Cálculo I - Aula 6 (3/3) Derivadas: definição, propriedades e alguns primeiros exemplos."

[Música] vamos calcular uma derivada de um ponto levado a famosa que conhece desta escola vamos calcular ela pra ver direitinho que é o que é aquela regra do tombo um outro exemplo tá então se alguém te perguntar em qualquer situação que se tiver é verdade que toda a função contínua é derivava véu não é verdade que toda função da elevada é contínuo sim há então vamos pegar como exemplo essa função aqui ó fx guaches e levado à eni e vou pegar um ponto essa função definida para todo todo ponto então vou calcular derivada de um

ponto genérico que a gente faz essa copa o limite que eu tenho que olhar limite quando x tende a pé de quem fx - fdp x 1 - p que em princípio é sempre uma determinação não é se a função efe for contínuo fdx tem de pagar quanto se é contínua fx tem dpf de pena então o numerador vai atender sempre para zero o denominador também então quando você tem uma função continuar isso aí dá uma determinação daquele tipo 0 sobre zero se a f é contínua fdx tem de pagar quanto na fp então o

numerador tende para zero então o limite que você tem uma derivada se a função tiver chances e derivava ou seja só por pelo menos contínua sempre vai dar uma coisa do tipo 0 sobre 0 o que aconteceu aqui né nesse caso o que a gente vai ter limite quando x tende a perder can x a novembro/2010 aquele exercício da faturação você consegue tirar um fator x - p dessa expressão na então isso aqui vai ser o que admite quando x tende a perder can x - p embaixo eu vou ter um x - pt também

o que fica aqui x ainda menos um efeito escrever com reticências talvez me perdoa vou ficar com somatória com o jeans x aí - 1 qual é a próxima parcela x aí menos 2 vezes p1 por mais uma chiça e nem menos três só pra todo mundo perceber como é que era coisa né você começa com um x a eni - 1 e vai tirando potências dele doando para o pp e termina quando x vezes muito vamos apertar isso aqui um pouquinho x elevado ainda menos dois que a última parcela é menos um perfeito tudo

bem que dá pra fazer agora x tende apenas nunca é igual à p quando esses caras embora da expressão tá e agora o que sobrou ali qual é a natureza da expressão também de parentes é um fenômeno e por nomes são funções contínuas como é cálculo do limite não sou um contínuo substituir o valor da função no pão então vou te pn -1 aqui - onde novo né porque tem menos dois com esse aqpa ele - vão todas as parcelas são iguais a pn -1 e quantas você tem você pode pensar que o x começou

com ele - 1 e para 10 então fui de zero tênis - ontem ele parcelas todas iguais há aquele valor então isso aqui é e ene vezes então funciona bem aquela alegria que se aprendeu na escola quando estava fazendo físico né vai derivar 1 polônia que você faz toma o expoente tirar um e substitui ponto tudo bem então quem é derivada de n vezes pn -1 bom aí qualquer coisa enorme só fazendo assim todos né porque é tomada por isso a gente ainda precisa ver como é que funcionam as regras de derivação não é porque

a derivação de uma soma é a soma das levadas por que é e que o produto limite do produto é o produto dos limites ea derivado do produto não necessariamente é o produto dos derivados na verdade não é mesmo a gente vai ter uma fórmula para isso tá eu quero fazer isso na aula que vem mas antes vamos fazer mais alguns exemplos tá vamos pegar o módulo de janeiro vão pegar derivadas pode ser esse exemplo aqui tá bom x ao quadrado vezes sendo de um sobre x vão pegar a função fdx como sendo x ao

quadrado vezes sendo de um sobre x claramente praxes diferente do zero tudo bem eu vou pegar vou colocar um número l ac x gonzada então nosso exercício vai ser o primeiro a gente quer cautela derivada da função em qual ponto você acha que eu quero calculado elevada função no ponto foi igual a zero então para saber a derivada no ponto pegou a 0 que saber o valor da função no ponto zero e para ela ter chance de ser derivava o que possa acontecer e contínua então a primeira pergunta que a gente quer é qual é

o valor de l que deixa a função continua em perigo a 0 então l e r talk f é contínua em perigo a 0 como é que a gente faz essa conta como eu determino l col isso qual é o valor que a função tem que ter no ponto o limite né então l para que a f seja contínuo o valor de l caso exista é o limite quando igual a zero e aqui é interessante quanto vale fx porque aqui é importante chama a atenção disso né quando x tende a zero ele é próximo de

