Cálculo I - Aula 8 (3/3) Notações e Derivadas de ordem superior

a jóia é deixou só introduzir uma outra coisinha que são as notações para derivados né quando você tem uma função efe derivava o que é derivada no ponto aquele limite quando xistem properties - fdp sobre x - bené a gente estava escrevendo isso como sendo efe linha dp limite quando x tende a p essa anotação índica em f linha dp é uma anotação que é atribuída ao nilton tá aí tem todo um contexto histórico a gente descobrir quem fez primeiro se foi paralelo etc mas simultaneamente provavelmente a gente não tava lá pra ver mas labmis

desenvolveu uma teoria muito parecida com essa na alemanha ele usava uma anotação um pouco diferente pra a mesma idéia era a seguinte quer dizer se você tem y é igual a fdx ele representava derivada df dessa maneira como sendo de y dx no ponto p ta o que era isso grosso modo na motocicleta na linguagem de hoje era essa idéia aqui é fdp mais delta x - a pessoa está ou seja bem parecido com aquele limite quando a garrafa para 0 para o derivado tá então isso aqui é a notação para o mesmo objeto atribuída

ao lives lá na alemanha mais ou menos na mesma época do nilton tá bom então a gente pode escrever assim às vezes você encontra desse jeito de y the xx quando x é igual à p os livros de física normalmente aparece essa notação porque na física é interessante interpretar derivada como inconsciente diferencial entre pequenos incrementos no valor de y x comparado com pequenos incrementos na variável x certo então como é que ficam por exemplo as regras de derivação com anotação do início fica muito bom assim é uma coisa esquisita mas fica fácil de lembrar né

então por exemplo você vai derivar a função é filmagem no ponto x golpe isso a gente escreve fdx no ponto x golpe mas dg peixes no contínuo que está escrito aqui que é derivada da soma soma dos derivados de maneira nada se inscrevem do produto não é df vezes gbx o que é de fdx no ponto pê vezes gdp mais fdp vezes de gbx no ponto pê ó que o mais legal é a regra da cadeia como é que ficaria a regra da cadeia na notação de live então sei lá se você tem x tem

uma função y igual à efe de um eu poderia tentar derivar como o depende de che cf depende de um eu poderia pensar que heath depende de x diretamente né então como é que você escreve por exemplo que é de y e x 1 ponto x golpe como é que seria a regra da cadeia na notação do nilton como é que a gente deriva quem é y e x ef bola já calculado em xisto acerto então quem seria derivada de y em relação à x x que a gente está acostumado já nessa atuação do árbitro

que como é que eu poderia escrever isso é derivada da efe na variável gtx que é o df eo tá no ponto 1 igual a gdp vezes deu de x ef linha de gt x no ponto gdp vezes g linha de chips no pontes golpe bom então fica uma coisa meio milênio néel isso aqui se você quiser pensar poderia ser o tfd x também então de fdx email que ninguém está prestando muita atenção nisso mais meios e corta se deu o ok então se você tem uma composta de três funções né em que a derivada

a dirpf bola gwh é de fdg vezes dg idh-d hdx isso tá bom então uma anotação do ônibus fica uma coisa bem fácil de lembrar a regra da cadeia você quer escrever na derivação implícita por exemplo se você tem a então comentário pergunta dele é como é que faria com anotações lines na derivação implícita não se você tem por exemplo a equação y ao tubo mais y igual x quer um exemplo anterior eu tô pensando que o y depende da variável x né então isso aqui você pode escrever como sendo 3 y ao quadrado de

y dx no ponto x golpe tá mais de y dx bom mesma coisa muito bem a vamos falar de derivados de ordem superior o que é a derivada segunda derivado terceira etc só pra gente já tem essa ferramenta na mão principalmente porque seja usado isso muito nos cursos da física já privadas de ordem superior depois a gente vai dar a interpretações para segunda derivada primeira derivada e elas vão ser ferramentas muito úteis para estudar o comportamento da função em si então vamos ver o que a gente sabe fazer se você tem uma função efe de

um certo domínio dentro dos números reais em valores reais e tem essa regra que para cada x associa o único valor fdx em cada ponto pê né então se você tem um pertencente ao domínio da f1 ea f for derivavam nesse ponto vamos supor que ela é terrível em todos os pontos do domínio dela por exemplo se você tem um ponto no domínio eu sei calcular é fininha dp que limite o então não sei como você consegue o que é lei isso mais para cada ponto p eu associo esse número a filhinha dp você concorda

que isso é uma nova função para cada número x eu associei o valor do derivado naquele ponto x então eu vou ter o que a gente chama de função derivada da ef definida um domínio eventualmente menor que o da f1 né se assim não for deriva em todos os pontos de evacuação existe nos pontos onde levava né então eu vou ter uma regra que para cada x associa o número é fininha de x isso é uma função na nova função que eu posso perguntar sobre essa função posso perguntar se ela é contínua célere vável e

