Funções: Analisando o Gráfico de Funções (Aula 8 de 15)

[Aplausos] Olá pessoal tudo bem vamos continuar o estudo das funções agora fazendo uma análise mais detalhada e aprofundada a respeito dos gráficos beleza ao final da aula Se você gostar da aula entender tudo clica al em gostei OK outra coisa inscreva-se no canal já que daí você fica por dentro de tudo que está acontecendo aulas novas são postadas por lá semanalmente beleza vem comigo aqui olha só analisando o gráfico de uma função e tem um aqui ó sinal da função analisar o sinal da função é descobrir para quais valores de x a função é positiva

para quais valores de x a função é negativa e para quais valores de x a função é igual a zero é bem fácil ISO aqui acompanhe comigo Olha só vamos imaginar um X aqui assim ó vamos pegar um X aqui assim entre o c e o d Tá eu vou chamar ele de X1 Beleza se nós aplicarmos a função nele nós vamos encontrar um Y aonde é que vai estar o y dele ó vamos traçar mais ou menos aqui assim e traçar mais ou menos aqui assim ó ficou um pouco torto Mas não tem problema

aqui nós vamos encontrar o y referente a esse valor x repar o seguinte que quando nós aplicarmos a função nesse valor o seu valor de y correspondente ficou positivo concorda comigo e concorda também que para qualquer valor de X entre o c e o d nós teremos um Y Positivo já que o gráfico está aqui em cima concorda comigo então nós já podemos concluir algumas coisas os valores de x onde o gráfico está localizado acima do eixo X esses valores de x faz com que a função seja positiva ou seja maior do que zero olha

para mim aqui também ó imagine um X entre o a e o b nessa região aqui ó vamos pensar um x mais ou menos aqui assim ó vamos chamar então agora de X2 se nós aplicarmos a função nele nós vamos encontrar um Y olha só jogando aqui ó tocou o gráfico ali nós vamos ter um Y mais ou menos aqui assim ó só deu coincidência tocar bem aqui em cima tá gente mas o Y2 é a imagem do x = 2 da função aplicada no ponto x = 2 e repare o seguinte ó para qualquer

valor de x que estiver entre a e b ou entre C e D concorda comigo que o gráfico está localizado acima do eixo X concorda então nessa região entre a e b e entre C e D nós temos uma função então ó FX mai do que zero beleza bem nessa região aqui tu pode ver que a volta aqui ó está na parte positiva ou seja na parte de cima do eixo X então podemos escrever o seguinte ó a função f de x Ela é maior do que 0 aonde vamos escrever aqui ó quando o x

for maior do que a e menor do que B Ok ou o x estiver entre o c e o d ou seja o x for maior do que o c e menor do que o d pessoal então é bem tranquilo o gráfico localizado acima do eixo X nessas regiões nós temos o gráfico então a função sendo maior do que zero agora se o gráfico estiver localizado abaixo do eixo X nessas regiões de valores de x nós temos a função menor do que zero acompanhe comigo aqui ó vamos imaginar um X aqui assim ó entre o

b e o c vamos dizer que esse aqui então é X3 tá aplicando a função nele nós vamos descobrir um Y mais ou menos aqui assim ó Aqui nós temos então o y correspondente Ou seja a imagem quando X = 3 repara o seguinte para os valores de x entre o b e o c nós temos o gráfico abaixo então para esses valores de x aqui ó a função ela é negativa repare o seguinte ó nas duas extremidades aqui aqui o gráfico ele continua então dá para concluir que para valores de x acima do d

e abaixo do a nós temos a função para baixo aqui o gráfico está baixo do eixo X ou seja nessas regiões vermelhas nós temos a função sendo negativa então escrevendo aqui ó FX acaba sendo menor do que z0 aonde para valores de x menor do que a ou seja X é menor do que a ou o x está entre B e C Olha só o x maior do que b e menor do que C ou para valores de x maior do que D então aqui ó ou X Mai do que D uma observação aqui gente

