Cálculo I - Aula 14 (1/3) Existência de e; derivada de f(x)^g(x)

[Música] estavam lá é bom dia todo mundo vamos tentar hoje então concluir aquele argumento para provar que aquele número e existe do jeito que a gente queria que existisse como sendo o limite praxes e lendo para infinito tá bom vamos retomar isso e depois vão começar a estudar as propriedades das funções contínuos intervalos fechados mirando o estudo de máximos e mínimos de funções que é uma coisa super importante uma ferramenta o cálculo é uma ferramenta muito importante para ajudar a estudar esse tipo de coisa tá bom então vamos lembrar a gente estava estudando essa seqüência

aqui né o que provamos dela a gente tinha os seguintes fatos mostramos que x n era sempre maior do que 2 e sempre menor do que 3 para todo o número natural positivo não é todo natural fora 10 que é onde a segunda está definida a gente sabia que era um cada x é um número entre 2 e 3 por certo provamos também xm era crescente como é que a gente demonstrou que essa sequência da crescente a gente pegou um termo xn o termo x animais um inscrevemos a definição deles em termos da dos coeficientes

mil reais e comparamos parcela parcela tá eu não sei se a gente chegou a concluir mas acho que vale a pena retomar né a gente precisava estudar a seguir o seguinte a seguinte expressão e levado à kaká sobre ele leva animais um elevado há caminhos um vezes mais um - capita se a gente conseguisse provar que isso aqui é um número maior do que um estava garantido que a nossa seqüência é crescente porque isso aqui era o consciente entre duas parcelas equivalentes né a terceira parcela do xv ea terceira parcela de mais um por exemplo

é isso que vai querer dizer o cargo há dois aqui tá bom então se isso aqui fosse verdade pra todo carro maior ou igual a 2 isso implicaria uma seqüência crescente tá bom então como é que a gente fez isso a idéia era fazer o que a gente chama de uma demonstração produção tá qualquer idéia de uma demonstração produção se verifica que a fórmula é verdadeiro é um caso particular verificou ok a gente verifica no caso que pra cá igual a 2 isso aqui com certeza maior do que um tá bom porque caiu a 2

no numerador fica ele ao quadrado o denominador vai ficar em um quadrado - um numerador com certeza maior que o denominador portanto se consciente é maior que 1 quando caiu a 2 ok então se a fórmula é verdadeira caiu a 2 que eu faço eu suponho que ela é verdadeira há um certo valor de cá ea partir disso verificar se ela é verdadeira o valor seguinte de kaká mais um que a gente escrevia troca tudo o que está ali o carro por cá mais um seja uma coisa desse tipo né animais um elevado há cá

e quando eu toco aqui o carro porque é mais um que fica vai ter nem mais um - carro - um na então vai ficar em menos capital certo isso aqui supondo que isso aqui é verdade eu tenho que provar que esse aqui também é o maior do que um tá então se faz à contínua que a gente consegue escrever como sendo levado o carro vezes n sobre animais um levado a cabo - um empresta daqui fica faltando o que um emmy - k&n mais um passo certo supondo que isso aqui é maior do que

um que a gente conclui que esse consciente aqui é maior do que ele mais um - carro passar tudo então isso aqui com certeza é maior do que animais 1 - carro vezes n sobre ele mais um ano - o que que é isso aqui no numerador é um codinome de grau dois na variável n o denominador também então tô consciente entre dois nomes de grau 2 mas eu só vou calcular eles naturais né está fazendo a continha isso aqui vai dar exatamente o que vai ficar em um quadrado mais um - carro vezes n

sobre ele é o quadrado mas 1 - cá vezes n - carro tá então claramente se o cara for maior ou igual a 2 o denominador de novo é menor do que o numerador passar porque o numerador repetido aqui e estão subtraindo uma quantidade positivo mas com certeza maior do que 1 então se vale se a propriedade for verdadeira um certo valor de cá ela é verdadeira para o valor cai mais um a se o cara for igual a 2 se o cara for maior do que 2 vale isso se o cara for igual a