70 então pergunta são é fininha é contínua a linha é derivava bom se ela for derivava eu posso falar na derivada da derivada da o que que é isso a segunda teria levado né então eu posso olhar para esse objeto aqui vou chamar df duas linhas dp o que é isso a derivada da função é fininha no ponto p o que é isso formalmente limite da linha de x - isso aqui é a segunda derivada de fp e para cada ponto p eu tenho um número efe duas linhas dp também produz uma função para cada

x ou se o número efe duas linhas de x podia perguntar cf duas linhas é contínuo e derivava se for derivavam quem é derivada da segunda derivada da terceira deriva da f3 linhas e podia repetidas perguntas eu podia ficar tentando calcular derivadas de ordem superior a primeira arbitrariamente pode ser que pode desistir vamos ver um exemplo seria a função original que seria interpretação desse número não é o que ele médio que o fmi linha média ele te dá o coeficiente angular da reta no ponto p ta certo o que o f duas linhas vai medir

a inclinação do coeficiente angular da derivada no ponto p o que a primeira derivada médico que é derivada média enquanto varia uma função então o efe duas linhas de alguma maneira está medindo quanto varia filhinha então está te dando o quanto varia o coeficiente angular da reta tangente de um ponto para o outro tá mais pra frente a gente vai ver que esse número aqui tem a ver com a concavidade o quanto gráfico se curva tá então por exemplo número que for positivo vai querer dizer que o gráfico de alguma maneira se curva para cima

foi negativo para baixo certo então a gente vai estudar isso com todo o detalhe mais lá na frente com um calma né não pegar um exemplo pega essa função aqui ó fdx é igual à x ao quadrado se x é menor do que 1 e ela vale x x por marc gual que um presente uma função para cada valor de x eu sei dizer exatamente quanto vale é fixo que o gráfico desse cara é uma cola tremenda entre um pedaço de paraíso em uma semi reta vai ser uma coisa mais ou menos assim né x

menor do que um evento como x quadrado aqui e depois ele vem com uma reta y x 1 vai ser derivado dessa parte da função pergunta como é que é a função efe ela é contínua como é que eu faço pra vc é contínuo x por estritamente menor do que 1 a 1 polinômios contínuo x for estritamente maior do que 1 é um outro por nome de grau 1 também é continua então para todos x diferente de um essa função é contínua antes de uma parábola depois numa reta onde que daria alguma dúvida exatamente no

ponto x igual a 1 como é que eu faço para testar continuidade no ponto x igual a 1 quando que é contínuo se o valor no ponto foi igual ao limite então eu tenho que ver quanto o limite dessa função quando x tem a 1 que acontece quando se estende a 1 depende pela direita pela esquerda em princípio têm comportamentos diferentes quando se estende a 1 pela esquerda ela tem uma cara de x ao quadrado tende para quando a 1 quando se estendiam pela direita ela é y igual à x também entende para um então

os dois limites aos heróis existem e são iguais a 1 qual o valor da função no pontes igual a 1 111 e também então como os limites alterados são iguais o limite da função existe no ponto e ele é exatamente o valor da função então com certeza efe e contínua é bom porque o limite quando se estende para onde f x a igual é o valor da função pergunta essa função é derivavam no ponto x igual a 1 o que eu preciso fazer olhar o limite da derivada quem seria essa linha de um limite quando

x tende para um de fdx - f de 11 sobre x - um dá para calcular isso aqui direto não é porque quando se estende para 1 pela esquerda ou pela direita o comportamento da função é distinto então preciso separar em dois limites laterais tá bom então vamos calcular primeiramente o limite quando x tem de ir pra um pela esquerda jeff x - é de 11 sobre estes menos um nesse caso quanto vale esta coisa limite quando se estende para um fdx tendendo a um pela esquerda quer dizer que os x é um número menor

do que 1 cx é menor do que 1 f xx ao quadrado tá eu sei que vai dar x ao quadrado - um sobre x + 1 roupas -1 quando x é diferente de um agente fattoria cancela sobram x mais um aqui se limite é 2 tudo bem quando a gente tem x tendendo a um pela direita como é que fica essa coisa fdx vale x né tá certo você quer ver seu limite quando x vai a um pela direita de x - um sobre estes - não isso é quanto um que eu posso dizer

neste caso que a função não é derivava porquê porque os limites alteração diferentes domínios alterar essa diferença função não existe bom e no que isso se reflete na reta tangente por um lado tende a ter coeficiente angular do yci por outro lado tendem a ter coeficiente angular 11 [Música] quem é a f linha vinculada à guerra pé eu posso pensar na função da elevada aqui nos outros pontos num ponto qualquer que não seja pontes igual após a alcoa derivada da função também né quando o que vale é derivada efe linha de x x por estritamente

