Cálculo I - Aula 25 (2/3) Integral de Riemann: propriedades e áreas

[Música] teorema você pega duas funções fg ambas definidas no intervalo a b chegando em r ambas integráveis tá bom então posso dizer as seguintes coisas primeiro se você quiser calculará integral de até b jeff x + gtx integral da soma de duas funções é a soma dos integrais que só quer dizer que a área da soma é a soma das áreas quando a gente fala de área embaixo do gráfico da função dá pra acreditar nesse resultado em vista do que a gente pensando assim bem superficialmente né isso aqui é um limite isso aqui são dois

crimes o que está escrito aqui que o limite da soma é a soma dos limites quando os dois existem onde o limite que eu tô pensando esse aqui como é que prova isso mas aquela história com edson eddel da do edson você tem uma partição você tem um delta 11 para enterprise uma demanda é ficar menor do que as 1 sobre 2g wss ontem um delta 2 que deixou 19 caption sobre dois e faz exatamente igual a gente fez a demonstração que o limite das sombras um dos limites ou que a soma de funções continua

sem uma função contínuo a gente não pode escrever segundo a propriedade se você tiver uma constante cá essa é bem fácil de acreditar também não é tema constante multiplicando uma função da constante pula fora do integral tá certo isso equivale a todo o carro pertencente à rede o que quer dizer multiplicar uma função por dois por exemplo é pegar os valores dela e dobrar a cada um é você dobra o valor de cada ponto cada ponto cada valor da função do gráfico a o que ele está dizendo é que a área vai ser o dobro

da intuitivamente acredita se for fazer a coisa com o limite o que vai acontecer vai ter uma constante multiplicando dentro de cada soma de rimo fai sabe o limite é igualzinho a demonstração que o limite de uma constante vezes f é constante vezes o limite de r bom então também não vamos fazer 3ª e 4ª propriedades quer dizer a terceira propriedade também é superintendente tiva quer dizer se você tem uma função que é positiva em todos os pontos do domínio que se espera que aconteça com o valor integral se o gráfico está inteiro pra cima

do eixo x a área vai ser uma área positiva porque vai ser uma área positiva porque os delta tem de cada soma de rimam sempre um número positivo neocom ponto final - inicial de intervalo eu estou multiplicando pelo fdc e vai ser sempre um número maior quiser então estou somando números positivos então o limite de 1 soma de números positivos do sempre positivo integrava um limite dessas somos o limite de coisas positivas 800 free positivo então ao cuidado né vale uma um tipo de volta assim por exemplo um tipo de volta e quer dizer o

seguinte integral e zero a verdade que a função é constante igual a zero dá pra você imaginar uma função que não seja identicamente nula cuja íntegra um certo intervalo seja 10 basta você pensar em alguma coisa que tem um certo tipo de assimetria na frente você pensar numa função que é constante igual a um certo intervalo será de zero até um no outro intervalo é constante é constante ao menos um hora que eu fiz é a soma de rima a área desse pedaço vai cancelar 4010 então é integral de -1 até 1 dessa função não

é um valor a que o gol - o a área total é zero ea função é constante e rigorosa então tem que tomar muito cuidado na volta não vale quando que valeria volta quando que é integral s/a integral for zero tenho certeza que a função é zero se você tem certeza que essa função é positiva e se está jogando fora esse caso dá pra garantir que integral da função é zero e se pensa numa função que o gráfico está todo igual ou acima o eixo x também do eixo x pra cima se você sabe que

a área embaixo desse gráfico a 0 dá pra dizer que a função é zero dá pra dizer isso se você tiver certeza que a função for contínuo por exemplo você começa a esbarrar numa delicadezas né por exemplo se você pegar uma função que é constante igual a zero nesse ponto ela vale 1 e depois ela continua constante igual a zero qualquer área do baixo do gráfico dessa função precisaria calcular pela definição tá calculando pela definição se vai ver que essa área que é zero porque qualquer soma de rima que vai acontecer a soma de rima

