Cálculo III - Aula 19 - Superfícies orientáveis no R³

[Música] com o tempo [Música] olá caro os alunos de cálculo 3 da universidade virtual do estado de são paulo univesp bem vindos ao 19 eu vou falar de superfícies orientáveis no espaço 3d e r 3 e é uma obra que tem uma geometria lindíssima e tem também um significado físico o interessante é muito surpreendente na verdade essa alta é o motivador nosso vai ser a idéia de fluxo está bom então discutir o conceito quero me lidar com essa idéia de fluxo através de uma membrana para isso vou precisar falar em superfícies orientáveis eu vou mostrar

porque precisa do conceito de superfícies orientado e é uma coisa muito sutil e muito surpreendente que ocorra ele vai ter que fazer essa discussão para esclarecer bem e se em ponto então vou fixar bem qual é o nosso motivador o motivador é o conceito de fluxo essa figura eu vou mostrar pra vocês com detalhes durante a aula faixa de medos é um exemplo de uma superfície é orientado e não é por acaso que ela é muito presente no ambiente matemático é o símbolo do inpa instituto de matemática pura e aplicada muitas instituições e no i

na sede do inpa tem uma escultura com o formato de uma faixa de medo muitas universidades os departamentos de matemática tem faixas de medos porque é o conceito muitos intrigante dentro da matemática o que vai nos motivado e vou cobrar usar como motivador a idéia física de escoamento de um fluido que é a idéia de fluxo do que eu vou falar vou começar a explicar esse conceito imagine um fluido enquanto não podemos pensar num líquido o rio escoando um líquido qualquer na verdade pode ser que quando falei do fluido para na verdade a ideia mais

geral é de qualquer campo vetorial pode ser um campo elétrico qualquer idéia desse tipo utilizado física mas vamos fixar nossa ideia no líquidos quando imagine uma membrana uma película que é permeável e foi definido através dessa película o que eu quero medir é quanto desta substância quanto disso que está escoando atravessa essa membrana permeável por unidade de tempo unidade de área 70 é quantificar essa ideia do escoamento através de uma técnica então começar a construir esse conceito e vamos ver até onde a gente consegue chegar então essa idéia acho que ficou claro é algo que

está escoando no espaço e eu construo uma superfície o que eu quero eu quero me enquanto que está atravessando essa superfície desse curto como esse fluido atravessa essa superfície uma coisa interessante de observar é que quem mede esse escoamento é a componente do campo na direção normal à superfície e isso tem tudo a ver com o que nós fizemos as aulas anteriores apesar de estamos pensando em geometria eu dei muito importante no vetor normal por causa desse contexto também observa que eu tenho a membrana e o fluido escola paralelamente à membrana não a fluida atravessando

membrana para que através da membrana o futuro tem que escoar não de forma paralela de forma transversal e quanto mais perpendicular ele for a membrana maior a intensidade do escoamento que eu tô querendo medir coisa paralela não tem fluxo então formalizada nisso vetorial o conceito matemática de campo vetorial e pega uma superfície parametrizada regular vetor normal diferente de zero porque a importância da regularidade porque como é que obtenho ver sor normal versão normal é o vetor normal dividido pela sua norma como é que você obtém inversor a partir de um vetor você pega aquele mesmo

vetor e multiplica por um sobre o módulo do vetor a norma do vetor isso transforma aquele vetor um retorno de norma de módulo 1 que é o ver sor que a gente quer então esse ver soreme na verdade vai aparecer no santos líder é o xv dividido pela sua norma pega overs or na superfície superfície pego versões e pega o fluido o fluido está escoando aqui ele tem lá aqui está o inversor normal o fluido está escoando de um certo jeito como é que eu meço quanto que está atravessando seu começo fazendo o produto escalar

do campo pelo versões normal isso é muito importante isso vem na geometria analítica que é o produto escalar de um vetor efe em média o campo vetorial pelo versões é a componente no campo efe na direção do que a direção perpendicular à integral disso sobre a superfície passada o número de produtos falar embora as duas entidades sejam vetoriais estudar o número é integral deste número sobre a superfície da total do fluxo vamos falar olhar um pouquinho para se ver só na verdade tem duas possibilidades professor eu pego x 1 xv divido pela norma dá versões

mas eu podia pegar versões no sentido oposto e isso tem uma importância enorme nesse contexto em 2 versões e que isso é importante neste contexto vamos voltar a pensar fisicamente que a membrana que a superfície e tem o fluxus quanto eu escolher o versões normal eu posso escolher por um lado outro lado oposto é claro que o produto escalar vai mudar de sinal se eu pegar ele ou se eu pegar o oposto de m eu tenho dois ver sores na superfície isso é muito coerente com a idéia de fluxo porque veja eu tenho à superfície

