz real só é o grau for maior do que três vezes que o fator 1 x - esse cara real e sobe 1 polônia e redutível ali né eu vou escrever a coisa depois o documento um pouquinho porque tem que ser necessariamente desse jeito você tem por exemplo um peixe se sobre x - alpha 1 e aqui sobrou uma coisa de grau dois irredutível o que quer dizer que

esse plano não é redutível como é que detecta campanha de grau dois é redutível quando ele não tem raízes reais e portanto delta discriminante dele é negativo então esse cara aqui a gente sabe que b2 - 45 e 90 nesse caso como é que a gente faz se eu tenho uma raiz real pra ele vai ter jeito vou ter uma constante sobre estes - alfa tudo bem e esse cara é irredutível não tem jeito eu não consigo quebrar ele né tentar faturar ele bater no poli nome para quebrar ele em dois quando eu bato em

vez de propor o nome quebra o martelo que usei na economia e reduzir eu gostaria de números complexos promotora então eu deixo ele aqui no denominador e aqui em cima não vou conseguir uma constante e vou ter que pôr um pouco nome de grau 1 então existem constantes a bens e de modo que essa identidade é verdadeira para qualquer por nome aqui no caso de grau menor ou igual a 2 / um produto onde um dos fatores é redutível tá isso cobre todos os casos possíveis aqui tivesse mais um porém nome de grau 2 o

que queria fazer e até mais um termo desse tipo aqui com esse outro em nome do governador não se põe todos os caras que esse fator o por nome do denominador ao máximo e vai colocar todos os fatores no denominador e ver se for mais múltipla vai ter que fazer um truque desse tipo se for todos raízes simples um truque desse tipo e se for reduzir o nível é um cara de grau um no numerador isso cobre tudo aqui eu tô com o codinome de grau 3 se tivesse um plano de grau 4 o que

poderia acontecer vamos pensar um pouco por onde grau 4 ele poderia ter as quatro raízes reais ou simples ou múltiplos está coberto por esses dois casos se tivesse eu poderia ter duas raízes reais e duas complexas tá que isso quer dizer ia ter um x - alpha 1 x - alpha 2 e um cara desse tipo aqui então escrever a sobis - alpha 1 b sobis - alpha 2 outro fator em inglês qualquer outra possibilidade as quatro complexos e quando as quatro são complexas o que eu posso dizer a respeito desse polônia é essa coisa

que eu queria né se você tem um plano de grau 4 vocês ou quebra ele esses dois sujeitos que eu falei ou forçosamente ele vai se quebrar um produto de dois de grau dois e redutíveis porque se ele tiver as quatro redes complexas a gente sabe que duas das duas elas são conjugadas você pegar um cara com seu conjugado e fizer faturação complexo x - a primeira mais complexa x - a segunda complexa esse produto vai dar um carinho desse tipo aqui então você tem um problema de grau 4 com quatro redes complexas quando faturou

ter no denominador um produto de dois caras desse tipo aqui é como é que fica a faturação um cara desse tipo mais outro desse mesmo tipo com os dois casos de grau 2 dominador e a gente faz quer dizer o agente faz o que eu vou fazer agora isso aqui não tem nada a ver com cautela primitivas né é só um jeito de reescrever conscientes todo consciente a gente está consciente de polinômios eu escrevo como uma soma de termos mais simples não é muito esquisito isso né se você pensar de novo nesse caso como é

que fica esse cara tem grau menor igual que dois já o mínimo desse lado aqui vai dar grau dois e aqui também tem uma identidade entre dois pilotos resolve sistema se você pensar em números funciona também né pega uma fração 12345 / 10 mil eu consigo escrever isso pensa assim o 10 mil ele é uma potência de 10 11 a ser uma potência de 10 eu vou tentando copiar isso na verdade isso aqui motiva esse eu posso escrever como 10 elevado a 0 ou 2 a 0 não vai ter dessa primeira vez ao quadrado na

quarta 10 aqui existem números que eu coloco aqui que verificam essa identidade quais são eles 1 2 3 4 5 certo esse cara que está na net o que você pensa 0,10 cara que é o 10 -5 consciente dos 10.057 2004 então com números dá pra fazer isso se fosse um outro número aqui sei lá dividir por 54 96 uma vez quando esse fator empregos vai ter 12 vezes 13 ao cubo então consegui escrever qualquer fração que tem numerador alguma coisa / 54 com uma soma de infrações cujas denominadores comuns e 233 ao quadrado em

3 ou cuba então é mais ou menos essa idéia só tá bom isso tudo é conseqüência de um fato que a gente precisa se acostumar um pouco que as contas que a gente faz com polinômios são exatamente as mesmas contas que a gente faz com números inteiros não seja para pensar nisso a gente sabe somar multiplicar números inteiros tem certas propriedades associativa comutativa elemento neutro polinômios tem as mesmas propriedades a gente sabe fazer o algoritmo da divisão números inteiros não consigo escrever qualquer número e miss / n como m igual o inconsciente vezes animais o

resto você faz desculpa o nome também tem um conceito de número primo que é o análogo número primo pra polinômios que é um número primo aquele que não divide né um fator que é um polímero que você não fatura um bom nome é redutível então todo mundo tem um correspondente na teoria então tudo que você faz algebricamente tudo muito entre aspas aqui não dá para você fazer um paralelo entre a teoria de números inteiros e teoria de polinômios inconscientes reais por exemplo então muitas das contas que eu vou fazer talvez eu faça um jeito diferente

do que vocês fazem porque eu aprendi de outro jeito assim mesmo por exemplo dividir por nomes o indivíduo como a gente faz com números o indivíduo chave tudo mais então tudo isso é uma coisa puramente algébrica se você quiser pensar e por que que isso me ajuda no que a gente quer fazer o que a gente quer fazer ao colar primitivas como é que eu posso calcular então eu tenho uma uma função racional eu quero a primitiva de um cara desse tipo eu troco esse cara por e se sabe qual a primitiva de um cara

desse tipo sabe né enquanto que a primitiva de a sobre x - a ufam é uma constante pula fora fica um sobre x - alfa um primitivo é o blog do módulo desse caso então você consegue se eu precisar calcula primitiva de uma função racional desse tipo basta escrever dessa forma calcula primitiva de cada parcela aqui você sabe o que é o próprio motivo de cada um desses pedaços sim desse é fácil de ser fácil mas também não é um cargo elevado - dois sabe fazer nesse aqui é fácil também dá um pouco mais de

trabalho mas é fácil a gente vai fazer um exemplo sei qual pode-se dizer que eu consigo fazer alguma coisa tá então fazer alguns exemplos um de cada tipo pra gente ver como é que trabalha com isso tá bom