2 a gente já comentou que a gente tem é o quadrado sobre ao quadrado menos um tempo maior do que a propriedade é verdadeira para cá igual a 2 e provamos que se é verdade para um certo carro automaticamente é verdade pra cá mais um essas duas coisas juntas garantem o que é verdade pra tocar maior que 2 taquara idéia se ela vale para o carro e por conta disso concluiu que ela só vale pra cá igual a 2 isso é que garante que ela vale pro caiu a 3 e se ela vale para cá

igual a 3 isso aqui de novo me garante que ela vale pra igual a 4 e assim por diante então concluímos que só que é verdade pra tocar maior igual que dois portanto sequência destes ele é crescente ok que eu tenho então uma sequência limitada por cima estritamente crescente que que o teorema que a gente viu no ao passado sobre sequências disse na sequência crescente limitada ela é convergente tá ok então xm crescente ilimitada implica passar pra ficar certinha tomou a seqüência não é o termo x e na sequência xl é crescente e limitada portanto

essa sequência converge a gente vai batizar o limite dela como sendo o número e tá então essa coisa que você pergunta o que é o e dois pontos igual quer dizer que estou definindo esse objeto como sendo o limite quando o emitente para mais um filme tu tá então provamos que essa sequência tem limite e automatizando o limite dela como essa constante tá bom isso serve para os nossos propósitos não exatamente é porque o que a gente começou a aula passado a gente queria um número que fosse a base de uma funções policial de modo

que o coeficiente angular da reta tangente na origem fosse um que nós concluímos que se esse número existisse ele teria que ter uma certa cara qual era a cara é exatamente esse limite aqui só que em vez de olharmos naturais eu teria que olhar em todos os números reais o número é que eu estava procurando teria que ser o que o limite quando x vai para o infinito x não n de um mais um sobre x elevado x que a gente provou provou que existe uma sequência que nos naturais converge para um esse número isso

serve não é ver a gente viu na aula passada um exemplo de uma sequência que empata com a função a sequência conversa ea função não então se eu tivesse x real tem aqui eu poderia trocar o chip por n poderia posso trocar o n porches não mas nesse caso a gente vai provar que dá tá bom então como é que a gente vai fazer isso o seguinte se você pegar qualquer número real vão pensar o número real extremamente positivo para começar tá bom porque estou interessado em x tendendo para mais ínfimo itu então só me

interessa x positivos se você pegar qualquer número real é verdade que existe um número natural eni tal que o chile está sempre entre n e mais um menor igual né você concorda dado qualquer número real tem um número extremamente positivo que o número natural antes dele em um monumento natural depois dele ta boaa menor igual porque o próprio x podia ser um dos dois da ponta né tá certo então sempre tem qualquer número real está entre dois números naturais ok se você tem isso você concorda também que a gente pode dizer que um sobre ele

mais um é menor ou igual a 1 sobre o xv é menor ou igual a 1 sobre m.claros invertendo as desigualdades posso somar 11 em tudo então vou ter um mais um sobre e mais um com certeza melhor igual que um mais um sobre x sobre ele tudo bem que a gente pode dizer aqui como che cnn mais 11 times é uma coisa um pequeno detalhe que a gente tem que tomar cuidado quer dizer se esse xis aqui fosse um número entre 0 e 1 e se ele aqui certamente tem que ser zero né eu

não posso fazer nada disso também é preciso me preocupar com esse caso o interessado quando x tende para infinito né não posso pensar que esse x é um número bem maior do que o número que você quiser tá bom então não corre o risco e se ele precisar ser zero e portanto eu posso fazer tudo isso aqui tá bom então pode ir por hipóteses e pode se por exemplo que x maior que 1 para se prevenir o interessado em se estendendo para infinito temos isso que a gente sabe tenho essa sequência de desigualdade sakineh então

se eu levar esse aqui a ele esse aqui a x e esse é que animais não tá tudo certo esse número é maior que um tudo bem esse também é maior que um todo mundo aqui é maior que um então se eu pego um número que é maior do que 1 e aumenta o expoente dele o resultado da potência aumenta qualquer número maior do que 1 ao cubo é maior do que ele é levado ao quadrado por exemplo se for menor do que uma verdade né tá bom como a gente tem que o n é

