Progressão Aritmética - PA - Vivendo a Matemática com a Professora Angela

Olá pessoal tudo bem a aula de hoje é sobre progressão aritmética em especial essa aula é para minha amiga Fernanda esposa do JB essa e a de PG Fernanda Obrigada por assistir os vídeos e compartilhar sempre o grande [Música] beijo bom pessoal é inevitável nós falarmos sobre progressão sem falar em sequência e o que é uma sequência vamos ver alguns exemplos sequência dos meses do ano janeiro fevereiro março abril maio junho enfim dezembro sequências dos dias úteis da semana segunda terça quarta quinta e sexta sequência dos números naturais 0 1 2 3 4 infinito sequência

da ordem dos nomes de uma lista telefônica ou até mesmo dos seus contatos no seu celular para vocês terem uma ideia as sequências elas já são estudadas desde a época de antes de Cristo há relatos do uso de progressões por matemáticos que foram Discípulos da escola pitagórica que descreveram algumas progressões através de estudos do som eles observaram que a vibração de cordas produzia uma frequência que formava uma sequência numérica criando Então as escalas musicais bom pessoal vamos analisar agora três exemplos de sequências que são pa e vamos ver por que elas são p observem esta

primeira sequência cada item desta sequência nós chamamos de termo então o primeiro item nós chamamos de primeiro termo o segundo item nós chamamos de segundo termo o terceiro item nós chamamos de terceiro termo o quarto item nós chamamos de quarto termo e assim por diante né um enésimo termo vários itens então quando nós temos uma pa nós vamos Observar se ela está crescendo se ela está decrescendo ou se ela está constante neste caso Aqui nós temos nós temos 2 7 12 17 nós temos uma pa que está crescendo se ela está crescendo eu vou falar

que é uma PA crente E por que que ela é uma pa crescente porque nós vamos analisar que ela está crescendo mas ela obedece uma determinada ordem que ordem é esta ela está crescendo do dois para o sete ela está aumentando cinco do sete para o 12 ela está aumentando mais cinco do 12 para o 17 ela está aumentando mais cinco Então essa constante que eu vou somando para obter o próximo termo nós chamamos de razão e esta razão no nosso caso é uma razão maior que zero que faz com que a minha pa seja

crescente Então a partir do momento que eu tenho uma razão maior que zero eu vou ter uma pa crescente como que eu vou obter esta razão vamos analisar o conceito aqui de pa pa uma progressão aritmética é toda a sequência de números na qual a diferença entre cada termo a partir do segundo e o termo anterior é constante e essa constante é a razão R então nós observamos o quê que a partir do segundo a diferença deste segundo pelo primeiro dá a minha razão ou seja para eu descobrir quem é a minha razão quem é

este número que eu vou somando para que ela seja uma p acrescente basta eu pegar o segundo termo e subtrair o termo anterior então quem é o o segundo termo no caso aqui o 7 7 - 2 5 mas isso só funciona com o primeiro e o segundo termo não a partir do momento que você tenha dois termos consecutivos ou seja um após o outro você consegue descobrir então você pode dizer que a razão vai ser igual o segundo termo menos o primeiro ou ainda você pode também pegar o terceiro menos o segundo Então vai

ser a a razão poderá ser o terceiro menos o segundo a razão poderá ser também o quarto menos o terceiro e assim por diante a partir do momento como eu disse que você tem dois termos consecutivos um após o outro você já consegue descobrir a razão no nosso caso aqui olha 7 - 2 5 12 - 7 5 17 - 12 5 você tem até o quarto termo sup os que você queira o quinto termo você sabe que a razão é 5 então basta você somar 17 + 5 22 o sexto termo 22 + 5

27 e assim por diante Então a partir do momento que você descobriu a razão você consegue descrever a pa se você tiver aí o primeiro o segundo termo e assim por diante tá vamos observar este segundo exemplo aqui Você tem 20 10 0 Men - 10 - 20 O que que está acontecendo com esta pa ela está diminuindo ela está decrescendo Então eu tenho aqui o primeiro termo que era 20 o segundo 10 o terceiro z0 o quarto - 10 o5 - 20 então é uma pa decrescente porque a minha razão é menor que zero

para eu descobrir esta minha razão aqui aqui basta a partir do segundo subtrair o termo anterior que no caso é o primeiro então 10 - 20 - 10 0 - 10 - 10 - 10 - 0 -1 -2 - -10 -1 então eu observei que nesse caso aqui a minha razão é o -10 que é menor que 0 por isso eu tenho uma pa decrescente e esta pa aqui 3 3 3 3 O que acontece com essa minha pa aqui ela é constante para ela ser uma pa constante a minha razão vai ser igual a