zero mas nunca é igual a zero então aqui eu tô vendo x diferente do 0 x diferente 0 f tem essa cara tá pensando que vai ser limite quando x tende para zero de quem x ao quadrado existe um só deixei tudo bem quanto dá esse limite aqui a gente vai usar o aquele corolário do tema do confronto tem que dar um número essa função aqui é uma função que limitada sendo de qualquer coisa sempre menos 11 x ao quadrado tende para quanto 0 uma função limitada vez uma que tende para zero tem me utilizado

portanto se eu quiser que a função seja contínua o valor dela no 0 a 0 tá bom a vamos calcular a derivada no ponto pegou a 0 pra esse valor de l caso exista né pergunta existe o número é filhinho de zero ou seja qual é o coeficiente angular do que a gente vai chamar de reta tangente dessa força então vamos lá é que dá pra fazer isso aqui se existir vai ter que ser que o limite quando x tem de pagar p d fdx - fdp sob x - também x tende a zero nunca

é igual a zero portanto fdx vale x quadrado vezes sendo de um sobre x certo quanto vale a 0 então vamos escrever deixar aqui escrito na l igual a zero igual a zero esse é o valor que a função tem que ter no ponto pra ter chance de ser inviável - 0 sobre o xv - a que dá pra fazer agora tudo bem dá pra cortar xx a gente vai ter limite quando x tem de provar 0 de x 1 sobre o quanto a esse limite zero a zero e essa que é limitado portanto a

função que ela função f é derivava eu sim e no ponto zero derivada dela vale zero no momento a gente não tem condições de calcular seu derivado em nenhum outro ponto apesar de elas existirem que isso quer dizer que o coeficiente angular da reta tangente a 0 nesse ponto ou seja a reta tangente é uma reta horizontal como ela passa pelo ponto 00 próprio eixo x se você tentar fazer o gráfico lembra que a gente fez na aula passada o da xv centro de um sobre x né ii módulo era menor do que x aquela

ficar menor do que x ao quadrado então ela tá baixo dessa parábola e assim uma dessas ela tinha aquele comportamento oscilatório e aqui do outro lado bom tem uma simetria aí então nesse ponto o seu decreto que o valor da função é zero a função é sim derivava reta tangente é uma reta horizontal ela chega ali ela faça pelos 10 de maneira só naquele ponto é isso quando se fala da reta gente fala é tanta gente no ponto em questão perfeito tá veja o que acontece se em vez de x quadrado eu tivesse começado com

um xis aqui o l seria zero tudo bem na hora que eu fosse calculado derivado aquilo que acontecer aqui está com um x em primeiro grau o que sobrar nesse limite só isso aqui né pergunta esse limite existe quando se estende para 0 estende para 0 61 sobre x a gente viu como era o gráfico então a função que é delimitada pelas retas bissectriz não tem derivada no ponto é contínua mas não tem levado essa aqui é contínua e é derivado se você aumenta o grau desse polinômios que amortiza a onda se torna uma função

mais bem comportadinho tentar calcular derivada do oceano e do concelho em calcular derivada num ponto pertencente à r qualquer tá nesse caso aqui é melhor usar o limite não x tendendo para p mas o limite h tendendo para zero vou escrever ea gente vai ver porque tá então quero calcular é filha de p d que é fininha dp limite quando a gata em frança 0 de fdp mais h - fdp sobre a garrafa tudo bem é aquele limite alternativo que eu tinha escrito como a observação que isso aqui vai ficar nesse caso concreto limite quando

a gravar a 0 cena de ter mais h - cndp só pegar um certo porque esse é melhor do que o outro porque a gente sabe abrir sendo de ter mais h e outra ficará conselho de x - sendo dp sobre x - p ia ter muito para ondina o que dizer tem né dessa forma que o primeiro tiro quem qual função é seu o jornal i se só isso aqui isso aqui num quer dizer para cada valor de hc pode pensar que é uma função que depende de h é isso que está pensando isso

aqui como uma função de h não está definido no hagah igual a zero tá um posso calcular uma gaiola 0 na verdade o valor dela quando agassi aproxima de zero é o que a gente chama de derivada da função seno no ponto de algum jeito eu tenho que ter é eliminar sem determinação qual é determinação quando h tende para zero como senão uma função contínua já vimos isso aqui vou ficar com uma coisa senão de uma coisa que tem de pagar p - centro de p&d para zero em baixo projeto então não dá pra fazer

vou ter que trabalhar na expressão para eliminar essa determinação a itaquá então o que a gente faz abrindo a gente vai ter que ser no dp o centro de h mais 100 de agave esse conselho dp tá certo - sendo dp tudo sobre o galo vou arrumar essa expressão em duas parcelas linhas diga o odeia porque eu errei aqui é h igual à 0h tendendo a zero tá ligado então eu vou separar essa expressão em duas parcelas uma que eu sei lidar rapidamente a outra que eu vou ter que trabalhar um pouquinho bom isso aqui