menor ou igual a xx é menor e mbokani mais um esse cara é levado a emi é menor igual que esse cara elevador x que é menor do que esse cara levado mais um tá claro isso posso escrever directora da prisão mas justificadas e precisa precisa acho que não né você escreve a mesma base trocas point depois mas tudo bem então vamos lá eu posso escrever isso aqui como sendo um sobre com mais animais um elevado a eni menor igual aqui um mais um sobre x levado à x menor igual que um mais um sobre

n elevado animais um bom tudo bem o que a gente pode fazer a gente sabe o que acontece quando eu tenho aqui e aqui o limite disso tende para aí então vou trabalhar nestas expressões das duas da ponta para deixar o que está no denominador da fração igual expoente nos dois casos isso eu posso fazer desse jeito né aqui eu posso escrever um mas não sobre mais um elevado em mais um acertei com o que acertei coloquem um cara desses há mais né então vou tirar ele tá certo menor igual quando meio vou deixar porque

já tá bom esse aqui eu vou arrumar como um tom mais um sobre n elevado a ene vezes tudo bem então vamos fazer análise agora que eu estou interessado tenha interessado em estudar o que acontece quando x tende para infinito x tende ao infinito o enem também vai tender para o infinito e mais um por consequência também é claro então que eu posso olhar eu posso olhar para toda essa expressão quando o n tende para o infinito e por conseqüência os x também ou x vai para o infinito n mais um também vão tá então

o que acontece com essa expressão aqui quando o emitente para infinito vamos olhar para esse pedacinho que é mais fácil quando ele tende para infinito isso aqui tem de pagar quanto zero e aqui eu tenho um elevado - um né então eu tenho uma coisa que tende para um elevado - um tempo para quanto 1 esse aqui tem de pagar quanto se o emitente e para infinito esse objeto aqui tem de praia só que se ele vai para o infinito animais não vai para o infinito também não troca o n porém mais uma expressão que

vai acontecer a mesma coisa tá bom então esse esse carinho aqui atende pelo número que a gente acabou de provar que existe é um número e tá esse cara que tem de pagar quanto quando ele vai para o infinito tende para um tudo bem esse cara que quando o emitente para infinita que acontece com ele é o é então olha que legal se o emitente para infinito com certeza o x100e para infinito também e se essa parcela esse carinho que têm de praia o da outra ponta tende pra esse cara que está no meio para

quanto ele vai entender de novo um teorema do confronto para seqüências a gente não demonstrou mas ele vale igual tá então se os dois aponta tem nem pra esse cara tá preso no meio tonto x é infinito esse objeto também entende por aí então temos o que a gente queria bom então aquele número é que eu queria que existisse com aquela propriedade eu provei que ele existe mesmo e é dado desse jeito tanto faz cálculo havia sequências ou como x qualquer é claro que se você precisar de aproximações racionais para o número e como é

que se faz aqui tá certo coloque essa expressão no computador e calcula-se não quero a convergência relativamente rápido né sei lá quando ele quanto maior for o valor de n mais perto do número e isso é que vai ficar você foi igual a mil por exemplo você pode até depois fazer conta na calculadora se você quiser quando ele for igual a 1 mil vai dar quanto 1001 sobre mil elevado amigo você faz essa pontinha vai dar um número que já está bem perto do doe tá certo a essa aproximação não tá boa campanha igual a

um milhão para chegar mais perto ainda tá bom então o número é que a gente queria existe e dados daquela maneira claro que dá pra fazer então dá pra fazer tudo que a gente fez no ano passado a gente estava caminhando nas nuvens e existe um número vale tudo isso ele existe mesmo tá bom então dá pra derivar qualquer função exponencial qualquer função logaritmo ótimo vibrou de felicidade diga que ela só não dá podia cortar por exemplo não é isso o que a lei manda prender desculpa com a mãe o que é isso só que

levaram à perfeito a pergunta dele é muito boa é do porque isso aqui não entendi pra 1 por exemplo porque acontece o seguinte quando bom ou aqui vamos olhar aqui que está mais limpinho né quando ele é um número muito grande é claramente a base que se aproxima do número 1 mas o que acontece e aí o que se podia pensar a base se aproxima do número 1 e você sabe que um elevado a qualquer coisa é sempre um né então por que esse limite não é um porque na verdade a base não é igual

a um tal isso é importante ela não é igual a um expõe trabalhava então você tem base expoint variando simultaneamente então isso aqui é um número cada vez mais próximo de um tad diminuindo né por exemplo quando ele é um a base e 2 quando é 2 a base é um e mail 12 634 terço ou seja a base vai diminuindo se aproximando do número 1 sport vai aumentando então eu tenho alguma coisa que não é a base diminuindo espanha aumentando é uma determinação do mesmo jeito que você tem um produto com cara tendendo para