zero por se eu somar ou subtrair zero não vai mudar em nada então 3 + 0 3 3 - 0 3 + 0 3 - 0 3 e assim por por diante é uma constante Ou seja a minha razão é igual a zero Vamos agora para alguns exemplos encontrar alguns itens aí de uma PA neste exemplo eu tenho o seguinte determine o quinto termo e o 10º termo da pa 2 5 8 e 11 vamos observar aqui a pa eu tenho o primeiro termo eu tenho o segundo termo eu tenho o terceiro eu tenho o

quarto termo eu tenho que determinar o quinto e o 10mo para eu determinar o quinto e o décimo eu tenho que calcular a minha razão nós vimos então que a razão nós vamos obter a partir da diferença do segundo termo pelo anterior ou do terceiro pelo segundo do quarto pelo terceiro e assim por diante Então nós vamos ter aqui o segundo menos o primeiro então nós vamos ter a minha razão 5 - 2 a minha razão aqui no caso será o 3 se eu já descobrir a minha razão que é TRS e eu quero o

meu quinto termo e eu tenho quarto o quarto termo é quanto 11 a minha razão não é 3 11 + 3 14 Então o meu quinto termo vai ser igual ao quarto termo mais a razão então quem é o meu quarto termo o 11 11 mais a razão que é 3 o meu quinto termo é o 14 agora para nós acharmos o décimo termo veja bem Qual foi o último termo que eu calculei o quinto do quinto para o 10mo termo quantas vezes eu tenho que somar a razão então eu tenho aqui ó o quinto

termo o sexto termo o sétimo o oitavo o nono e o 10mo então quantas vezes eu somo a razão do quinto para o sexto mais uma razão do sexto para o sétimo mais uma razão do sétimo Para o oitavo mais uma razão do oitavo para o 9º mais uma razão do nono para o 10mo mais uma razão ao inv vez de eu ir somando 14 + 3 17 + 3 20 eu posso fazer faz este cálculo de uma maneira mais fácil então eu quero décimo termo então o démo termo vai ser igual ao quinto que

foi o último que eu encontrei mais quantas vezes eu somo a razão para chegar no démo termo 1 2 3 4 5 mais 5 vezes a minha razão então Meu 10mo termo será igual ao quinto termo que nós calculamos que é 14 mais 5 vezes a razão que é 3 então no caso aqui o 10mo termo será iG 14 + 5 x 3 15 o meu 10º termo vai ser igual a 14 + 15 29 então Meu 10mo termo desta pa será o 29 ou ainda eu posso utilizar esse mesmo esquema a partir do meu

primeiro termo vamos supor que o seu eu tivesse o primeiro e o segundo termo e eu quisesse o décimo termo né então eu queria eu quero o démo termo e eu vou descobrir isso a partir do primeiro vamos supor que eu não tenho o terceiro quarto nem calculei o quinto ainda como que eu trabalho isso décimo termo vai ser igual ao primeiro mais quantas vezes eu somo a razão do primeiro para chegar no Décio obedecendo esse mesmo esquema aqui né quarto 3 2 1 então do primeiro para o segundo mais uma razão do segundo para

o terceiro mais uma razão do terceiro para o quarto mais uma razão do quarto para o quinto mais uma razão então quantas vezes do lá a partir do primeiro até chegar no 10mo quantas vezes eu somei a razão 1 2 3 4 5 6 7 8 no vezes então o Déo termo seria o primeiro ter ter mais no vezes a minha razão então o Déo termo será o primeiro que é o 2 + 9 vezes a minha razão que é o 3 então o 10mo termo será o 2 + 9 x 3 27 então o

meu 10mo termo será o 209 então o que que fica mais fácil você analisa o que fica mais fácil para você e E aí você faz o cálculo do termo que você quer encontrar a partir ou do último que você tem ou até mesmo a partir do primeiro tá vamos para o segundo exemplo neste segundo exemplo eu tenho o seguinte determine o quarto termo da pa x - 3 x - 1 e assim por diante bom eu tenho o primeiro termo e eu tenho o segundo termo eu quero quarto termo para eu saber o meu

quarto termo a primeira coisa que eu tenho que fazer é calcular a minha razão neste caso aqui a razão será o segundo termo menos o primeiro a diferença do segundo pelo primeiro então a minha razão será o segundo termo x - 1 menos entre parênteses o primeiro termo x - 3 calculando aqui eu vou ter que a minha razão será igual a x - 1 Men com + x - x - com -3 + 3 então a minha razão será igual a + x com - x 0 -1 com + 3 + 2 então a

minha razão nesse caso é o 2 bom eu tenho o primeiro tenho o segundo para chegar no quarto termo o que que eu vou fazer então ó primeiro segundo terceiro quarto do primeiro para o segundo eu somo uma razão do segundo para o terceiro mais uma razão do terceiro para o quarto mais uma razão quantas razões eu somei ali três Então o meu quarto termo vai ser igual ao primeiro mais três vezes a minha razão então o meu quarto o termo será igual ao primeiro que é x - 3 + 3 vezes a minha razão

