Cálculo I - Aula 17 (3/3) Regras de L'Hospital: conceito, cuidados e exemplos

[Música] então essa é uma técnica que ela é uma faca de dois gumes mesmo tá se você sabe usar o direito é muito boa mas as pessoas têm muito a tendência é achar que só quem resolve tudo na sua vida é você quer aplicar o hospital em tudo até quando não pode e aí você começa a ter problemas né mas obter coisas muito esquisitas ou seja errar mesmo concretamente então vamos lá botar uma primeira regra do hospital depois eu vou essa que eu vou escrever direitinho as outras ou escrever de uma maneira um pouco mais

solta porque isso aqui eu quero tentar pelo menos demonstrar tá não pega o intervalo e pega um ponto nesse intervalo e duas funções f e g definidas nesse intervalo tomando valores em r deriva' weiss em todos os pontos do intervalo mas não precisa ser de nível 1 ponto x 0 porque não ceder lhe valeu um ponto utilizado porque estou interessado em calcular limites quando x tende para fizeram a função precisa estar definida no ponto para o cálculo do limite não justamente tá então eu quero que ela seja inviável em volta de um pequeno intervalo que

contém o ponto x 0 e no ponte fizeram a função nem precisa estar definida quanto mais ter derivado ele não tem isso tais que a geely linha de x é diferente de zero para todos x dentro de si mesmo intervalo tá então tô pegando duas funções deriva' weiss de modo que a segunda não se anula e já dá pra imaginar que sequer vai querer que ela entre em algum denominador então olha como é que essa coisa se você tem que o limite quando xistem de praxe 0s pode ser crucial né quando x ponte preta x

0 da g se ambos são iguais a zero tá e limite quando scheidt e prada x 0 df linha de x sobre a linha de x existe então se f e g tem limite zero no ponto o limite das derivadas do consciente das derivadas nesse ponto existe então que eu posso concluir que aqui em cima tá então a gente tem isso se você tem duas funções deriva' weiss que ambas tendem para 0 1 ponto e o consciente das derivadas existe então o limite o limite do consciente das derivadas existe então o limite das duas funções

é o mesmo que o limite dos derivados o que quer dizer isso na prática aquilo que sempre houve no corredor né como é que um copo limite df sôbre g se eu puder usar o hospital deriva numerador deriva denominador se limite existe é igual não é para aplicar a regra do consciente à deriva o numerador elevando a mineradora tem um monte de sutilezas né coisas que podem valer e que eu não vou escrever por exemplo se esse cara aqui é infinito e se existir aqui quer dizer que eu dar um número o infinito - enfim

valeu igual também então se a filhinha sobre gelinho atende para infinito é sobre e também vai ter preferido qual a hipótese crucial as duas têm que tender para zero então você não pode aplicar o hospital quando o numerador tem dito alguma coisa denominador entende pra outra que não seja ambos iguais 10 então se não é uma determinação do tipo 0 sobre o cerro se não pode usar o hospital na exemplo clássico limite quando x tende para mais ínfimo itu de um sobre x quanto que é isso desculpa consistente para zero vai pela direita mais infinito

desavisado vai aplicar o capital que acontece aí é só de levar o numerador denominador então esse limite é igual ao limite quando se estende a 0 pela direita à deriva o numerador deriva o denominador se quiser ver como se você aplicar o capital sem cuidado dá umas bobagens desse tipo tá aonde está errado aqui né eu não posso aplicar a regra do hospital porque numerador e denominador não é verdade que ambos têm 60 vamos até pagar isso pra num que alguém gravou essa fórmula é infinito igual a zero então vamos tentar demonstrar essa regra para

esse caso específico os outros a gente vai acabar aceitando tá então para isso a gente vai precisar do resultado preliminar que por si só já é muito bacana que ele diz como você limita a função sabendo que as derivadas são limitadas tá então leva à seguinte supõe que tem duas funções fg definidas do intervalo aberto a b chegando em r deriva' weiss se fg são derivava fez nesse intervalo geninho dx maior do que zero para todos x dentro desse intervalo a b e as duas têm limite zero quando se sente um certo ponto x 0

z tende a a pela direita bom se as duas tendem a 0 quando x tende para o extremo esquerdo do intervalo importante tem que entender pela direita pra seus dois limites valem zero e existem alfa e beta pertencentes à r tais que as derivadas consentidas derivadas fica preso entre esses números já existem alfa e beta que vale isso então você pode dizer a mesma coisa a respeito das funções é um resultado interessante por si só quer dizer se o consciente das derivadas fica preso entre dois números então consciente dos valores da própria função fica preso

