Cálculo I - Aula 27 (2/3) Exemplos de integração por partes

[Música] vamos ver um terceiro exemplo então x ao quadrado vezes sendo the xx como é que a gente pode tentar fazer isso qualquer abordagem de novo é um produto ninguém tem nada a ver com o derivado de ninguém aqui então provavelmente integração por partes certo que qualquer idéia que bacana vamos tentar se inspirar nesse caso aqui que era um nome vezes uma trigonométrica que a gente fez a gente fez as escolhas de quem era fg linha ufmg de modo a baixar o grau né então eu vou tentar repetir a mesma idéia ali porque porque se

eu fizer o contrário vai subir o grau de x quadrado vai passar precisa ao cubo sobre três então qualquer idéia a idéia é que a gente pensar que esse cara efe e esse cara é g1 se esse cara é fiquem efe linha 2 x ótica se gsc nukem g linha sendo quem a gtx - conselho passar muito bom então pela forma de integração por partes o que é isso isso efe vg certo - integral de é fininha vezes g2x vezes - conselho tem menos concelho com esse - mas esse dois também já pula fora tá

bom então que a gente conclui que é por uma primitiva praxes ao quadrado sendo x é quem menos x quadrado com o cene x mais duas vezes uma primitiva de x cosseno x como que o cálculo a primitiva de x cosseno x olhando para o lado e vendo que ela tá feita no exemplo um tá ou aplicar de novo integração por parte aqui tá certo como você fazer desse jeito agora então essa coisa vai dar - x quadrado com sendo x mais duas vezes quem quer a primitiva de x cosseno xx sendo x + conselho

mas é constante x sendo x + conselho x a constante ela podia estar dentro ou fora que todo mundo concorda com isso é alguma constante de integração dessa companhia de integração fosse um eu pego outra constante integração igual ao meio por aqui dentro já aconteceu de integração ela não precisa ter multiplicado pelos constantes que aparecem ao longo do processo num constante no final que se você precisa calcular qual é o valor delas e obtém por exemplo aqui quanto que vale a quero descobrir a primitiva da função x ao quadrado vezes nx que no ponto x

igual a 0 vale 8 então qual é o valor de kaká eu tenho quando x foi igual a zero é que tem que ser com 18 e descubra o valor do carro não sei vamos ver é a posição inicial se você tivesse pensando em física te dei a equação da velocidade vvd xx ao quadrado vencendo x quem a posição no instante do tempo x essa primitiva depende da posição inicial enquanto que vale é se no zero bom então você pode precisar fazer integração por partes algumas vezes o que é bom tomar cuidado vamos tomar cuidado

na forma tem sinal de menos né às vezes tem alguns sinais de menos aqui dentro que vão sair vão virar mais você erra isso acontece umas coisas esquisitas tá eu vou fazer daqui a pouco vai aparecer um exemplo pegar mais um vou tentar calcular primitiva de elevada x conselho de xx também dá pra fazer esse tipo de coisa essa é a ideia né se podia se perguntar se existe esse objeto sim porque ele existe porque a gente provou que toda função contínua tem primitiva pode ser que não saiba calcular mas que tem tem tá então

vamos tentar achar uma primitiva pra isso bom exemplo anterior que estava aqui atrás era x cosseno x né qual foi a estratégia é fazer alguma coisa que é derivada baixasse o grau do poli nome estava na frente do xis aqui se eu tentar repetir isso não vai dar certo porque esse potencial não é um polígono nome e portanto não tem grau quanto mais a baixar esse número que nem vai mais por teimosia vamos dizer sim se faz a mesma coisa né não tem muita opção aqui tanto faz você chamar esse cara df ou esse de

gelo linha ou fmg porquê porque do lado de lá eu vou ter que escrever a primitiva de um dos dois eu sempre tive os dois também então se f é elevado a cheia quanto é fininha levado a xcmg mim é cosseno quanto kg sendo né e aí como é que vai ficar isso aqui vai ser f psg vai ficar elevada x cena de x - a primitiva de quem é fininha elevado x vezes sem falar que bom né eu troquei a integral de elevador x vezes conselho pela de elevada x vezes ele fica por um