ó a gente tá utilizando conectivo ou tá olha só não tem como ser por exemplo o x menor do que a e o x entre B e c sempre utilizando aqui o conectivo ou ok pessoal agora o seguinte aonde é que nós temos a função exatamente igual a zero quando o gráfico cruza ali o nosso eixo X repare comigo aqui ó exatamente no x = a no x = b no x = c e no x = d nós temos aqui então a função ó FX sendo igual a z0 até a gente pode colocar aqui

não tinha colocado ó nessa região aqui ó nós temos a função FX sendo menor do que zero aqui também né menor do que zero e aqui também menor do que zero agora FX exatamente igual a zero nós temos aonde no x = a A ou B ou C ou D então é igual a a Ví b v c v d ok Vamos descer um pouquinho aqui ó e vamos ver o seguinte analisar agora quando é que a função ela é crescente e quando é que a função ela é decrescente pessoal analisar se a função é

crescente ou decrescente através do gráfico é muito simples Olha só se a medida que o x vai aumentando tá vai caminhando no x ali e o gráfico vai caindo nós temos nessa região então do X sendo uma função decrescente agora do contrário se a medida que o x vai aumentando a função vai aumentando também aí nós temos uma função crescente agora se acontecer o seguinte da função do X no caso ir aumentando e a função continuar ali retinha nós temos nessa região do X então uma função constante acompanhe comigo aqui ó pessoal para valores de

x entre o a e o z0 O que que está acontecendo com o gráfico o gráfico aqui ó entre o a e o zero para os valores de x entre a e zer o gráfico aqui ó tá fazendo esse movimento concorda comigo então nessa região aqui ó nós temos uma função decrescente acontece essa função decrescente novamente para x entre C e D para valores de x entre C e D repare o seguinte aqui assim nós temos o gráfico sendo uma função decrescente Então vamos escrever assim ó F é decrescente anote lá ó decre tá Para

que valores ó para x entre a e 0 ou seja x ma do que a e menor do que 0 ou tá o X estando entre o c e o d então o X Ele é maior do que c e menor do que D reparem que eu só estou analisando entre o a e o e tá você poderia pensar Ferreto mas aqui nós temos o gráfico decrescente só que para x adiante do e a gente pode ter o movimento do gráfico aqui ó sendo qualquer outro então ali em diante a gente não pode dizer seguramente

que para valores de x maiores do que e o gráfico será sempre decrescente vamos analisar entre o a e o e primeiramente beleza Acompanha comigo aqui ó agora entre a e e repare o seguinte nessa região aqui ó o gráfico é crescente ou seja para valores de x entre B c o gráfico é acrescente da mesma forma que entre d e esses valores de x fazem com que o gráfico ó seja crescente também então F é crescente crescente aonde para valores de x entre B e C Ok então o x ó maior do que b

e menor do que C ou para valores de x entre d e e então o x maior do que d e menor do que e o gráfico também acrescente agora repare o x nessa região aqui olha o gráfico aqui gente o x estando entre zero e esse valor b o gráfico tem uma linha reta aqui ou seja o gráfico nessa região aqui é uma função constante vamos escrever isso ó F é com constante ou seja não é nem crescente nem decrescente para valores de x entre 0 e B Ou seja quando X é maior do

que 0 e menor do que B nós temos a função constante pessoal nesse item TRS Agora vamos fazer um exemplo bem completo em relação às informações que um gráfico pode disponibilizar vem comigo aqui ó olha só informações sobre uma função a partir de seu gráfico então nós temos a primeira informação aqui ó dizendo que F é de R em R lembre né esse R aqui ó ele representa o nosso domínio enquanto esse outro conjunto aqui ó é o nosso contradomínio então a gente diz que a função é de R em R ou seja de reais

em reais aqui no item a vamos descobrir o f de5 Ou seja quando o x for igual a 5 quanto é que vale a função Bom vamos lá no x = 5 olha aqui o x = 5 ó nós vamos ter a função valendo quanto se nós percorremos aqui ó atingimos o gráfico nós vamos encontrar um Y exatamente igual aqui assim ó esse do ou seja o F de5 O resultado é exatamente igual a 2 Então vamos colocar aqui ó f de5 = 2 aquele do Ali pessoal só para relembrar tá é a imagem quando

o x vale 5 beleza vem comigo aqui ó e agora para F de -2 vai lá ó no x = -2 olha aqui o x = -2 está aqui localizando então o y correspondente vá até o gráfico e nós vemos aqui assim ó nós vamos ter então um Y exatamente igual a -1 então f de -2 O resultado é -1 no item C Olha só se FX é = 3 pessoal olha só o f Dex lembra isso aqui é a mesma coisa que o Y né então quando o y é iG 3 vamos lá o