entre esses mesmos dois números quais são as condições para isso as duas têm que entender para 0 quando se estendia pela direita ambas de levava em seu denominador tem que ter derivado sempre positivo é que a gente pode provar esse resultado ele sai de novo de novo uma consequência do tema do valor médio que a gente pode fazer olha para essa expressão aqui bota faz o que quer dizer que a alfa é fininha sobre gelo está entre alfa e beta multiplica possam multiplicar tudo por jé linha para tirar do denominador pode porque já a linha

positiva né isso aqui vai implicar pra gente automaticamente o que alfa vezes g linha de chips é menor e qualquer filhinha por um lado e do outro lado que a filhinha é menor do que beta vezes ele e aí o que a gente pode fazer isso implica duas coisas né a primeira delas é filhinha de che - alfa e gelinho dx é positiva a primeira questão de dizer isso a segunda ação vai te dizer o que é fininha dx - beta g linha x negativa e se faz uma análise do crescimento e do de crescimento

das funções da função f e g em termos dessas informações que a gente pode dizer que esse limite lateral quando xistem de pra de ambas é zero então pra quanto tende a função efe - á o fla g quando se estende pra si fgt nem pra 0 efe - alpha jet band para zero então a função isso aqui me implica automaticamente que fdx - alfa gtx é crescente na verdade porque se há-de ser derivada quando quando eu devo isso que dá efe linha - alfa gelinho é derivada é positiva porque a função crescente quando x

tende pra isso aqui tem de provar 0 se então o limite no ponto avalizaram a função estritamente crescente que eu posso dizer que pra todo x um pouquinho maior do que a essa forma vale é crescente então eu posso eu já vou aproveitar aqui como ela é crescente e no zero ela no ponto a ela tende a valer 0 isso aqui é maior do que zero é uma função crescente aqui no ponto atende a valer 0 para valores maiores do que a ela vai entender a ser positiva de maneira completamente análoga se isso aqui é

negativo é porque a função fdx - beta gtx a negativa é decrescente vamos repetir o argumento é derivada negativa esse cara é decrescente quando x tende pra isso aqui tem de provar 0 eu tenho uma função que tende a valer 0 é derivada negativa então quando x aumentar o valor dela vai diminuir ela tende a zero no ponto é decrescente é menor do que zero para todos x um pouquinho maior do que o bom é só voltar né essas coisas vão te dizer a 1ª t disse o fx é maior do que a fifa exige

xisco posso passar o alfa hoje dividindo e manter a desigualdade para poder passar esse gt x dividindo mantendo a desigualdade o gtx teria que ser positivo posso dizer que objetiva positivo pode porque pertinho do a ela tende a zero é derivada da gpu positivo então é estritamente crescente não são estritamente crescente esse cara aqui é maior do que zero pra todo x maior do que a mas não não para sempre está só um pequeno intervalo minho à direita de um x a direita de apoio e derivados positiva naquele ponto em todo esse intervalo então isso

aqui é positivo eu posso dizer pra você com certeza que ao fã então é menor do que era antes objetivos da linha de baixo o que dá para dizer que eu passo para o lado de cá eu vou ter q fdx é menor do que beta vg certo posso passar hoje dividindo agora aqui pelo mesmo motivo eu posso entender o que a gente conclui o que eu queria dessa desigualdade o tiro que é fim sobre já é maior do que a alfa e dessa desigualdade o tiro que é sobre g menor do que beto uefs

objeto a intel foi bem e com isso você consegue provar essa coisa precisa voltar o anexo i delta não faça essa cara então demonstração da de um né dessa regra 1 como é que a gente pode fazer isso eu quero mostrar que estou no limite df sôbre jeito certo e eu sei que o limite df linha sobre ele existe tá então vamos pensar que é um número tá limite quando x tende para a x 0 jaf linha x sobre a linha x ser igual a ele quer dizer o que é dado a epson positivo tem

jeito existe um delta mark 0 tal que toda vez que você tiver x - fizeram menor do que delta certamente eu vou ter o que modo lu já filhinha de x sobre gelinho x que é o cara de quem está calculando - éle menor do cap's um bom e já acabou o teorema abre esse módulo é só lembrar definição o que quer dizer isso se você abrir esse modo você vai ter menos epson mais 'ele está menor do que é filhinha sobre gelo linha é menor do que é pessoal mais velho tá então o que