que é o número 2 Então o meu quarto termo será igual a x - 3 + 2 x 2 6 o meu quarto termo será igual a x - 3 + 6 + 3 Então o meu quarto termo ou seja o quarto termo desta pa é igual a x 3 agora nós vamos estudar a fórmula do termo geral de uma PA vamos ver alguns exemplos vamos observar a fórmula do termo geral Dea pa o Eno termo então a n será o Eno termo será igual ao primeiro termo mais n ou seja o termo que eu

quero encontrar o n- 1 multiplicados pela razão esta fórmula ela se originou a partir dos cálculos que nós já vínhamos fazendo lá no primeiro e no segundo exemplo Então vamos supor se eu quero o meu segundo termo se ele é o meu Eno termo meu segundo termo eu vou obter a partir do primeiro mais a razão certo se eu quero o meu terceiro termo eu vou obter a partir do primeiro mais duas vezes a razão se eu quero o meu quarto termo eu vou obter a partir do primeiro mais três vezes a razão se eu

quero o meu quinto termo eu vou obter a partir do primeiro mais quatro vezes a razão então vamos observar aqui olha terceiro termo então será o 3 - 1 que é igual a 2 quarto termo 4 - 1 que é iG 3 Então olha aqui n - 1 certo ou ainda eu posso fazer o seguinte 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 Então esta fórmula aqui ela se originou através desses cálculos que nós já vínhamos fazendo á no primeiro e no segundo exemplo vamos ver agora alguns exemplos utilizando a fórmula

do termo geral neste exemplo eu tenho que escreva a com razão igual a 3 e 2º termo igual 52 bom para eu escrever uma pa eu tenho que ter o meu primeiro termo como eu não tenho o primeiro termo mas eu tenho a razão e o 2º então eu vou descobrir o primeiro termo a partir do termo geral Então o meu termo geral aqui da pa o Ino termo vai ser igual ao primeiro mais n - 1 multiplicados pela razão o meu en termo no caso é o 2º que é quanto 52 Então vou substituir

aqui para achar o meu primeiro termo meu primeiro termo mais o n no caso é 2º né 22 - 1 multiplicados pela razão que é o 3 então 52 vai ser igual ao primeiro termo mais resolvendo aqui 22 - 1 21 21 x 3 63 se eu quero calcular o primeiro termo eu vou isolar este meu primeiro termo aqui então eu vou deixar ele sozinho 52 o 63 era positivo o inverso dele - 63 que é igual a o primeiro termo né a 1 então eu tenho que 52 - 63 - 11 então o meu

primeiro termo é igual a -1 bom achei o meu primeiro termo agora então vou escrever esta minha pa esta minha pa eu tenho o primeiro termo que é igual a -11 se eu tenho que a razão é 3 Então quem vai ser o meu segundo termo o primeiro mais a razão então -1 + 3 - 8 -8 + 3 -5 -5 + 3 - 2 e assim por diante até chegar no meu Eno termo que é quem o 50 E2 Vamos agora para um segundo exemplo neste segundo exemplo eu tenho o seguinte interpole seis meios

aritméticos entre 100 e 184 o que que é interpolar é inserir 6 me2 entre 100 e 184 então nesta sequência nesta pa eu tenho 100 depois eu tenho 6 meos então tenho 1 2 3 4 5 6 até chegar no 184 Então eu tenho que inserir seis meios aqui mas eu só tenho o primeiro e o último termo o que que eu preciso para acrescentar esses outros termos aí no meio a minha razão só que para eu para eu calcular a minha razão eu não tenho nem nenhum termo consecutivo então eu vou utilizar quem a

fórmula do termo geral então eu vou ter an que é igual a A1 + n - 1 multiplicados pela razão quem é o meu último termo no caso 184 quem é o primeiro 100 mas quem é o n o n seria o último Então eu tenho 1 2 3 4 5 6 7 8 ele é o oitavo termo então o total de termos nessa pa são 8 -1 multiplicados pela razão que é o que eu quero encontrar então eu tenho 184 vai ser = 100 + 8 - 1 7r então 184 - 100 que é

= 7r então 184 - 100 84 que é igual a 7r então a minha razão aqui vai ser igual a 84 7 a minha razão será o número 12 então para eu inserir agora esses meios basta eu ir somando a minha razão 100 mas a razão que é 12 112 112 + 12 124 124 + 12 136 136 + 12 148 148 mais 12 160 + 12 172 mais 12 184 pronto inserimos os seis meios aritméticos que faltava ou seja fizemos a interpolação dos seis meios aritméticos entre 100 e 184 bom Pessoal espero que vocês

tenham aprendido um pouco sobre pa com os nossos exemplos se você gostou clique em gostei muito obrigada até o próximo vídeo e a prossima [Música] duvida