a maior parte das parcelas 60 a única que dá um medinho essa aqui né mas se você pensar efetivamente o que acontece enquanto que contribui a área desse palitinho um palitinho só né tem base zero então a área embaixo desse gráfico é zero ea função não é constante goza se ela for contínuo e você sabe que ela é positiva então se integrar ao deus era porque ela é constante gozar bom joy quarta propriedade é uma também super interativa né se você subdividiu intervalo então se você tem números e dentro desse intervalo a b então você

pode escrever que integral de até b df xx é igual integral de até cdft x mais integral de seu bebê o que a gente está fazendo aqui estou dizendo que a área em todo o intervalo é igual à área do ponto há até um pedaço mas esse pedaço até o final estou quebrando a área em do dos sub áreas estou certo se você dividir você pode ser tem um intervalo grande mas eu posso calcular integral em todo esse intervalo cálculo integral em subir intervalos o único cuidado que você tem que tomar que eles não se

interceptam tem de novo no intervalo por isso vai estar contando duas vezes na mesma área sem que se pense também ótimo essas propriedades da integral acho que não vale a pena a gente demonstrar é uma coisa que vale a pena a gente tentar discutir eu não quero me aprofundar muito nisso é quais são as funções que são integráveis o que quando o que eu posso dizer que é uma certa função é integrável ou não esses barra nos conceitos um pouquinho delicados não é o caso da gente tratar isso agora mas com certeza a gente tem

esse resultado toda função contínua é integral tá bom como é que a gente demonstra isso não vou fazer a demonstração também max dá pra gente ter uma idéia o que quer dizer que uma função a função contínuo que se você intensivamente você desenho gráfico sem tirar a obra do papel e que se você tiver pontos próximos do domínio o valor da função vai com a função vai te produzir valores próximos a essa queda é intuitiva de função contínuo se você olhar para a soma de rima o que era nesse objeto aqui né sua função é

contínuo o que você percebe para uma mesma partição uma mesma partição se você pegar uma vez eu escolho 16 dentro de cada intervalo e depois eu pego um ponto sem pertinho desse cara todo sendo bem balançando a mão aqui tá se você pegar um ponto sei próximo de um outro candidato eu sei o que você acha que vai acontecer com esse fator da soma de rima se a função é contínuo pode mudar muito não porque por continuidade esse valor é próximo do anterior ou seja então para cada parte são se o cm muda um pouquinho

do fdc e não muda tanto assim portanto a saúde não vai ser a mesma tá certo de novo repetindo sendo bem em gêmeos aqui tá que mais o que eu preciso fazer para a partir da soma de renan cálculo integral fazer norma da partição tender para zero então esses caras aqui estão ficando arbitrariamente pequenos e os e está sempre preso dentro de si subir intervalo se esses intervalos estão ficando pequeno seu obrigatoriamente vou ter o quê que os seis vão estar todos os próximos entre si todos os possíveis que eu podia escolher certo então esses

valores vão ficar próximos entre si para se ver cada possíveis conforme o falso a tradição tender para zero então todos esses casos vão tender para o mesmo número está na base do edson eddel toda pra você escrever isso se quiser que não vale a pena então intuitivamente uma função foi contínua com certeza ela é integrável pergunta existe função descontínua que é integrável é tão óbvio pensa numa função assim ó descontínua está tudo sendo positiva você acha razoável que essa função aqui seja integrável tem área é uma função de continuar obviamente tá é razoável que ela

seja integrável e quem vai ser integral vai ser essa integral de a até esse ponto diz continuidade mais esse outro né tudo bem como é que a gente se convencer disso na hora que você pegar qualquer parte são onde que daria algum problema justamente no ponto onde tem a função você tem um salto né mas não tem muito problema não é se você pegou uma partição você sempre pode peguei uma partição tá bom sempre tem uma partição de norma menor do que essa que contém esse ponto menor ou igual a passar então posso pegar partições