eu tenho é filhinha sobrinha com aquelas condições que heath geram funções que têm de 1 para 0 um pensar que o geninho é positivo se for negativa tudo bem essas desigualdades uns invertendo demonstração aoki que eu tenho é filhinha sobre a linha preso entre um número e outro número se chama esse cara aqui de al fez ficar aqui de beta que a gente vai ter pelo lema toda vez que a filhinha sobre gelinho está presa entre alfa e beta fgt um preço entre essa mesma constante nessas duas constantes então eu vou pelo lema né acabam

de demonstrar eu vou ter q - epson mais l é menor ou igual ou menor do que fdx sobre gtx menor do que é thomas l volta tudo pra dentro que você pode dizer puxou ele pra dentro você vai ter fd x sobre gtx - éle entre - epson ea epson portanto módulo menor do que é que isso quer dizer dado epson positivo encontrei um é um delta tal que toda vez que x - fizeram foi menor do que delta isso vale o que isso quer dizer que para a x pertinho de x 0 esses

números e se consciente está próximo de l ou seja permite quando o sistema de praxe 0 fx objects é igual é então se o consciente das derivadas tende para l então o da função também consciente das funções também vai tender para ele está claro que a gente usou na demonstração da regra do hospital quase nada né só definição de limite aqui foi o pulo do gato um lugar para esse lema e o que a gente usou para demonstrar lembro aqui com isso que permitiu concluir isso usando que o valor médio você vê a regra do

hospital olha como é que a coisa é construir isso é importante a regra do hospital dependeu fortemente do teorema do valor médio tem o tema do valor médio depende do que o tema the road drama the road depende do que o teorema do valor intermediário do tema de vários temas valor intermediário tema de várias dependiam do que o supremo está voltando atrás né então um dá pra por exemplo quando a gente estudou o limite trigonométrica fundamental eu posso quando apresentei sua primeira vez pra vocês eu podia usar directora do hospital aqui não porque o hospital

depende do derivado e para calcular derivada do cenam preciso saber que esse limite tinha então tem toda uma cadeia que não pode botar o carro na frente dos bois mas se você aplicar o hospital aqui dá certo ponto é derivado de cima de baixo porque isso é verdade só agora tá bom outra observação que o a regra do hospital que promete é importante ele fala que se o limite com as derivadas existir então das senhas derivadas também existe é igual se você calcular o limite com as derivadas e não existir o que eu posso dizer

nada né o avô a ter um limite que eu não sei fazer um consciente que eu faço aplicou o hospital quando aplicou o hospital o resultado deu esse limite não existe à brilhante conclusão a respeito do limite original nenhuma boa parte das pessoas tem dizer que como os das derivadas não existe então original também não existe não é verdade então tem que ler exatamente quais são as hipóteses quando eu posso aplicar a regra do hospital ela vale quando não posso ou não vale pode até ser que dê sorte de funcionar mas não dá pra contar

com isso né vamo eu vou só denuncie a segunda regra não vou demonstrar no tá então se você tem as mesmas condições só que agora vamos dizer esse aqui é igual ao infinito esse aqui também tá então você tem as duas funções fg ambas tendendo para o infinito se você sabe que o limite das derivadas existe então o limite sem as derivadas também existe é igual vamos ver isso aqui foi igual à l tá aqui também vai ser igual a ela então essa é a coisa que a gente pode fazer quais são as intenções dessas

duas regras o portal tá vale também se o l foi igual a mais ou menos infinito se x 0 o ponto para o qual função tende é mais ou menos infinito está sendo super abuzada aqui na notação não é quer dizer o quanto eu posso aplicar o hospital quando consciente tem de preencher finito quando x tende para o infinito posso fazer isso com limites laterais e etc etc a todos os casos vale oi a 0 faz mais ou menos aqui também claro mais ou menos se um demais infinito e outro da - infinito você pode

aplicar o hospital também tá então conscientes que tendem ou numerador denominador simultaneamente ou para zero para mais ou menos infinito eu posso querer aplicar o hospital quando x tem de pagar quanto para um número para infinito para - infinito e laterais tá vamos ver se a gente consegue fazer dois exemplos pelo menos nós estamos de horário e 10 vão fazer alguns exemplos é o primeiro vamos pegar um bem inocente limite quando x tende para um de she's a quinta - 6 x ao cubo mais 8 x 1 - 3 sobre x a quarta - um

