Cálculo I - Aula 26 (1/3) Teorema Fundamental do Cálculo: exemplos; Existência de primitivas

[Música] vamos tiago como a gente é bom dia todos vamos continuar a nossa terceira parte do curso que integrasse técnicas na verdade cálculo integral né eu acho que eu tinha deixado alguns exercícios pra vocês olharem tentarem fazer quaisquer 16 lembram a gente deve ter feito alguma outra antes né tá então qualquer ideia quando você está querendo copa é isso que você quer fazer na verdade determinar a área embaixo do gráfico da função conselho x caxias nesse intervalo então o que a gente está fazendo um número que a gente tiver que obtivera aqui é exatamente o

que fiz sobre dois ataques sobre dois a função conselho tem uma carinha mais ou menos assim né o número que a gente estiver aqui vai ser o que a área embaixo do gráfico está certo que a gente viu na aula passada tornou fundamental do cálculo que era a ferramenta é a ferramenta que a gente tem na mão pra calcular integrais definidas que dizia ter uma fundamental do cálculo que esse número eu determino com a primitiva da função cosseno corda nos extremos o certo é que a gente precisa é nesse caso não tem a função fx

igual ao cm x você conhece uma primitiva pra ela pode ser x mais qualquer constante né a gente já observou isso e então nesse caso isso aqui vai ficar o que a primitiva no ponto pi sobre 2 - a primitiva no ponto - pi sobre dois pontos que vale isso efe pi sobre dois anos depois sobre dois é um cenário de menos pis sobre 2 - 1 e fica 1 - menos 12 bom foi isso que vocês fizeram exatamente a área embaixo desse gráfico aqui é exatamente 2 do ponto de vista do do que o

tema fundamental do cálculo está fazendo a idéia é mais ou menos essa né fundamental do cálculo está dizendo pra gente que essa área relacionada com alguma coisa na primitiva o que é primitiva nesse caso eu tivesse no xis como é que o gráfico do senado dias lupi sobre dois ela vale um ano - pi sobre dois ela vale - um certo então que o tema fundamental do cálculo está dizendo pra gente que é essa área é igual o cumprimento desse intervalo é fã a primitiva do sesi do conselho calculado no ponto sobre 2 - a

primitiva calculado no ponto - pi sobre 24 qualquer ideia ela tinha relacionar a área embaixo do gráfico de uma função com o comprimento do intervalo da imagem de uma primitiva dela e é por isso que você acredita que se você pegar qualquer outra primitiva 11 do valor é o tetra permitiu vai ser o que é essa aqui mais uma constante vai transbordar esse intervalo na vertical a medida dele continua sendo sempre a mesma parece que a idéia por trás do tema fundamental do cálculo bem o outro que eu tinha deixado pra vocês como é que

era a mesma coisa com serena então não é tão a mesma coisa né do ponto de vista de um metro com o que você acha que já está calculando aqui é a área embaixo do gráfico da função cena não é porque a área é integral quando quando a função é positiva né nesse caso no intervalo de - pi sobre dois até 0 função sendo é negativo então um exatamente a área se eu quiser falar você podia ter o conceito de uma área com sinal que a gente chama mas a área como quantidade o metro é

um número positivo se eu quisesse a área da função a área embaixo do gráfico ou não em baixo mas entre o gráfico eo eixo x seria o cálculo integral do módulo do senhor tá então nesse caso aqui como é que a gente faz a função que você precisa integrar se no xis e pelo tema fundamental do cálculo preciso de uma primitiva humanos e de todas e fala uma função que quando deriva da cena - com sendo tá ótimo essas são as que a gente chama de primitivas imediatas não é bom - conselho x então isso

aqui vai ser o que é fã sobre 2 - é tão de menos pessoas e 2 enquanto que das conselho de menos sobre dois a menos 10 que a 0 e outra vai ser menos 100 então nesse caso é integral e zero o que se reflete exatamente se você olhar para a função ser notícia o gráfico tá bom tá aqui né o que eu tô calculando a isso aqui começa a funcionar uma função ímpar tudo que acontecer do lado positivo vai acontecer com sinal trocado do lado negativo então uns assim essas duas áreas são exatamente