que incluam esse ponto aqui tudo bem e esse tempo esse ponto eu posso escolher eu vou escolher os seis dentro de intervalos que não contém esse salto e portanto vou conseguir controlar o valor da soma de um convite sempre o mesmo valor está claro que sempre pode se você tem um ponto de descontinuidade você pode botar esse ponto na competição e fazer a conta seu inclui um ponto na partição que a gente tem certeza que a norma agora é menor antes então ele entrou na idéia do limite lá em nome do partido tem que entender

para zero então se tem um ponto de descontinuidade a gente acredita que ela integrava se tiver dois pontos de descontinuidade c com esses dois pontos na nova partição se tiver três repete dá pra fazer isso sempre estiverem fini né isso já pensa assim estiver infinitos pontos de continuidade da depende aí que está o problema né tem um teorema que caracteriza exatamente quais são as funções integráveis em termos da quantidade de pontos onde ela é descontínua para isso precisa falar alguns outros conceitos que a gente não quer entrar aqui dizer que o conjunto dos pontos de

descontinuidade tem medida nula aí eu tenho falou que a medida o que me dando um zoom que qualquer medida não está no escopo do curso tá mas se a função for descontinuado número finito de pontos com certeza a gente acredita que ela integrava o truque é inclua na partição esses pontos de descontinuidade beleza então vamos ver um exemplo onde de uma função que não é integrável só pra gente sente o drama né então esse é um uma o segundo exemplo uma função que eu não sei desenhar gráficos mas vou escrever que ela é não pegar

fdx como sendo a função característica dos números racionais ou seja ela vale 1 x pertence há que pensar dentro do intervalo 0 1 porque a gente só definiu integral intervalo fechado e vale zero x pertence ao conjunto dos números racionais que estão intervalos ano bom como é o gráfico dessa função não sair não dá para desenhar se você quiser pensar ele é um tipo de um contínuo dinho aqui né assim ficou bom né se você der um tem um monte de pontinhos mas não quer dizer que seja o gráfico porque o que a gente sabe

que dado qualquer número aqui por menor que seja o intervalo que eu abra sempre vai ter um número nacional número irracional dentro desse intervalo também pergunta essa função é uma função integrável está fora da escala aqui né como é que eu posso mostrar que essa função não é integrável para qualquer parte são que você pegar qualquer partido quer dizer o que eu vou dividir o intervalo 0 1 tá se dividir aí eu tenho que escolher o ponto c e dentro de casa sobre o intervalo não é isso eu posso escolher todos os seis por menor

que seja o tamanho da partição vai ser sempre um intervalinho dentro desse intervalo sempre vai ter números racionais números racionais justo ok então a gente combina assim toda vez que alguém de uma partição ser você vem com a partição eu escolho um ponto dentro dos sublevados você escolhe outro ele me deu participou sempre escolho um número racional lá dentro enquanto que vai dar uma soma de riman de acordo com a minha escolha como escolher um número racional o ft-100 vai ser um então vai ser um vezes a soma dos intervalos que você me deu quando

que dá isso estou somando subir intervalos no intervalo 0 1 comprimento vai ser o intervalo total 111 então venha você com a partição que vier eu sempre pego número racional dentro de cada intervalo pra mim a minha soma de mim é sempre um ele sempre escolhe um número irracional quando que vai da soma de irmã dele a cada número irracional soma zero então fica 0 vezes o tamanho dos intervalos o som vai ser zero então independente da paixão que você vier eu escolho 6 de modo que a minha soma demanda sempre um e ele escolhe

soma de riquezas sempre zero é possível existir limite se aproximando de um único valor não é então como o valor da soma o limite das somas demanda depende da escolha dos seis essa função não é uma função integrada então tipicamente funções de integráveis são aquelas que são descontínuos mas não muito em poucos pontos onde poucos pode ser um número infinito temas de medida nula dê um jeito tá bom então se percebe que dizer o conceito de integral é um conceito bem delicado e pior de tudo né a gente está num curso tinha o sindical que