0 e outro têm medo para infinito você não tem controle aqui a mesma coisa tá na verdade a gente consegue escrever essas exponenciar sempre dessa forma como um produto de um cara e levado um produto de um cara que vai para 0 vez um carro foi o infinito você pegar essa expressão aqui é bem isso que vai dar né como é que a gente pode escrever na base e já supondo que ela existe que já sabem do que sabendo que o número existe como é que eu posso escrever isso e elevada x acerto e olha

só o que acontece né fazendo uma análise desse jeito que eu precisaria a priori saber que o número existe mas ele está aí quando você escreve isso desse jeito que acontece se estende para o infinito né então esse logaritmo vai ter um blog de 130 e isso é que vai tender prefeito então eu tenho uma coisa que é do tipo 1 tende para um elevado um cara que tende para o infinito como sendo esse potencial de um produto é uma coisa que tem de trazer o visor então o que a gente já sabe deriva' está

claro expoente base variando é uma coisa que você precisa se preocupar então o que a gente já sabe deriva' a gente sabe de levar o nome os que é base variável expoint constante e sabe delegar funções exponenciais que é o que a base fixa e expoente variável qual é a última coisa que falta fazer quando a base e um expoente valiam juntos está não dá pra fazer também então você tem uma função que é base expoentes simultaneamente variáveis qual é o truque para a derivas não vale a regra do tombo não vale nada disso também

não vale a regra para derivar exponencial que você faz escreve fdx elevado a gtx como sendo o quê e elevador gtx vezes lmf x é está claro que para isso aqui funcionar fx é uma função que é sempre a imagem da função f1 é positiva pergunta a informação de onde é genival xx esse truque ou esse truque tá isso é o que a gente chama de mudança de base no exponencial do mesmo jeito que você faz a mudança de base no blog faz uma mudança de base nesse potencial tá vamos ver porque isso dá certo

lembrando que exponenciais e logarítmicas são funções inversas quando você escreve mudança de base no blog é um consciente então a inversa à mudança de base vai ser um produto tá então pensar assim se você tem a elevando a b a e b são números onde faz sentido calcular isso tá bom ah eu quero escrever essa potência e se expressa exponencial ação na base e e por exemplo tá então como é que vai fazer isso você concorda que eu posso escrever isso como sendo e elevado ao l n diaye levado o bebê é exponencial do logaritmo

de um número é o próprio número porque exponencial o lm são com seus diversos usos a propriedade do blog que acontece quando você tem um expoente dentro do blog fora tá bom então as empresas a não queria que ficasse na base e sequer por uma base sei qual quer não vai aparecer aqui o logaritmo bases e tá bom então dá para escrever sempre daquele jeito desde que as coisas que façam sentido op o que quer fazer sentido claro que esse cara que está aqui dentro do garantimos a cemar quiser tudo bem então vamos levar aquilo

como é que se deriva essa expressão aqui do lado esquerdo do direito que precisa fazer uma composta de funções né é um produto uma composta então é só dele vá vamos lá fdx elevado a gtx linha é a mesma coisa que derivava a exponencial e como é que deriva isso tem uma cadeia e qual foi a última coisa que a gente fez essa cadeia calcular exponencial quanto é derivado desse potencial elevado derivada de elevada qualquer coisa é elevado qualquer coisa então vou ter mais potencial e depois eu multiplicam pelo que pela derivada do que estava

dentro do exponencial o que está dentro desse potencial é um produto que vai derivar um produto com a regra do produto então vai ser quando for deriva' o que está no expoente aqui vai será derivado do primeiro copia o segundo mas copia o primeiro e derivou segundo na hora de levar o segundo como é que deriva lnd fdx é outra regra da cadeia como é derivado da ln lnd qualquer coisa derivada é um sobre a coisa vezes a derivada do que está dentro do mma feliz bom então essa expressão que você tem você quiser pode