tá que você percebe aqui numerador tende pra quanto a 0 o denominador também tende para zero então essa minha função efe essa é a minha função g ambas tendem para zero as duas são funções deriva' weiss sim então eu posso tentar aplicar o hospital como é que eu aplico eu ainda não sei se é igual né tem que tomar cuidado se esse aqui existir sucesso eles são iguais então como é que eu aplico o hospital é para aplicar a regra do consciente não deriva o numerador quanto é o numerador 5 x 4 - 18 x

quadrado mais 8 / 4 x 1 cubo enquanto que dá está a tendência das pessoas a entrar num ciclo que lhe aplicar o hospital de novo eu posso aplicar o hospital agora não porque o denominador tende para 4 tá eu só posso aplicar o hospital quando ambos têm de oprah 0 ou por mais ou menos definido então como o numerador tende pra 4 e o denominador tende para 4 numerador tem de pagar quanto menos cinco passado então esse limite existe existe pela regra do hospital esses dois são iguais então quanto que é isso aqui quando

se estende para 1 - 54 como é que a gente teria que fazer antes do hospital como deus é em cima e embaixo são polinômios eu teria que dividir ambos por x - um cortar e ver o que acontece então o hospital ajuda a gente nesse sentido um segundo exemplo que a gente tinha feito na raça e vamos fazer com o hospital vá limite quando x tende para mais ínfimo itu de elevado x sobre x numerador tende para o infinito denominador tende para infinito então é o segundo caso tá que eu tenho que fazer com

o hospital ele vem em cima e embaixo esse limite existe quanto vale esse limite mais infinito vale quando o resultado é mais infinito também tão bom como é que a gente tinha feito esse limite antes estudamos o comportamento da função exponencial em relação ao por nomes ao quadrado sobre dois usando tv e me fizeram com aquele caso na verdade que a gente fez foi quase que repetir a demonstração no caso específico o terceiro limite quando x tem de provar 0 pela direita xv salientes posso usar o hospital não é coisa que se fala é bom

nem consciente tem nem local fala df sôbre jeito que está acontecendo aqui quando xistem de processo o que acontece com esses dois fatores esse cara tem de provar 0 e esse é pra menos infinito então tem um produto 0 - infinito que eu posso fazer eu posso transformar um produto de uma coisa que tem de provar 0 com outra que tende para infinito no inconsciente do tipo infinito sobre infinito ou 0 sobre 0 tá então isso aqui eu poderia escrever da seguinte maneira o limite quando xistem de praia 01 de mmx sobre um sobre x

certo que acontece agora quando se estende para 0 pela direita esse cara tende para - infinito esse aqui para mais infeliz tito então tem um consciente de duas coisas que têm emprego mais ou menos infinito posso tentar aplicar o hospital que o hospital e me dizer eu tenho que olhar pra limite quantitativo para direita deriva ambos né quanto é derivada da big n 1 sobre x quanto é derivada de um sobre x quadrado ou já de resposta de um sobre x - um sobre x ao quadrado né que é isso aqui - x né esse

limite existe sim vale quanto 0 então pela regra do hospital esses dois caras são iguais e portanto xlx tende a zero continua a provar que isso quer dizer que o x vai pra 0 com mais gosto do que o rn tem de pelo menos infinito em um bar para 0 mais rápido do que ele tem pelo menos o diga nesse nesse caso essa é uma solução não é dizer que só o hospital resolve é uma coisa muito forte né você pode vir alguém fazer com edson eddel tem resolver também está o que acontece com as

ferramentas que a gente tem o hospital mostra o poder de olha isso aqui dá para fazer de uma maneira simples eu economizo um monte de paço economiza um monte de passos entre aspas né gente está tendo aula quase dois meses para conseguir chegar nisso então tem um monte de ferramenta por baixo do capô mas a gente ganhou uma coisa desse tipo vamos ver acho que é mais um exemplo interessante depois eu deixo para vocês pensarem que a gente resolve na próxima aula são coisas que não são muito diretas né por exemplo se você pegar o

limite quando x tende a zero pela direita de x ao quadrado vezes elevados sobre isso tá que que vai acontecer aqui esse é um exercício que as pessoas gostam de dizer que é pegadinha eu não acredito na existência de pegadinhas mas vamos lá que acontece quando se estende para zero esse cara vai pra 0 pela direita nem isso aqui tem de prata infinito não vai ficar esse potencial de um número bem grande esse cara tem de ser o mais ínfimo itu e se é que tem de provar o que você pode fazer podemos tentar escrever