menor do que 1 o comportamento da função é caxias ao quadrado né então se eu pegar um número menor do que 1 e foi campeão ao limite do derivado me interessa o comportamento perto desse ponto então é um x ao quadrado enquanto é derivada da função x ao quadrado em qualquer ponto duas vezes o valor do ponto então se o x for menor do que 1 com certeza a função é derivava o valor do derivado de 2 x 1 x foi estritamente maior do que um mau comportamento da função fx guaches e eu estou interessado

no limite perto desse ponto então é só para olhar pra função fx guaches mesmo quando é derivada dessa função desse ponto um valium quando x estritamente maior que 1 e essa conta que a gente fez aqui mostrou que ela não é derivava ou no ponto x igual portanto eu tenho uma função definida em toda reta mas a sua função primeira derivada está definida somente x maior que 1 x menor que uma tem um furo no domingo na comarca é o gráfico dessa função o ponto aqui vai ter uma bolinha aberta não é com esse gosto

de você você vai ter 2 x 1 certo e depois aquela não está definida gosto mais do que uma constante gol certo o papa uma metade de 2011 dá pra tentar calcular efe duas linhas onde eu posso querer deriva' a filhinha os pontos do seu domínio ou seja faz sentido perguntar quem efe duas linhas no ponto x igual a 1 não há então quem seria efe duas linhas x for menor do que um vôo para a função 2x à deriva de dois né e praxes maior do que um derivado da função constante a 0 e

no ponto x igual a gente já sabia que não podia nem perguntar a função está definida então como é que o gráfico dessa função ela é constante igual a 2 o advogado também não está definida no ponto desigual se eu quisesse fazer a terceira derivado que é constante igual a zero até o ponto x igual a uma aberta num e constante igual a zero depois de igual diga a primeira dedicada a essas duas funções de down é tanta gente que não eu só tenho uma função aqui não tem a derivada é uma função que é

dada por duas regras para intervalo os diferentes a primeira derivada da função vai te da reta o coeficiente angular da reta tangente a segunda derivada por enquanto ela não conta nenhuma informação pra gente mas ela depois a gente vai ver que ela vai ter a ver com a curvatura que o gráfico tem né por exemplo nesse caso a segunda derivada é sempre positiva né praxes menor do que 1 isso representa representado no fato de que esse gráfico tem uma concavidade pra cima mas isso a gente vai ver depois tá depende de estudar uma coisa que

uma turma do valor médio tudo mais perigosa é se ela for igual a zero em todos os pontos só vai ser uma reta ela preserva onde foram detectados [Música] se for negativo antes positivo depois sim não dá pra dizer muita coisa assim logo de cara tá pensando na função x ao cubo e veja o que acontece com a segunda derivada no ponto zero é muito bem então só para fixar os nomes a gente tem um conceito de que é uma função ser de classe c k1 c1 c2 c3 a então vou dizer q f é

de classe c k onde carro número natural 01 número natural pra mim tá se as derivadas de ordem até cá df são contínuos também não só para ter uma idéia o que é uma função de classe c2 é uma função que todas as derivadas até derivada segunda são funções contínuas então uma função de classe c2 tem a f1 tenha é fininha e à efe duas linhas todos os contínuos a f3 linhas não precisa existir ou não precisa ser contínuo tá bom por exemplo essa função que a gente viu aqui ela é contínua sim então ela

é com certeza de classe c zero tá ela é derivado em todos os pontos não então ela só 60 mas não é de classe 1 porque a primeira derivada nem existe um ponto x igual então dá para você construir exemplo se eu quero uma função que seja ser três mas não sejas e 4 dá pra fazer sem nem da poli nomes mega x elevado a eni e - x elevado a nc vai emendar do dos clubes por exemplo x ao quadrado - x ao quadrado uma emenda de duas paradas função vai ser contínuo 10 vai

ter a primeira derivada do zero mas a segunda derivada de um lado vai ser 2 do outro lado vai ser menos 2 x ao quadrado praxes positivo e - x ao quadrado praxe negativo é uma função de classe c1 que não és e 2 se quiser construir uma de classe c 40 que não é de classe c 41 copia-se ideia foi um x elevado 41 vai dar certo tá bom vamos ver como é que nós estamos de tempo não temos tempo então a gente termina hoje por aqui tá na próxima aula a gente vai ver

uma aplicação interessante da derivada que é olhado elevada como taxa de variação este último assunto que a gente tem prova então a partir da hora que vem já dá pra gente começar a discutir os exercícios da lista então vocês tiverem dúvidas e certa vai ser uma honra vocês vão participar bastante perguntando exercícios da lista obrigado até sexta [Música]