momento fantástico que droga mas não muito né porque logo depois eu fiz uma vez eu troquei o conselho se eu fizer de novo aqui provavelmente eu vou tocar esse sendo por concelho e tentar ver alguma coisa então vamos tentar fazer isso isso aqui é elevado a xii vezes mx aí de novo vamos chamar esse cara aqui df esse aqui de gelinho bom como é que fica essa brincadeira - cuidado a comparência sakineh se f quem é fininha se geninha sendo quem a g - conscientizar bom muito cuidado com os sinais aqui então - da fórmula

aí vai ficar fsg ea x - x - x 1 x 1 já a integração por pais têm sinal de menos na forma - eu tô com fvg linha que vou precisar df linha vez jequié quanto menos conselho então tenho menos aqui que por fora da integral fica isso onde tá certo né fvg tá bom então veja só o que aconteceu a gente vai ter e ashes sendo x - com menos mais a x cosseno x - com mais é dar menos bom que a gente concluiu que esse objeto que estou querendo calcular é igual

há alguma coisa - ele mesmo como é que eu posso descobrir que ele é passa por lá escolas cara tá bom então tem que ter muito cuidado quando se aplica a integração por parte de duas vezes porque se você errar o sinal aqui por exemplo aqui dá mais você vai cortar se conclui que elevador x mais elevados xv sendo x mais ea x cosseno x 0 sempre não parece razoável e se você o gráfico dessa função não tem muita esperança de que ela seja constante igual a zero ou igual a qualquer outra constante está então

muito cuidado na hora de fazer suas contas o que a gente tem aqui vamos continuar a passar aquele cara pro outro lado a gente concluiu então que duas vezes a primitiva de x cosseno xx o que é ea x vezes mais demais mas a constante integração tá eu botei a constante de integração aqui porque podia pensar que aqui eu tenho muitas constantes aqui eu tenho muitas toda hora que eu junto todas as determinadas a menos de uma constante tá bom bom e aí como é que se descobre então passou dois dividindo posso puxar o traço

da fração até o carro uma constante uma constante sobre dois é só isso é constante era 2 agora é um vice versa também aqui um jeito que você calcula a integração por parte de duas vezes para voltar na expressão original e ter sucesso vamos fazer um outro esse aqui também dá pra fazer de dois jeitos na anac ela se aqui fosse um polonês e tá dizendo se você é uma coisa por ele nomeou vezes conselho de jesus então tá mas é que abaixar o grau você tá falando fazer alguma coisa que há baixo grau quais

são os objetos que têm grau colonos então é só por nome né tá você tiver um pornô mil vezes cosseno se vai aplicar sucessivamente esse processo uma hora vai ficar uma constante aqui vezes uma função da econométrica e acabou e qual é a constante que vai aparecer aqui vai ser o fatorial do grau do codinome vezes o coeficiente dominante e os outros em algum momento anterior é derivada vai vai ser maior quando se for até derivado de grau e prefeito então calcula primitiva de conseguir um quadrado de xdx tá no contexto que a gente está

querendo de integração por partes eu tenho que tentar enxergar isso como um produto e acho que todo mundo vê isso como um produto de concelho vezes consegue tudo certo e agora eu juro que não você chato eu deixo você escolher quem é filhinho aqui no g1 tanto faz né então chamar esse cara aqui ea filhinha esse aqui vai ser nosso g em f1 então a função quando deriva da concelho uma delas é ser um x eu só preciso de um e qual é a função que quando a derivada de cosseno gelinho que a gente precisa

de menos bom então como é que fica a fórmula da integração por partes isso vai ser efe vg então és e no the x vezes costumam x certo - integral de fvg linha vai ficar - sendo um quadrado menos lá fora dá isso aqui de novo aquela sensação de tristeza e derrota não é só bom eu troquei integral de concelho ao quadrado pela integral de seu quadrado em vista do que a gente fez no caso anterior que dá pra fazer eu consigo escrever esse cara em função de concelho ao quadrado sim então dá para escrever