a gente quer calcular como é que se calcula integral então eu te dou uma função efe eu quero calcular essa integral porque eu quero calculasse integral porque de algum jeito ela vai me representar a área de uma função então hoje do jeito que está posto aqui é um limite que é a exceção de casos muito muito muito simples você não consegue calcular nunca quer dizer quando é que você vai saber calcular o limite daquelas somas de rima para uma função que não seja linear talvez é complicado lembra que naquele primeiro dia de aula a gente

fez um exemplo a função x quadrado né peguei a função x quadrado no intervalo 0 1 e tentei calcular o limite das somas de ímã o que eu fiz ali era o valor integral não porque o que eu calculei a sun o limite para um tipo específico de partição e um tipo específico de escolha de seis escolhas sempre acho que o inter vá o extremo esquerdo do intervalo e os intervalos da parte são todos iguais foi bom deixou tentar diminuir arbitrariamente eles de modo que todos sejam iguais sempre pegando os temas que de um terço

depois de muita conta a gente até teve que ver como é que era uma soma dos quadrados ou então eu vejo eu fiz um monte de conta para provar que em um tipo específico de partição com norma tendendo a zero um tipo específico de folha de um terço nada impede de ver um cara em outro canto do mundo pegar outra partição outro número e das sete oitavos e aí que se mostraria que essa função na integrava porque eu sei que aquilo que a gente fez está certo por causa desse problema como a função x quadrado

é uma função continua lá é integrável e portanto todo o limite não importa qual seja a partição que você pegar não importa qual seja a escolha dos seis sempre vai dar a mesma coisa então eu escolher aquela de um terço qualquer outra pessoa em qualquer canto do mundo que pegar qualquer outra partição com qualquer outra escolha de 6 se fizer a conta direito vai dar um terço também mas só por causa disso aqui mas ainda assim aquele caso já deu um certo trabalho foi pegar o x ao cubo vai ser pior vai dar um quarto

se você fizer com o que eu falei que dá um quarto porque eu sei fazer essa conta de um outro jeito então a idéia é a gente tentar mais pra frente te métodos que permitam a gente calcular essas integrais sem precisar olhar para os limites da soma de rima do mesmo jeito que a gente desenvolveu técnicas para calcular derivados sem precisar fazer a conta pelo limite né o derivado era um limite a gente estava levando com regras o meu produto etc a regra da cadeia então a idéia é tentar estabelecer alguma coisa que me permita

computar esse objeto sem precisar olhar para a definição dele é uma coisa bem complicado então antes disso vamos tentar falar o que como é que a gente vai calcular áreas então áreas o que eu quero calculável é o seguinte você tem uma f definida no intervalo a b tá bom chegando em r eu sei que fdx é mário volpi 01 x no seu domínio bom então eu quero calcular eu vou construir uma região chamada de r na região começa com r a região do plano vai ser o conjunto dos meus pontos x e y r

2 tais que x que está entre a e b eo y vai estar entre zero e fdx todo mundo sabe desenhar com essa região o plano se eu te dou o gráfico da função f1 no intervalo a b quem a minha região r são todos os x entrei bem tanto limitado essa faixa vertical estou certo que os simpsons variam de zero até o valor é fixo então para cada x e y que está nessa fatia vai de y igual a zero até então quem quer minha região é exatamente a região delimitada pelos pelas retas x

igual à x igual b y igual a zero y qualquer fixo tá bom então essa figura aqui chamar dr essa região é joão r o que vai ser então em vista do que a gente definiu como sendo integral diria de rima o que a área da região é a integral e até b então aquela soma de que vão se aproximar de um número que eu tô batizando como sendo a área embaixo do gráfico nesse caso quem é essa área em vista dessa propriedade 4 como função é integrável a área total é a área de até

ser mais a área de ctb quem que a área embaixo do gráfico dessa função não existe porque a função integrava tá bom então é claro que a gente precisa aqui que a f seja integral senão esse objeto que não existe bom não sabemos calcular a área de funções que são positivas como é que você calcular e de uma função que não necessariamente é positivo em todos os pontos tá vamos pensar assim suponho que tem uma um gráfico de uma função que assumir valores negativos em certo trecho como é que se vai calcular essa área entre

