Cálculo I - Aula 32 (3/3) Convergência de integrais impróprias; aproximação de integrais

[Música] 1 vamos tentar estudar a convergência da integral de zero até mais infinito de ao menos x vezes e no x ao quadrado deixa que você acha que acontece com isso converge diverge que a gente pode dizer respeito disso uma alternativa seria qual tentará encontrar primitiva da função tá e calcular o limite é possível você como quer dizer você pode até tentar um pouquinho costa primitiva rapidamente você vai perceber que não vai rolar também então não dá para calcular sua primitiva muito rápido mas eu tenho esse problema na mão eu consigo comparar e se integrando

com alguma coisa que eu sei que conversa de velho que a gente sabe que conversa de velhos tenha que um com elevada x né quando que é integral conversas em somente sexual feminina quiser então eu sei que isso aqui é convergente será que eu consigo mostrar que o integrando dessa é menor que integrando 10 claro né não sei dizer isso aqui converd elevada - x vezes sendo x ao quadrado você quiser um módulo é menor ou igual a elevado - x conversa e portanto o que você pode dizer como é integral do módulo desculpa como

módulo da integral é menor igual que integral do módulo né então um módulo do integral de zero até mais infinito de xv x cene x ao quadrado de x menor igual integral a gente fez essa conta uma vez só que menos né sempre x quadrado de xis ea gente sabe que essa que é convergente aqui o módulo dia - x não precisa nem ser positivo eu sei que essa conversa esse módulo vai convergir portanto um número que está aqui dentro é um número um número infinito de bom a gente consegue sem calcular primitiva saber se

aquela integral de fato é um número não para que isso é bom é bom pra fazer conta direito né você tem uma identidade ou alguma coisa assim que em algum momento está fazendo as contas e aparece isso aqui que você sabe que ou é um número quase infinito então você tem que tomar muito cuidado tem uma expressão envolvendo as integral eu posso trabalhar com ela como sendo um número posso passar para lá pra cá dividir cortar tem que tomar cuidado né eu souber que esse é um número sim senão não né foi por exemplo sei

lá chama aparecer se integrar na tua vida essa não mais apareceu alguma se chama se integrar ao dl em algum momento tesouro essa equação 3 daniel 2 l o que você pode dizer se você sabe que é integral essa 'ele é um é integral que você não conseguiu calcular mas se você sabe que isso é convergente e sabe que esse é um número esse é um número qual é o único número que verifica essa equação 0 tá se você não viu se esse treco convergente e faz a conta pensando é como se fosse um número

se você olha pra isso aqui sabe que ele pertence à rtp implica que o eagle01 né tá bom agora se ela é dado por uma integral e por acaso se integrará divergente que acontece não dá para dizer que vale a 0 não sei que ela divergente quer dizer que ela era infinito ou menos o infinito então tem que tomar muito cuidado concluiu é zero se você sabe que é integral conversa se não converge está concluindo que uma coisa que era infinito deu zero isso a gente vai fazendo alguma coisa séria deve ter algum problema bem

grave errou por infinitos 21 pegar suplentes empresa calcula primitiva de x ao cubo sobre x a quarta mais três de x tá eu quero saber se isso conversa de inveja nesse caso se você pensar um pouquinho você consegue calcular primitiva não consegue chama de o hoquista no denominador derivada vai ser um 4 x 3 que está quase bom em cima então daria para calcular a primitiva mas se falar com preguiça alguma coisa sem como é que faz para você dizer se as integral conversa de verbas sem precisa calcular primitiva pense um pouquinho assim bem intuitivamente

se olhar para isso você acha que convergem diversos sem fazer nenhuma conta deu polêmica quem falou que acha que converge por que você acha que o velho está crescendo mais rápido que o denominador ok esse aqui um sobre x o denominador também cresce mais rápido que o denominador explode com o infinito né então não é não basta só olhar se cresce é importante comparar como ambos crescem né e aí isso é o que quando você pensa desse jeito você tem vontade de chutar que isso que diverge porque qual é a diferença entre os expoentes no

numerador denominador é um é de algum jeito isso aí tem uma cara de um sobre x se tem uma cara de um sobre x dá pra chutar aquela diverge certo então como é que a gente pode fazer isso tem muitas coisas que você pode fazer e algumas delas dão meio errado né por exemplo não poderia tentar escrever essa coisa de dividir em cima embaixo x ao cubo tá seja difícil mas precisa o clube vai ficar com uma coisa do tipo 1 sobre x + 3 sobre o santos ao cubo do acerto essa expressão equivalente a

essa não é que dá pra concluir a partir disso o x é maior do que um tá portanto essa quantidade é positiva né essa quantidade é positivo o denominador é maior do que x e portanto isso aqui é menor do que 1 sobre x tá certo essa afirmação tá esse cara que é positivo eu tô somando uma quantidade positiva neste denominador então vai dar menor está certo isso resolve o problema não porque porque eu concluir que meu integrando é menor do que 1 sobre x então é menor do que uma que diverge menor do que