isso desse jeito né você tá na onda do hospital na cpi ea - um ser desculpa é um sobre x 1 / 1 sobre seu quadrado vai aplicar o capital que vai acontecer com o hospital aqui o limite quando se estende a 0 pela direita não vou por igual porque ainda não sei se eu posso usar o hospital não é quanto é derivado desse derivado - um sobre x ao quadrado é derivada que está dentro desse potencial vezes levavam sobre x é derivada do denominador é quanto menos 2 sobre x ao cubo tá certo que

vira isso vai ficar elevado - um sobre x que vai acontecer no final das contas vai ter menos dois ali dividindo então você pode ter isso como um - x sobre dois certo cancelo a pergunta dá para dizer alguma coisa disso agora não porque se é que tem de provar 0 e se é que tem de pôr mais infinito de novo então resolveu que você pode fazer tá com o hospital de novo que vai ser o hospital de novo deixa esse cara aqui embaixo e aplicar a regra tá então vai ficar fazendo infinitos passos eventualmente

pode acontecer o que você entrar num lupi esse cara nunca mais por exemplo poderia acontecer numa situação concreta de você quando você ficar fazendo essa coisa o grau ficar aumentando aqui piorar cada vez mais tá então é ruim nesse caso o que daria se você tentar aplicar o hospital de novo levando aqui vai ficar - um sobre x ao quadrado vezes elevados x - um sobre x se - aqui não tem né ele vê elevado 1 sobre o xv - e esse cara que vai dar quanto menos 2 sobre x ao quadrado que é isso

limite quando x tende a zero pela direita de quem e a 1 sobre x sobre dois tá esse cara o limite existe quando x tem de provar 0 pela direita e sequer atende para o mais influente isso aqui é mais infinito então como esse limite existe e eu tentei usar um hospital esse cara é igual e como este existe pelo hospital de novo está então dá tudo certo tá bom eu tenho que tomar um baita cuidado você pode aplicar ficar aplicando sucessivas vezes o hospital para resolver outro problema mais grave que é você ficar aplicando

o hospital e ele nunca te dá nada sem ter um look pode ser que se aplica ao hospital três vezes de volta pro começo então acho que aí você percebe que é hora de parar de aplicar o hospital não é porque não vai te dar isso vai ter que fazer outra coisa tá bom então deixou soja está alguns pra você e pensando e aí a gente resolve na hora que vem são eles há limite quando x tem de provar 0 pela direita de um sobre x - um sobre cena de x 2º limite quando x

tende a zero pela direita de x elevado x qualquer outro que vai usar aqui só precisar fazer alguma coisa né é zero é levado a 0 vamos dizer tem de prazer é levado a 0 não necessariamente isso é um tá são dois números bem pequenos um exponencial do outro o que você faz muda para base elevada o que for como exponencial uma função continua limite passa para dentro e você calcula o hospital um outro caso há limite quando x tem de pagar mais ínfimo itu the x mais um elevado a 1 sobre a linha de

xis aqui que acontece aqui é um número bem grandão e levado um número que tende para zero não sei o que pode acontecer tá e um último exemplo há limite quando x tende para mais ínfimo itu de um mais 5 x levado a 3 sobre x tá aqui a gente consegue fazer de duas maneiras ou aplicando o hospital ou fazendo uma mudança de variável última coisa que é importante esse cara aqui qual é um erro que pode cometer o pior de tudo é que é um erro que pode cometer que quase sempre dá certo então

você faz dá certo se acha que vale a gente não aprendeu que o limite fundamental sendo x sobre x tende para um que quer dizer que che sendo x são valores arbitrariamente próximos então toda vez que eu tenho um selo de x 1 x perto de zero posso trocar x você fizer isso aqui o que vai dar um sobre x - aceno xx 11 sobre x - um sobre x 0 então o cara fala bom como sendo de x é próximo x méxico x aqui é igual a zero portanto se limite a 0 faz a

conta e ver quanto que da via local pode ser que dê 0 sorte se não der 0 já te abre os olhos bom então tenta fazer esses todos esses olha que é 10 elevado a 0 até o infinito elevador zero e aqui é o infinito é outro infinito elevada 0 tenta brincar com o hospital transformando todo mundo exponenciais na hora que vem a gente resolve esse exercício tá bom e começamos a fazer um esboço de gráficos de funções tá até sexta então gente [Música]