eu tenho fluidos quando se eu pensar quanto fluidos como o daqui pra lá ou se eu pensar quanto fluido esconde lá pra cá são opostas na verdade muda o sinal é que o flu está indo nesta direção tem um escoamento positivo nessa direção e o escoamento negativo na direção inversa é natural então é razoável que o trabalho com essa ideia de pensar que tem 2 vers oris e eu posso calcular o fluxo na direção de um na direção do outro e o que acontece quando eu mudo é que muda o sinal do fluxo a superfície

fluida atravessou daqui para lá o quanto o fluxo professor de lá pra cá os sinais são opostos pensa numa superfície fechada quando foi de dentro para fora de fora para dentro é o oposto do outro para dar um exemplo numérico disso vamos lembrar da paralisação do cilindro cilindro agente parametrizando as aulas anteriores acontecer no teto a sendo o teto z o vetor tangente interna - assassino tenta aconselho certa 10 de toda a gente em 0 0 1 o vetor normal acontecer no teta aceno teta nesta ordem externa xz o módulo dele é a então quando

eu divido pelo módulo e desaparece o açúcar cosseno tetas e no teto e 0 mais ou menos eu tenho um retorno normal que aponta pra dentro vetor normal que aponta para fora do cilindro duas orientações possíveis num determinado ponto eu tenho um vetor que tem as duas componentes positivas de pega-pega no primeiro quadrante outro vetor mais mais de zero é um vetor horizontal e que aponta para fora no super atletas no primeiro quadrante mas eu pude pegar um outro retorno é trocar o sinal que eu posso ter um vetor que é menos - 0 eu

posso ter um vetor que aponta para dentro então na verdade um ponto de uma superfície tenho sempre 2 versões normais superfície regular um ponto com o lado em que aponta para o outro na hora que eu vou fazer a conta disso lembra que na integral de superfície que nós vemos nela passada eu fazia o produto vetorial e multiplicada pelo elemento de área esse produto escalar de escalar o n 1 x 1 xv dividido pela moto no módulo então tenho mais ou menos mais um ano depois daqui pra frente observa está dividindo pelo módulo multiplicando pelo

módulo isso cancela e fica x 1 xv escalar é uma coisa sutil que se resume em uma frase na hora de falar do conceito de fluxo eu peguei o ver sor na hora que eu fui fazer a conta eu acabei cancelando o módulo com o módulo o elemento diária acabou cancelando aqui e ao invés de pegar ver sor eu pego o vetor parece muito legal né então aparentemente quando eu vou fazer essa conta eu simplesmente tenho que dizer qual é a orientação que eu quero e fazer tudo só que agora precisam parar um pouco e

pensar que tudo isso que estou falando é lindo é assim que tem que ser mas nem sempre as coisas funcionam bem vou mostrar alguns exemplos aqui pra vocês algumas coisas surpreendentes começar com a seguinte coisa pega uma fitinha de papel dobrado jeito usual eu obtive absolutamente normal a faixa é o símbolo do inpa vou dobrar e colar só que na hora de rolar eu inverto olha só virei e aí que o colo obtive a faixa tem uma coisa que não dá para calcular fluxo através da faixa a idéia de fluxo é exatamente essa eu tenho

que ver quanto do fluido está escoando de dentro para fora ou de fora para dentro de si do qual quer calcular a diferença que dá ou mais ou menos a diferença de um pronto o problema da faixa de medos é que não tem lado de caio lado de lá olha que coisa surpreendente daqui pra cá eu continuo do mesmo lado é interessante aqui um ponto aqui agora vou pegar o setor normal eu vou andar em cima da faixa de tempo a partir desse ponto o vetor normal andando andando andando sempre mantendo o que é normal

e sempre percorrendo a faixa de forma normal cheguei no mesmo ponto cheguei no mesmo ponto apontando por outro lado lembra superfície como entidade abstrata não teria lado de cá o lado de lá superfície não teria dimensão e suas duas dimensões naturais da observa que em termos matemáticos sabe o que significa que a função pretor normal não é contínua sobre a superfície lembra que eu tô falando integral do campo efe multiplicado escalar mente pelo vetor jesus xv acontece que a função x 1 xv têm desconto unidade aqui porque ela quando eu ando define ela volta de

forma invertida e portanto aquela integração ali seria complicada vou mostrar que essa história de uma maneira mais chocante e eu vou pintar superfície também pintando a superfície e andando enquanto pinto à superfície o que está acontecendo eu tô chegando no mesmo ponto de onde parte digamos do outro lado contínuo contínuo não sai não tirei a caneta da minha superfície pintando pintando então voltei para o mesmo lado da onde eu comecei e pintei os dois lados é completamente diferente do que ocorre no cilindro no cilindro seu povo tá eu pinto lado de fora fechou lado de