uma que diverge podia continuar divergindo então eu falei olha você está abaixo de uma que explode o dia continua explodindo exemplo um sobre x está abaixo de 1 sobre raios x que explode nesse intervalo e um sobrinho também vai prevenir - 3 vocês a quarta - 3 já é um outro problema né vai ser uma coisa diferente porque nesse intervalo aquele sinal de menos se conclui que o denominador é maior e aí é certinho você tenha um maior aqui que fosse - por exemplo ele está falando e se fosse menos aqui seria menos em teoria

isso ele matou porque ela é maior do que uma que divergem adverte também tá então essa aqui não foi conclusiva então vou tentar fazer alguma outra coisa né vamos tentar escrever puxa isso como um sobre x na quarta então posso escrever isso aqui como sendo um sobre x vezes um copo cheio x a quarta em cima em baixo vai ficar 1 + 3 sobre x na quarta estou certo né é a mesma expressão tudo bem dividir em cima e embaixo porches a quarta e aqui no numerador ficou 1 sobre o xerez que eu soltei vamos

lá vamos ganhar pra isso que que é isso aqui o x é maior do que 1 então aquela quantidade 3 sobre estes a quarta é sempre positiva que dá pra dizer então que esse número aqui o que ele é conforme x aumenta que eu posso dizer três sobrinhos a quarta é o que é sempre positivo portanto o denominador é sempre maior do que dois portanto se dominar o denominador é limitar por um quarto não chover [Música] põe três aqui evidência se você quiser vou colar qualquer limite a limitação boa a isso um sobre x vezes

1 sobre o mais três sob x da quarta isso aqui é maior do que 1 sobre 4x porque o denominador isso aqui é sempre menor do que 4 diga isso é é que ela pode se aproximar de um sobre isso mas não sabe se é por cima por baixo é esse é o problema então dizer que se aproxima de 1 sobre o xv olha todas elas se aproximam de zero não é quando chegou para infinito então só que uma diversa outra conversa então funciona é é que o que é quase igual né enquanto é o

quase igual né todas elas se fala bom a partir de um certo ponto se o quase igual pra mim for diferença menor do que 1 sobre mil vai ter a partir de um certo ponto todas a diferença não tá todas elas com valor menor do que 1 sobre mim mesmo então a diferença com certeza é que não é bem isso que funciona tá mas quando se escreve isso desse jeito dá certo né quer dizer esse cara vai ser sempre maior do que 1 sobre 4x que a gente pode dizer a respeito de um sobre 4x

divergente ela é maior do que diverte de velho x 3 sobre x 4 mais três uma maior do que 1 sobre quadro muito bem a queixa não é uma função divergente vamos passar próximo tópico vai estudar bastante esse tipo de coisa é bom essas majorações está um carro com quatro vai ser bastante para você estudar a convergência de séries vai precisar bastante ok é só fazer o último tópico do curso que acho que é legal a gente viu que tem várias funções que você não consegue calcular a primitiva você sabe que é primitiva existe mas

não consegue ao colo exemplo clássico elevado x quadrado tá então o que a gente pode fazer para tentar calcular a área embaixo de um gráfico que o fundo de uma função que você não determina primitiva né gente pode aproximar aproximando integrais definido não consegue fazer isso de várias maneiras uma delas qual é uma ferramenta boa que a gente obteve ao longo do curso e para aproximar gráficos de funções por lá me de taylor é pois um perto de um ponto pelo menos se conseguiu polinômios que aproxima bem a função ok e isso ajuda a gente

a cálculo integral ajuda é porque se você tem uma função complicada e se tem um polinômios que aproxima essa função se por alguma razão você conseguir controlar você sabe calcular embaixo do gráfico do poli nome se você sabe calcular embaixo do gráfico do poli nome você conseguir mostrar que o erro está contaminado quer dizer o erro ao aproximar a área embaixo do gráfico da f1 pelo aproximando isso pelo ar embaixo do gráfico do poli nome de taylor da efe em algum ponto se você tiver algum controle sobre esse erro da áfrica bom né tá mais

ou menos isso que a gente vai tentar fazer agora então só lembrar que dizer se você tem uma função definida no intervalo aberto por assim de classe c n mais um que isso quer dizer que eu posso levar ela n mais uma vezes é derivada de ordem mais um é uma função com gema e você tem dois pontos a e b pertencentes à aí a gente pode escrever a nossa fdx como sendo que o poli nome de teima em volta de um ponto x 0 qualquer após pensar que o x10 é pra começar mas um