iguais porque o intervalo é simétrico em relação à origem são iguais mas com sinais opostos igual modo portanto não se cansando no caso do concelho que é uma função para essa área exatamente o dobro da área deserta tep sub-21 depois a gente até consegue demonstrar essa propriedade tem uma função para o intervalo simétrico a área o dobro do que o intervalo de zero até o extremo direito que a função é ímpar no intervalo simétrico integral sempre zé tá ok isso qual que tinha algum outro um último exemplo integral de 1 até a de 1 sobre

o xv x legal de uma tela também como é que eu faço pra calcular isso é preciso conhecer uma primitiva da função sobre x todo mundo conhece uma função que quando deriva da 1 sobre x l m d x algum cuidado né tem isso aqui se quer que chegou a 1 sobre isso qualquer domínio da função sobre x todos os reais menos 10 então a primitiva precisaria está definida no mesmo domínio não é só com ele e só sabe calcular os números positivos então um argumento que não é muito bom falar pra ficar positivo com

o módulo é isso é ruim a resolve isso desse jeito aqui bota o módulo porque isso dá certo tem que como é que eu verifico que ln do módulo x é primitiva de um sobre x vou ter que dele vai sujeito e mostrar que a 1 sobre o chile sempre vão fazer isso rapidinho acho que vale a pena bom qual é o único ponto onde essa função não produto tem alguma chance de não ser derivava ela composta de duas funções de vavá fez toda vez que os x é diferente e 0xx igual a zero nem

tá no domínio aqui né se preocupar essa função é uma função do elevado enquanto que vale é filhinha essa linha x né ou seja derivada do mma do mundo se querem dois casos tá x for maior do que zero quem é fã do x cesmac 0l do modo xp o próprio mmx receber ida a um sobre x certo ok se o x for negativa o que acontece como é que vai ficar a coisa seja negativo módulo utiliza menos x né então a minha função de x men que é certo é que deriva isso elevada do

blog a 1 sobre o cara veio do derivado deputado aí de fato a primitiva definida no mesmo domínio que a função sobre xl e do módulo x também tem outro jeito mais rápido de você ver isso aqui se quiser pensar um pouquinho na então temos que admitir a ln do módulo então isso aqui vai ser um dia a menos é claro que eu estou pedindo um número a seja positivo né porque se eu pegar um número negativo eu vou ter que passar pelo ponto x igual a zero que não está no domínio da função que

estão integrando o que chama integral imprópria a gente vai ver depois então nesse caso que vai dar isso ea gente vai ter então ln do módulo de ar supondo que o ar positivo então dá ele mesmo - lnd um quiser também então essa é uma interpretação geométrica interessante que é o lugar íntimo de um número você pegar a função a hipérbole sobre x pegar qualquer número a maior do que 1 essa área embaixo do gráfico entre 11 e há exatamente no lugar de tinga você poderia definir o logaritmo como sendo isso o que é o

logaritmo fizer a área embaixo do gráfico da função sob chuva para isso você precisa estar definido que a área embaixo do gráfico e se poderia começar um curso de cálculo integral se você quiser é o exemplo que a gente final passado o próximo passo é tentar extrair algum método para que a gente calcula integrais o que o tema do carro fundamental do cálculo contou pra gente pra calcular uma integral preciso conhecer primitiva então para o cálculo integrais conhecer primitivos um bom jeito de fazer isso é saber calcular primitivas então daqui pra frente a idéia é

que a gente desenvolva técnicas para determinar primitivos de funções não sei qual o primitivo com cinco álcool integral fazendo uma continha relativamente simples então essa ideia antes disso eu tinha anunciado um teorema na aula passa na acho que não o passada que dizer que toda a função contínua tem uma primitiva demonstrar ele né e para demonstrar ele a gente tem um teorema que é bem legal é o que chama teorema do valor médio e se você já conhece uma versão essa outra que a gente mas agora eu tenho um valor médio para integrar o tema

do valor médio que a gente tinha visto relacionava os valores da função f1 a derivado em algum ponto intermediário efe db - fd a sobreviver - área igual a filhinha descer esse aqui vai relacionar valores intermediários valores médios da função com a integral com a área embaixo do gráfico dela só pegar um enunciado fazer anunciado um pouquinho uma segunda versão dele mas a gente sempre fica no caso particular não pega duas funções o iif definidas no intervalo a b chega nem é famoso por as duas contínuas pra para evitar problemas aqui tá pra ter garantia