isso como sendo sendo x cosseno x mas a primitiva de 1 - você não encontrado também primitiva de um agente sabe calcular x né e aí eu vou ficar com a pm tinha de conhecer um quadrado que eu posso passar por outro lado também então isso aqui vai me dar o quê que duas vezes a primitiva de conseguir um quadrado de xdx o que é sendo x conselho x mais a primitiva de um que era x mas a constante de integração certo então faço dois dividindo vou ter isso em dia tem um outro jeito de

calcular a integral de continuar um quadrado que é baseada em identidade segundo médicos o conselho de 2 x a gente escreve que vê uma outra maneira de escrever isso vamos lembrar das identidades que a gente precisa aqui né quem sabe que fosse no quadrado de x mais senão quadrado x é um agente sabe que conselho de 2 x 4 que é você no quadrado de x - e num quadrado x cuidado não é um cenário de dois dias o conselho então o que a gente percebe somando membro da membro o que a gente tem eu

sou macaco em dois concelhos quadrado esse cara vai embora né então dois conseguiram quadrado de x é um mais conselho de 2 x tudo bem dividido por dois a gente tem isso claro e aí então podemos calcular sobre essa outra maneira a meio mais conselho de 2 x sobre dois da primitiva do meio x sobre dois motivos de conselho de 2 x sobre dois dá pra fazer isso de cabeça vai sair meio que seja achar alguma coisa coisa derivada seja conselho de 2 x 1 sendo de 2 x é um bom candidato só que você

deva ser de 2 x na regra da cadeia vai ser 12 multiplicando na sendo de 2 x 1 assim então conselho de 2 x 1 e é esse cara posso por aqui ele entra e sai da derivada fica uma constante tá bom a não gostei do que você fez tudo bem chama o de 2 x 1 e calcula isso aqui como todos variável se o igual 2x de uvas e 2 x de x você faz tudo bem então não fingir dos ovos o que a gente vai ter de 62 x a primitiva nesse crescendo de

2 x 1 sobre dois com esses dois que está aqui embaixo 14 bom obtive uma outra expressão as duas expressões são iguais obviamente nesse caso não se abríssemos de 2 x 1 sobre 42 exatamente o que você sempre tem o seu jeito de verificar se você acertou com a gente verificar o acerto ou pega isso que deriva se você dele vá tem que dar o termo original bom se você chega em alguma expressão que não é obviamente idêntica nesse caso deu tudo igualzinho na na lata se esse cara aqui é igual a isso se deu

se não deu pode ter acontecido de você ter feito do jeito certo eu tenho feito de outro jeito certo chegamos em respostas diferentes o que é a nossa diferença de uma para a outra é uma constante é importante enfatizar os então essas respostas que estão na lista são puramente sugestões tá você pode encontrar outras respostas que também estão corretas qual é o melhor jeito de conferir à deriva o que você tinha esse passado vou pegar mais um pra fazer vou fazer de dois jeitos os dois são bem esquisitos mas você vai achar muito se quiser

que eu vou fazer primeiro a tentar calcular a primitiva das scut de x com a função cuja derivada é secante mas tem todo o direito de ficar bravo com que eu vou fazer agora mas é uma passagem legítima né você pode multiplicar em cima em baixo por cerca de um mês entre gente o seguinte mas pediu a eles itu isso não tá 1 a 0 nesta quinta mas tem gente então tudo bem não é nada intuitivo mas funciona tá bom a vamos lá ver o que dá para fazer agora observar quanto que é a derivada

do denominador quanto que é derivada de secante x muita gente levada na seqüência o que quer a gente vê secante elevada tangente um quadro semelhante ao quadrado mais secante vezes tem gente super natural né então a mudança de variável que a gente deve fazer aqui é qual o cecat de x + tangente de x e portanto de uvas e quem secante um quadrado de x + secante x de x com essa mudança variável que fica isso esse cara que deu então isso aqui vira primitiva 1 sobre o que é isso lm do módulo de um

mais carro o que é isso lm do módulo de secret de x + tangente china tá certo tá certo gostou não não é muito artificial tá é um jeito um pouco menos artificial que você lembrar do que as e cante né que é secante por definição um sobre concelho a gente não tem nada que desfaça a regra do consciente já não tem mais o que você pode fazer a ace tem um conselho é bom ter um amigo dele por perto que é quem é derivada os e no tom certo como é que eu posso fazer