vai ser limite quando a gata band para zero a iaa gente tem cnh sobre h esse aqui é bom ver se consigo dp bom gente sabe né mas há outra que contempla tudo o que sobrou que vai ser o que dá por um selo em evidência né então escrevi isso aqui como sendo cmdp conselho de h - um sobre a garra das duas parcelas quebrando emitir em duas parcelas sabe qual o limite de alguma delas na primeira você sabe né enquanto que é cena de hagar sobre h quando a garrafa para 01 e então a

primeira parcela tem de acontecer no dp a segunda não sei por que eu vou ter ainda tem aqui 10 sobre zero de certa maneira então vou ter que trabalhar um pouquinho para garantir o que acontece com essa segunda parcela e eliminar o problema de uma vez o que acontece na prática vou isso aqui é zero tá esse limite a 0 então vamos admitir faço a conta aqui do lado já tá então esse cara tende para 1 esse aqui tem de provar 0 aguarda 30 segundos a gente vai ver por quê então como a primeira parcela

tende para 1 vezes cosseno dp oceano dp ea segunda 0 então isso aqui vai ser o conselho de mim então que a gente mostrou depois que fizer essa conta aqui que é derivada do ce no um ponto é conselho naquele ponto tá bom vamos fazer essa conta que a parte né justifica essa passagem e também já é mais uma um truquezinho se ganhar o seu arsenal de ferramentas como a gente quer calcular limite quando a garrafa 0 de quem você não joga - um sobre a em cima a gente tem uma coisa tendendo para zero

em baixo também vamos brigar um pouco o que a gente conhece com treinou métricas só cena e cosseno menos um é alguma coisa tratável conselho ao quadrado - você sabe o que é dá pra fazer isso aqui virar com sinal quadrado - um cult clicando em cima e embaixo por concelhos de aguiar mais um tá isso aqui vai ser você não joga - um sobre a garra é multiplica em cima em baixo por concelhos de aguiar mais 1 sobre o santos jogar mais um tá isso vai me dar limite a gata em 60 coocenal quadrado

dh - um sobre agarrou isso aqui tá certo enquanto que o ecossistema ao quadrado menos um não né 1 - coocenal quadrado é que se não quadrado então isso é menos senão quadrado que vai ser - senão quadrado dh sobre h vezes 1 sobre o cnj mesmo olha aqui tem um sinal quadrado eu vou posso escrever isso aqui é assim se eu quiser tudo bem que a gente sabe quando a garrafa para zerar a esse fator vai pra um esse fator vai pra 0 e esse meio cosseno de 0 11 então fica uma coisa um

verde 0 vezes meio que já era bom há porque continuar o quadrado dh - um é - e no quadrado não é então eu faturei porquê porque como tinha 1h qui eu quis deixar esse cara pronto para usar fundamental que a gente conhece a única ferramenta que a gente tem tá bom então com isso a gente tem direitinho que é derivada do senado num ponto o conselho naquele ponto enquanto que é derivada do concelho num ponto vai ser - sendo né e de onde segue isso numa conta totalmente análogo vamos fazer agora a gente tem

fdx de x temos um ponto pertencente à r qualquer como é que vai fazer derivada vamos calcular é filhinha dp vai ser limite quando a gata band para 0h - a edp só pegar nesse caso vai ficar quanto limite quando a gata band para zero cosseno dp mais h - conselho dp sobre a garrafa e repete a mesma coisa bem do ar só do concelho na cim vai ficar limite h tendendo a zero conselho de pico sendo dh - cena de pc no dh e aí a gente já sabe o que vai acontecer né o

cndp sobre a garrafa é bom arrumando tudo aqui isso vai ser limite quando h tende para zero de quem a menos sendo dp você não joga sobre h mais cosseno dp conselho de h - um sobre h podemos analisar tudo aqui né essa parcela é que a gente acabou de fazer exatamente quando a gata band para 0 isso aqui vai para zero esse aqui tende a um tal ficar - sendo dp vezes 10 - o derivado do concelho num ponto é - sendo aquele ponto a havan mundo encerrar por aqui e na próxima aula que

a gente vai fazer o seguinte vamos a gente já sabe deriva' polinômios monomes né vamos levar monomes e as funções trigonométricas básicas que seria bom a gente saber deriva' somas produtos compostas e conscientes dessas funções então na próxima aula a gente começa em tentando estabelecer propriedades boa sobre a qualidade da aproximação que a reta tangente te dá e introduzir já começou a fazer as regras de derivação para você saber ser capaz de pegar qualquer função na sua frente que seja por um nome ao outro econométrica combinações disso deriva à vontade tá bom obrigado bom fim

de semana pra vocês e salt