fora e não toquei no lado de dentro na faixa de membros quando eu sair pintando eu tentei o que seriam os dois lados de duas voltas e voltei no mesmo ponto ela está pintada totalmente do que seriam os dois lados na verdade estou falando dois lados das águas a conclusão exatamente o contrário porque eu andando percorrido duas vezes é um lado só eu quando percorri pintado não tirei a caneta da do papel e eu pintei do que seriam os dois lados da minha conclusão então é que não tem dois lados é um lado só a

faixa de membros o que nós chamamos uma superfície é orientada não dá pra fazer fluxo sobre a faixa de menos só que uma coisa vocês podem até mostrar para os seus alunos embora não dê para discutir integração com os alunos quero uma coisa interessante aqui o cilindro quando a gente corta no meio porque ele é uma superfície normal orientado exceto quando eu corto ele separa em dois cilindros gente sabe que acontece quando corta a faixa de medos é uma coisa surpreendente porque ela tem um lado só quando eu corto olha só acabei de gostar ela

não separou duas faixas só com duas porções é muito interessante podem cortar de novo pra ver o que acontece é muito legal a consequência disso tudo para nós é que vai aparecer o conceito de superfície orientado e não orientado uma outra superfície não orientar o importante é uma garrafa fechada em água dentro fechada tem água dentro só que dentro se comunica com o fora porque ela não é orientado ela é fechada mas não tem lado de dentro do lado de fora é muito estranho isso né uma superfície fechada que não tem lado de dentro a

foto estou vendo a água do lado de dentro pois é a água que está do lado de dentro a água que está do lado de dentro eu posso tomar água que estava do lado de dentro tudo aqui não tem mais água dentro fechada a água estava dentro agora está fora na verdade não tem lado do lado de fora é muito surpreendente tudo isso a consequência é que a gente tem que ter uma ideia de superfície orientado e não orientava então essas superfícies como a faixa de medos ela é uma superfície não orientada a garrafa de

klein uma superfície não orientada nós só vamos trabalhar com superfícies orientáveis que é uma superfície orientava uma superfície orientar uma superfície que admite uma orientação que a orientação é uma escolha de vetor normal contínuo o fato é que nem toda superfície regular e orientada a faixa de medos não tem escolha de vetor normal contínuo quando você anda com o vetor normal e descontínuos volta para o lado oposto orientar então é fazer a escolha do vetor normal exemplo de na orientáveis a garrafa de klein ea faixa de emendas são as duas grandes superfícies vou mostrar pra

vocês por exemplo a orientação do plano só pra concretizar essa idéia pega o plano 2x mais y - três e mais dois votos a nós sabemos que esses dois números 21 - 32 - desconhece o vetor normal esse vetor fornece uma direção na mão orientar é escolher e se o oposto esse vetor então eu tenho dois sentidos para a escolha da direção quando eu for fazer cálculo de fluxos na próxima aula eu vou ter que escolher uma direção para calcular o fluxo naquela direção ou na oposta que vai acontecer aqui muda o sinal esse é

o vetor conversor seu modo de ser vetor raio de 14 4 mais um mas nós raiz quadrada e se houver soro também tem 2 versões mais elementos e quando for fazer o cálculo eu vou usar parametrização e olha que interessante uma maneira de parametrizar este plano assente raio x de uso de ver e aí o y sai bonitinho sem ter que dividir nada porque eu uso a seguinte esperteza hora que olha para a equação dos planos vejo que o coeficiente do y é um então parametrização do x de usê dever eo y sai bonitinho 100

visão ac x gaúcho água veio y isolei o y na forma quanto à deriva x 1 xv produto vetorial - 21 - 13 que é esse vetor receber 2 1 - 3 o oposto dele retornou ao se mudar para a transação ser uma parametrização mais um genoma do plano lembra que o plano se eu colocar x ou y gov daí eu tenho essa paralisação chegou a última veio z dois terços de um terço de ver menos dois testes quando o cálculo x 1 xv aparecem essas expressões são outros vetores que os derivados outros e o

vetor normal é um múltiplo daquele mas é um vetor com outras coordenadas não é o mesmo vetor normal também - 2 - 13 e aqui - dois terços - um terço faz tudo dividido por três isso é importante vai ser fundamental na próxima aula ou então terminar sala com essa observação quando a gente pára mettre ziza uma superfície o vetor normal depende da parametrização mesmo caso de um plano eu não vou pegar como vetor normal plano o 2 - 3 eu tenho que pegar o vetor normal que venha da parametrização quando eu vou fazer uma

integração em cima de uma superfície parametrizada para calcular o fluxo está fazendo toda vez que eu for fazer a integral eu vou parametrizar superfície calcular os reajustes ver e eu vou usar o xv teve é da parametrização e que pode mudar mesmo caso de um plano que eu mudo a parametrização o vetor normal pode ser um e isso então uma coisa importante mas vocês sabem eu sempre uso normal da parametrização [Música] ah não [Música] [Música]