arrumar aqui que é isso aqui fdx elevado gtx vezes esse fator visão do colchete sakineh mas tá bom precisa decorar essa fórmula não recomendo não vale mais a pena fazer a conta na hora se precisar é claro que se pode até verificar todos os casos se você quiser há por exemplo se gtx foram uma constante né que você vai ter uma f é levado uma constante como é que se deriva isso a regra da cadeia ou seja se você botar chegou a constante gelinho a 0 vai dar exatamente a fórmula tombou expoente multiplica é derivado

da ef lá dentro está tudo certinho bom se a f for constante ager variável vai ser derivada de uma função exponencial também vai aparecer a mesma coisa tudo certinho pois é foi constante esse tema que desaparece se for constante igual o terá levado à x vezes angelim lnda que foi a forma que a gente reduziu preço inicial que não era na base diga a a elevado alog de b log já na base de óleo de peroba 0 ah isso é igual b aqui sim isso isso aqui é igual é verdade sim essa isso que está

escrito aqui é exatamente o que está escrito aqui só que o teu a é o número é que a gente acaba de construir tá bom o que não é nenhuma propriedade de imagem o que quer dizer isso aqui se você tem fdx igual à elevada x quem é inversa logaritmo na base a essa propriedade está dizendo que f o plano é ficar menos 1 gb justo logaritmo db na base a se eleva a a isso é calcular a função f1 na inversa db bom então na mesma propriedade mirabolante que você precisa nossa caiu do céu

isso aqui algum alienígena trouxe pra gente não é às vezes você vê essas formas falam não faz sentido na verdade estou aplicando uma função é inversa quando componho do que a identidade diga feito crescer fez o fmx e passageiro da linha ficou o é em larga medida em que a linha de baixo com a taça não entendeu a passagem aqui pra cá então vamos rever o que a gente fez vamos levar usando tudo o que a gente sabe né verdade aqui a gente está usando tudo mesmo ou quase tudo tá ft a derivada de fx

elevado a gente x troquei fdx elevado agentes pela impressão que a gente tem então eu preciso de levar essa expressão como é que a gente teria essa expressão vamos analisar o que aconteceu em cada passo que aconteceu em cada passo se pega já falei aqui você vai pegar o teu um número x você tem duas funções fg também o que eu faço eu vou escrever esse produto todo de uma vez só tá eu pego um número x cálculo gtx cálculo ftx cálculo logaritmo da f1 x isso também e aí depois eu pego todo esse número

um aqui aplica funções policial tudo bem então eu tenho uma composta dentro da comporta envolve um produto uma outra composta ok como é que você veria isso aqui meriva a de fora e multiplica pela derivada de dentro quem é derivada da exponencial de qualquer coisa disse alda qualquer coisa vimos ensinava passado então vai ser a derivada da exponencial vezes a derivada do que está lá dentro o que estava dentro é isso aqui como é que eu devo isso é um produto como é que a gente teve um produto deriva o primeiro com pio segundo mais

copio primeiro e vamos levar o segundo como é que deriva o rn df é uma composta certo qualquer composta de 70 um número x calcula função efe em cima disso calcula ninar coisa lnd fx como é que eu vou deriva' no produto dele ver copiei o pierrô deriva' como é que você veria isso aqui deriva primeiro lm e multiplica thunder lado do também polêmico quanto é derivado da ln 1 sobre a coisa um sobre heath vezes a derivada da fpf lhe você tem e daqui pra cá eu só lembrei que isso aqui é a mesma

coisa que isso sim tem um porquê eu falei a gente usou tudo né uma regra da cadeia duas vezes a regra do produto uma vez usamos é derivado do exponencial ela própria é derivado do lugar it é um sobre ela tá com isso e com essa fórmula em particular eu não recomendo que você decora eu recomendo que você aplique ela em cada casa que aparecer você consegue fazer todos os itens do primeiro exercício da lista que é de nívia as funções abaixo vai do da letra a até a letra r são todas as funções que

envolve policiais logaritmo segundo métricas por nomes sabemos fazer tudo isso ok