erro de ordem n todo mundo lembra como era como calculava o nome de temer não é como é calculada a isso você pegava as derivadas da função f1 x x 6 x 0 levado àquela ordem do derivado então se for escrever isso vai virar soma pra cá indo de 0 teny da enésima derivada de um ponto x 0 sobre ele fatorial x-men utilizar o elevador n mas o erro que quer o erro o resto da igreja como é que era era a derivada de ordem e mais um em algum ponto x barra x barra algum

número 3 x 0 x 1 / e mais um fator yao vezes x - fizeram mais um então tem uma igualdade entre duas funções né eu consigo escrever à efe com um polinômios mais alguma coisa tá então isso implica pra gente o que se você for calcular a integral de até b fxx eu posso escrever isso como sendo integral de até b do poli nome de temer mais integral do resto isso aqui é razoável isso aqui é integrável eu posso pensar que é uma função integrada ou por nome é com certeza isso aqui é uma

função integrada com certeza eu peguei com folga a hipótese de que a função de classe e mais um então esse cara que é uma função contínua lembrando que o x barra depende do x que dá uma não integrando continuou se quiser pensar de outra maneira essa integrável isso é integrável então isso aqui também tem que ser integral desse a diferença dos dois dessa forma mais integral de até b d se você passar pro lado de rock que se conclui que a diferença é entrar embaixo do gráfico da ef e área embaixo do gráfico do povo

em nome de taylor é é a área embaixo do gráfico da função erro se eu for pequeno se espera que essa área seja pequena portanto esse cara vai ser uma boa aproximação para essa quantidade vamos tentar escrever por extenso algumas coisas como é que fica aquilo ali a gente sabe calcular a integral do plano de taylor vamos tentar como é que se integra à integral à integra o plano de taylor isso aqui é uma soma não é integral da soma soma dos integrais isso aqui que é o fn no ponto x 0 o número dele

por fora do integral o ímã e fatorial também pela forma integral então essa primitiva primitiva de cada uma dessas parcelas nem sei o que essa constante forma primitiva disso a gente sabe qual a primitiva de x men x 0 levado n sabe somar um expoente dividir então isso aqui vai virar a soma para caindo de zero até n da enésima derivada no ponto x 0 aí tem o n fatorial e quando o qual a primitiva vai sair um e mais um denominador ele mais um tutorial vezes x 6 x 0 calculado de até b mais

a integral do resto aqui tem que tomar um cuidado né na hora que se inscreve a forma do resto quando for calcula a integral desse cara isso aqui pode pular fora do integral do derivado da concórdia no pontes barra não pula forma integral porque x barra depende de chita certo então ele não é esse cara que não é constante conforme x varia o x barra vai variando junto então ele não poupa forma integral aqui pulou porque porque é derivada calculada no ponte sa também então a gente tem uma coisa desse tipo ou seja se de

algum jeito conseguiu mostrar que isso aqui é pequeno eu consigo obter uma aproximação para esse valor calculado isso aqui vamos fazer um exemplo diga aqui não fica ainda mais um porque vamos lá vamos voltar aqui que se calcula primitiva dessa parcela como é que fica essa constante por lá fora e tem um e faturar um denominador quem a primitiva desse sujeito x - fizeram levado ainda mais um sobre animais um esse é mais um também sai ou fica aí mais um vez dizem fatorial chame mais um futuro bom ok a não ver um exemplo eu

quero tentar descobrir quanto que é a área embaixo da função estes quadrado de zero até um com precisão 10 a menos 5 10 -5 como é que eu vou fazer isso que quer dizer essa coisa que eu quero que a diferença entre o valor exato valor aproximado seja menor do que 10 menos 5 ou seja eu quero que isso aqui eu quero descobrir qual é o m que torna esse número menor do que 10 menos cinco então vamos lá a gente lembra como era o codinome de taylor do elevado x como era o nome de

taylor do elevador x era um mais x + x ao quadrado sobre dois fatores ao x antena1 fatorial não é isso essa coisa aqui né então o valor da função - o codinome de tema a gente viu que em um módulo era menor do que o erro quem é o erro nesse caso vamos escrever que rapidinho vai ser elevada x barra sobre ele mais um tutorial tá certo x elevado a aeni mas o qual intervalo de variação do meu x quanto o interessado em cálculo integral do zero até 11 x varia de 0 até 1

e portanto esse carinho aqui quanto que é elevada x barra com certeza um número x barra tá em 301 então isso aqui no máximo três né esse cara que é no máximo três ele é mais um fator yao x elevado em mais um tá eu quero calcular o polônio eu quero cálculo integral dia e levado à china de elevar x ao quadrado e levar a china ao quadrado né então tem uma coisa que como é que a gente pode fazer esse cara se eu sei o por nome do elevador x como é que o cálculo