de que ambas são integrados se portanto o produto delas é integrável e 70 tá duas funções contínuo onde a função fim só sobre valores positivos tá então existe um número c dentro do intervalo a b tal que vale a seguinte forma integral de até b jeff de x vezes fim de x em x é igual a fdc vezes esse é um enunciado quer dizer você é integral do produto de duas funções quando uma delas é positiva é exatamente igual ao valor de uma das funções vezes aí em baixo da outra vamos ver uma uma interpretação

disso no caso no caso simples quando a função fi é constante igual 1 a 1 a função foi constante igual a um pode ser usado aqui ela é contínua e é extremamente positiva então posso usar então exemplo vão pensar que feixes é constante vol ta nesse caso que vira o teorema integral de até bdf dx se constante igual fica só isso é igual a fdc vezes a integral de até b da função constantino a 1 enquanto o integral de até da função constante igual a um pode usar o tema fundamental do cálculo ou pode usar

a interpretação disso como uma área isso aqui como maria o que que é isso é a área de um retângulo de altura 1 em base per - ah tá então saber - a ou se você quiser achar uma primitiva para a função nunca x substituir nos extremos da bem menos ao mesmo jeito tá então veja o que esse tema touch dizendo que qualquer função continua a integral de até b é o valor da função em algum ponto vezes o tamanho do intervalo sobre o qual você está integrando isso ou seja a integral de qualquer função

vai produzir o que é esse número não é a área embaixo do gráfico da efe que ele está dizendo é que a área embaixo do gráfico de qualquer chefe é exatamente igual à área de um retângulo que tem como altura o valor da função f1 em algum ponto dentro do intervalo então não importa como se você desenha essa função a integral de a tb é essa área aqui tá certo que esse tema está me dizendo que tem algum ponto intermediários e de outra cor existe algum ponto dentro do intervalo a b de modo que a

área do retângulo de altura fdc e base bem - ah não sei se é esse tá mas a área de si não é certamente não é esse mas quem está te dizendo é que a área do retângulo que está desenhado aqui de cor de laranja ser igual a área embaixo do gráfico no caso um pouquinho mais para compensar quer dizer o que passa pra cima anulou que passa pra baixo e vice versa essa é a idéia do teor do mesmo jeito que a interpretação geométrica do teorema do valor médio para derivadas sei que tem uma

reta tangente ao gráfico que é paralela à que liga os extremos aqui eu tenho um retângulo de mesma área embaixo do gráfico da função com esse teor a gente consegue provar que toda função contínua tem primitiva como é que a gente demonstra esse teor e seu filho x for negativo você pode pode ter problemas cielo foi extremamente positiva dá pra achar contra exemplo como é que a gente pode demonstrar este teorema chama você tenta pensar num com o prefeito tenta construir um bom a ideia a gente vai usar o que a nossa função é uma

função continuar certo uma função continua indefinida no intervalo fechado que ainda tá muito forte na memória de vocês toda função continua no intervalo fechado admite um ponto de máximo ponto de mim ela some março o teorema de vastas bom então teremos de vastas implica que existem vão dizer e minho e não mine máximo pertencentes à r tais que fdx é maior ou igual a esses dois valores também fx é maior do que o mínimo em todo o mundo entre nós é um menino márcio favor da petista apresenta esses dois números para todo x pertencente ao

intervalo a b legal se você tem dessa primeira desigualdade que eu posso fazer a função fia positiva não é regra essa é a necessidade da função fica positivo eu possa multiplicar por fim dos três lados aí e conclui manteve a igualdade então e minho vezes feed x é menor igual x vezes fishes terminar igual ao irmão vezes também expliquei por um número positivo para casa cheia em todos os todos os lados da desigualdade ok a então isso aqui agora é uma função isso aqui é outra função uma menor do que a outra que a gente

pode dizer se é melhor ou igual ao qg que dá para dizer respeito da integral a área embaixo do gráfico geográfico de uma tabach do gráfico da outra área é menor então eu posso aplicar integral de até dos três lados e manter a desigualdade ali então vamos escrever que ainda cabe então vou ter q integral de até b james esq de x md x menor igual e integral de a tv df x glide xx isso é menor ou igual ao que é integral e de até b do irmão fishes bom se você quiser economizar chama