o gráfico o agora não posso falar sobre o gráfico né entre o gráfico eo eixo x como é que eu posso calcular essa área a área a gente tem que pensar sempre que é uma medida geométrica positiva né tá certo estou falando de área com orientação nem nada então qual é o jeito mais ingênua de deixar tudo isso sempre positivo pega o módulo da função tá então a área embaixo dessa região que vai ser o que integral de até b do módulo de fx a porque essa existe por exemplo se a função f1 é uma

função contínua módulo df é uma função contínua e portanto vai ser integrado também é bom quando você pega um módulo de che de uma função o conjunto de descontinuidades eventualmente diminui certo podia ter um salto na hora que você pega o módulo caso de empatar o set então antes era descontínua virou contínuo o que ela pode deixar de ser um ponto e derivava mas isso não interessa aqui a gente está falando função contínuo tá bom eu posso calcular isso desse jeito como é que vira isso é como é que você pode calcular esse módulo supõe

que esse ponto aqui chamas e esse ponto que chama de como é que eu posso escrever isso em vista da propriedade 4 que estava aqui de dividir eu posso quebrar isso em três sub intervalos não é integral de até cd do módulo de fx mais integral descer até de do módulo df the xx mais integral de de até b do módulo de haxixe dá pra sumir com esses módulos da né no trecho de a até cfd x é sempre um número positivo enquanto que o módulo de fx ele próprio não posso apagar isso aqui tudo

bem entre 1 c e d fx é negativo quem é o módulo de um número negativo - ele então se eu tirar o módulo por um sinal de menos aqui que esse sinal de menos 1 - 1 multiplicando que a terceira propriedade dizia que tem uma constante multiplicando integral apoio fora de si - saiba integral bom e no trecho de de até bem a função positiva de novo então posso o seguinte a pagar um modo é bom essa é a coisa qualquer uma outra situação um pouquinho mais geral ainda isso tá me dando a área

entre quem e quem entre o gráfico da ef o eixo x né eu poderia calcular a área entre dois gráficos então se você tem f e g duas funções integráveis você tem um gráfico da ef aqui tem um gráfico da jec está bom esse é o intervalo o intervalo abeta definido aqui eu tenho então essa área aqui vamos supor que essa aqui é a f e essa aqui a g fazer contra a coroa gené então a área compreendida entre os gráficos essa molécula de dna e nasceu parece uma coisa assim mas tá como é que

o calcularia área entre esses dois gráficos como é que eu posso pensar por exemplo o teste trecho o que essa área estudada é a área maior da função que está por cima - a área da função está por baixo ou seja a diferença entre as duas integrais só que é integral da diferença para aquela propriedade é a diferença dos integrais é igual integral de diferença então nesse trecho a esse pedaço aqui vai corresponder integral de a até esse ponto aqui os clientes e de quem é que está por cima - a que está por baixo

nesse outro trecho intermediário que está por cima - o que está por baixo gêmeos efe mas você consegue controla tudo isso de uma vez só é sempre maior - o menor não é que vai dar para dar uma quantidade sempre positiva então se pensar um pouquinho é claro que isso aqui vai dar isso aqui tá certo quando a f for maior do que a g se apaga o módulo quando a gente for maior do que a f c troca o sinal tudo bem muito cuidado aqui é que é o módulo da diferença e não é

diferente dos módulos a estudar resultados bem distintos o módulo df - e não é o módulo de efe - um modo hoje os advogados entendem melhor opção para sabermos onde se você quiser é isso para não errar é estudar o sinal das duas funções isso dá um sinal de diferença dela para saber qual é o porque na hora que se for abrir esse módulo para calcular concretamente integral isso que vai fazer quando é que você vai saber que isso é positivo positivo sempre é quanto vai saber que isso é igual a fx - de x

ou igual a gêmeos efe você tem que saber os pontos onde um é maior que o outro e vice versa tá bom então tem que fazer essa personalize do sinal da função é firme no g para descobrir quem é o modo