aparecer um senão aí eu tenho um conselho com um conselho ao quadrado faz aparecer sendo você multiplicar em cima em baixo porque o cmx obter conselhos sobre o sinal quadrado o que é isso o conselho ao quadrado quem quer - em um quadrado de xx tá e agora ficou bom né porque é derivada do senado falar no numerador perto do dx então se você fizer mudanças variável o auxílio de x quem vai cedeu 0 xx e portanto com isso aqui é integral vai virar de hu sobre um - o quadrado se fosse um mais um

quadrado será conseguir fazer direitinho o certo seria que tanta gente mas não é por outro lado quem você consegue fazer depois eu vou fazer isso é um outro método específico nesse caso é um caso bem particular que é fácil mas vou explicar direitinho 1 - o quadrado você consegue faturar sim você consegue escrever como sendo um mais um vezes 1 - o ta depois a gente vai ver um método que chama método das situações parciais que permite você transformar qualquer função racional não consigo função adicional que é consciente de dois porém nomes você vai conseguir

escrever isso como uma soma de infrações mais simples de modo que você saiba qual a primitiva de cada uma das infrações tá então isso aqui a gente vai conseguir escrever como uma soma que já está vendo as coisas ganhar é uma combinação linear de se ter um com esse tá vai ser uma constante vezes mais os 11 sobre o mais uma constante vezes um sobre um - o utah depois a gente vê como é que faço direitinho o ponto é que você vai ter se você faz isso aqui tá por enquanto - chute na hora

que você tira um mínimo denominador tá certo tá bom o denominador de expressão é o produto desses dois caras então tá bom e o numerador vai ficar o q1 - um mais um mais o 26 a dor é 2 é que o numerador tinha que ser um bom meio aqui na frente está resolvido depois a gente vê como é que faz essa conta direitinho tá bom então ok sabemos calcula primitiva de cada uma das parcelas ali enquanto que vale ou já entregou o ouro na qual a primitiva de um mais o suns sobre o mais

o ln do módulo desse cara né e o outro quando falha primitiva do ele entrou no 1 sobre um - um vai ter 1 m e mais cuidado quanto é derivada do italiano dominadora o zoom na hora que o fortal cognitiva destaque vai sem - todo mundo sabe calcular sua primitiva sim como você faz para calcular essa primitiva chama sede 1 - 1 né se for igual a 1 - 1 que é o desejo menos de 1 e portanto a primitiva de um sobre um menos de u mas sem - a primitiva de um sobreiro

exemplo bom o que é isso - no mundo desenvolvido para variável o ct exatamente isso tem um meio multiplicando isso aqui tudo é obrigado mais a constante de integração volta pra variável x quem era 11 sendo então como é que eu posso ver esse cara meio do mmd com mais cenas - ln de 1 - cena mas é constante se você quiser usar um monte de propriedades do blog tudo mais que é o blog de uma coisa - o logo da outra o óleo do consciente né você quer ficar log no consciente de quem o

mais sereno sobre um - sempre tinha 16 multiplicando talentos aqui então vira ln da raiz desse modo mas a constante integração é rei conta acho que não e portanto eu achei que a primitiva da seca ante é isso é bom e tinha achado antes que a preventiva secante era isso que a gente sabe da teoria essas duas funções diferem por uma constante descobrir qual é a constante que faz elas diferirem quanto vale esta função é que quando x é igual a zero por exemplo posso colocá-lo no x10 pode ser que antes de 0 a 1

que a gente 00 entanto aquino 0 vale lm de 1 10 tá e essa quando x vale zero também então as duas funções 10 valem zero de enquanto que a diferença das funções nesse ponto nós duas temos boa diferença 0 e com uma diferença é constante em todos os outros pontos a diferença entre elas 20 portanto elas são iguais ou seja aquele que a gente acabou de descobrir que o blog da raiz quadrada desse cara bonitinha aqui é um blog do módulo security um estrangeiro como logo é uma função injetora você pode tirar ele que

a gente concluiu que o módulo de secante mais tangente é raiz quadrada do módulo de uma cena sobre o - tá então as duas funções é exatamente a mesma você consegue descobrir a identidade trigonométricas úteis ou não a gente nunca sabe muito bom