foi o nome do elevado x ao quadrado formalmente o que teria que fazer cálculos derivadas de elevadores ao quadrado né agora vamos pensar é o xis está variando de zero até 10 até você concorda que x ao quadrado é menor do que x e pra todo x entre zero e um o melhor pra todo y en 301 existe um x hawks ao quadrado é igual a y então você deixa eu trocar o xx ao quadrado em toda essa forma essa forma vale pra todos x entre 0 e 1 eu pego xx ao quadrado vai estar

em 2011 portanto a fórmula vale pra ele também esse é um jeito de economizar na hora de calcular por um dia inteiro posso trocar todos os xx ao quadrado que está certo aí aqui vai virar quadrado vai ficar 2 em mais dois também então o que a gente pode fazer com isso precisava calculará integral desse cara comparando com integral desse cara que dá pra dizer que o integral o seu olhar para o módulo da integral da diferença dos caras vai ser menor igual e integral desse módulo é integral desse módulo menor igual que as integral

tá então vamos calcular então esse aqui seria o erro de ordem 2 m de x enquanto que é integral de zero até um de 3 x 2 em mais dois sobre ele mais um fator real sabendo calcular sua primitiva o 3m +1 fatorial sai fica x elevador dois animais 3 né vai ficar 3 sobre dois animais 3m +1 fatorial e esse cara x elevado e mais três de zero até um dá isso aí mesmo tá bom o que eu queria que esse cara fosse menor do que o menor do que 10 a quinta na menor

igual bom que eu posso fazer então descobrir o valor do n-va chutando eu já fiz essa conta tá isso vai te dar que o enem tem que ser pelo menos sete ou seja se eu quiser obter uma aproximação para esse valor com o codinome de taylor da exponencial centrado na origem eu vou ter que calcular até o enigma ou a 7 que nesse caso vai me dar um pulo no degrau 14 então o que a gente pode dizer eu fiz todas as suas contas aí tá a integral de zero até um de elevadas ao quadrado

de x posso dizer que aproximadamente a integral de zero até 11 do pp 14 x nome de taylor degrau 14 do elevado de sol quadrado deixe esse aproximadamente quer dizer o quê que a diferença entre esses valores só depois da quinta causa desse não sabemos ao colégio aqui sim quanto é o 14 escrever é um mais x quadrado x a quarta sobre dois fatores ao x a sexta sobre três tutorial x oitavas sobre qual fatorial x a décima sobre cinco fatores ao x a 12 sobre o sensorial x a 14 sobre sete fatorial deixe se

sabe calcular primitiva de cada um desses soma um dos points dividir pelo novo expoente então quanto que vai dar primitiva desse cara x x de zero até um dá um motivo desse x ao cubo sobre três disseram ter um um terço primitiva desse x a quinta sobre cinco vezes dois fatores ao 1 sobre 10 esse xis a sétima sobre sete vezes três fatores ao site v3 autorial da a42 sobre 42 x a nona sobre nove vezes quatro fatores ao 9 e 24 216 x a 11 sobre 11 e 5 fatorial 1.200 mais 120 mil 321

sobre 1.320 x a 13 sobre três vezes seis fatores ao aí eu fiz a conta aqui tá é 9360 e she's a 15 sobre 15 vezes sete fatorial fez também dá setenta e cinco mil seiscentos e se soma a todas essas infrações ver claro que não vai fazer isso a mão né idéia é botar um computador para fazer isso é que dá 1,40 e ser mais ou menos tá 1.46 265 isso ou seja tem cinco casas que dá pra garantir para vocês é que a área embaixo de elevadores quadrado de zero até um é isso

aqui eventualmente com uma diferença da quinta casa decimal para trás bom você consegue obter esses valores numericamente isso é importante a gente não consegue muitas funções importantes para aplicações práticas são dadas por integrais que você não consegue álcool permitido então isso é uma coisa que tomar cuidado tá tem uma outra coisinha assim que a gente pode usar uma técnica parecida com essa para você descobrir o nome de taylor sem ter que fazer todas as contas também né quero descobrir quem é o polônio de taylor do arco tangente de x men vai fazer você vai ficar

derivando tangente dá muita conta né a primeira a 1 sobre o mainz x quadrado ok a segunda você vai derivar isso vai aparecer uma coisa numerador quando for deriva' a terceira vez vai ter dois vai ser por cento e 2 por nomes aí vai ficando horrível tá então se vocês quiserem na aula que vem na segunda feira o gasto uns 10 15 minutinhos mostrando como é que a gente pode fazer isso com arco tangente e depois se for pode fazer com o marítimo com o que quiser tá bom tá na hora que vem a gente

vê isso já começa a discutir os exercícios da lista que já fizeram todos né a gente só vê o que aconteceu não está brigado bom fim de semana para todos e vai brasil [Música]