Y = 3 está aqui ele beleza quando Y = 3 então o valor de x é igual a quanto olha aqui a gente pode caminhar para o lado direito encontramos o gráfico aqui assim e o valor do X pode ser tanto esse seis aqui ó positivo como se a gente caminhar pro lado esquerdo também né ó pro lado esquerdo nós vamos encontrar 1 x valendo -6 ou seja o x aqui ó ele pode ser -6 ou o x pode ser igual a 6 então reparem gente ó para dois valores diferentes do domínio encontramos o quê

a mesma imagem isso aí é perfeitamente possível em funções Vamos pro Ender aqui assim ó aqui nós vamos analisar a função no ponto -4 e no ponto igual a 2 vamos ver se é maior menor ou igual olha aqui ó quando X é - 4 quanto é que vale a função no x = - 4 ó o x - 4 nós vamos ter então a função aqui ó valendo exatamente 1 concorda comigo agora para F2 Ou seja no x = 2 tá aqui o x = 2 nós vamos ter a função valendo quanto ó vem

aqui F então de 2 O resultado é Men 1 então f de-4 o resultado Deu um positivo e f de2 o resultado Deu um negativo então consequentemente nós podemos dizer que F de-4 é maior do que F de2 Olha o item e qual o domínio dessa função a gente pode tirar daqui assim ó o domínio ó tá sendo dito que é o conjunto dos reais agora nós podemos pensar o seguinte também o domínio são todos os valores de x para o para que o gráfico Ou seja a função esteja determinada agora a imagem a imagem

ó pode ser encontrada facilmente projetando o gráfico no eixo Y então se nós projetarmos esse gráfico no eixo Y nós teremos a imagem vindo aqui do -3 e indo até Vamos colocar aqui até o mais infinito então aqui assim nós vamos ter a imagem ó aqui ó é a imagem dessa função podemos escrever assim ó imagem da função é dada por y imagem sempre eixo Y né y pertence aos reais tal que o y ó é maior ou igual a -3 então Y maior ou igual a -3 e tem g aonde é que o gráfico

corta o eixo X Olha só está cortando o eixo X fiz nesse ponto aqui e nesse ponto aqui Quais são esses pontos mesmo ó esse ponto aqui ó é o ponto x = 13 Y = 0 Ou seja é o ponto 3 e 0 ou -3 e 0 é aonde corta o eixo X agora por sua vez o item H aqui ó onde é que corta o eixo Y olha só o gráfico está cortando o eixo Y aqui é assim né gente lá no Y = -3 ou seja esse ponto é 0 pro x e

-3 para o y beleza item I Olha só F é uma função aqui o que eu quero dizer o seguinte essa função analisando o gráfico ela é uma função par uma função ímpar ou é uma função que não é nem par e nem ímpar olha lá ó repara o seguinte que existe uma simetria em relação aqui ó ao eixo Y olha só o eixo Y é como se fosse um desse gráfico então quando acontece isso uma simetria em relação ao eixo Y essa função aqui ó é uma função par então aqui ó é função par

Ok e tem J Olha só quando é que f ela é positiva pessoal ela é positiva ou seja o gráfico está aa do eixo X nessa região aqui ó acima do 3 e abaixo do -3 concorda comigo então a gente pode escrever assim ó FX é positiva em x menor que -3 ou x ma do que 3 agora quando é que a f a função ela é negativa quando o x estiver entre o -3 e o 3 reparem que o gráfico está abaixo do e x então nessa região aqui nós temos a função sendo uma

função negativa vamos escrever isso olha só F é negativa então para valores que estiverem entre o -3 e o 3 para valores de x tá e FX = 0 quando Ou seja quando o gráfico cruzar o eixo X nesses pontos o gráfico não está nem acima nem abaixo então Aqui nós temos a função sendo igual a zero ou seja FX = 0 em X = -3 ou o x = 3 e agora por último crescimento e decrescimento quando é que a função ela é crescente ó reparem que o gráfico aqui ó nessa região está crescendo

ou seja para qualquer valor de x que seja maior do que zero o gráfico está sempre crescendo então nós podemos dizer o seguinte que ela é crescente para x maior do que 0 e do contrário quando é que ela é decrescente ó ela é decrescente aqui ó Note que o gráfico Aqui está sempre decrescendo então para esses valores de x aqui ó ou seja x menor do que 0 o gráfico ele é decrescente então x menor do que 0 beleza pessoal fizemos um exemplo completaço analisando o gráfico de uma função e extraindo todas as informações

necessárias muito mas muito importante para provas do Enem vestibular E por aí vai beleza pessoal se você gostou da aula Clica ali em Gostei a gente se vê na próxima Bons estudos e até mais