de i o valor integral de a atb defende xx é um número na qual a propriedade que a gente tem e vou escrever aqui mesmo esse caminho é uma constante no a ela saiba integral vimos isso não posso sm pula fora do integral e do mesmo jeito o mp quer o máximo da função também sai da integral desse lado aqui certo uma constante saída integral e quando a gente escreve isso desse jeito que eu vou ter e minho ea função fia positivas e concorda que esse número um é um número positivo então eu posso dividir

por ea desigualdade não vai alterar a ordem tudo bem então é minho é menor ou igual a dividir aquilo tudo podre integral df x 20 x e xii sobre legal de até b igual do que irmãos agora a gente vai usar de novo teremos um valor intermediário e só esses números e minho e irmão eram os máximos e mínimos da f1 era uma função continua no intervalo fechado então assume um valor máximo m maiúsculo e assume um valor mínimo e minúsculo então eu tenho uma função contínua que atinge esse valor e atingisse que o tema

do valor intermediário me diz que existe algum ponto onde há qualquer número entre e minho e irmão vai existir um ponto no domínio que acerta esse cara na imagem então o que eu com que esse elemento aqui é um elemento da imagem da função efe então existe um valor setal que fdc é igual a isso o teorema valor intermediário intriga que existe um c dentro do intervalo a b talk fdc é igual integral de até df x 20 x de x sobre e passa esse cara de volta multiplicando você tem exatamente anunciado recobrando é integral

e até de bom é o que a gente chama de teorema do valor médio para integrais é é a toda a área sob um gráfico corresponde um retângulo de mesma área hoje a base é o tamanho do intervalo ea altura é o valor da função em algum ponto certo que a gente pode tirar como consequência disso né por ora toda função contínua tem primitiva como a gente pode que é ter uma primitiva existe uma função que quando eu derivam da função original certo então como é que a gente prova isso apaga vamos pensar sempre definida

de rr para ser um pouco mais um pouco menos preciso mas não estou fazendo nada que seja ilícito né a ideia que é pensar que a fita definido em algum intervalo por exemplo é bom que pode ter isso na cabeça então pega uma função contínua eu preciso mostrar que esse cara tem uma primitiva não quer dizer que eu consiga exibir sua primitiva assim então vou dar uma construção não explicita vou definir uma uma função é fã de x que vai ser simplesmente isso tá f com china e pagar a um ponto no domínio das definido

no intervalo com cota laden então a minha é fã de x vai ser integral de a até x jeff de tv te dá pra entender o significado geométrico dessa função f1 x que ela faz você tem a sua função é fininho o que é a função f1 ponto x eu pego um ponto x se for maior do que a que vai ser um x mais exatamente essa área que embora certo conforme o x varia eu vou produzindo área embaixo do gráfico de a até esse ponto x 1 para cada valor de x e produz um

número e portanto isso é uma função que eu afirmo pra você que essa função é uma função dele vável é a derivada dela é a função f1 também vão tentar calcular aqui é fininha um ponto x qualquer é fininha se existir o que ela é o limite quando a gata band para 0 pela definição não tem muito que fazer fx mais h - fdx sobre a garrafa certo vamos aqui eu não tinha falado antes mas a gente vai convencional seguinte para definir integral sempre pegava uma partição aquela coisa toda enquanto que vale a integral de

a até a gente vai declarar que isso é zero porque não consigo particionar o intervalo com um ponto só mas é intuitivo razoável esperar que se defina a área de uma de um segmento de reta com 50 também então integral de entre extremos iguais de uma função é sempre 0 vamos fazer essa conta o que dá esse limite o limite quando a gata band para 0 que fdx mais h integral de até x + htf de tdt também - integral de até x jec de tdt tudo isso dividido praga só escrever definição do que a

função efe má escolha o que é esse número é integral de até x esse fdx que é o fx mais vagar é toda essa área aqui né certo de atacar x mas a garra então quando eu tô subtraindo as duas o que dá essa região aqui na íntegra ao the xx mais vagar certo tenho aqui vai ser o limite quando a gata band para zero da integral de x até x + h jeff de tdt sobre a data que nos diz o teorema do valor médio para integrais pensa que eu tenho uma função fica é

constante igual a multiplicando aqui exatamente né essa integral é o valor da função f1 em algum ponto dentro do intervalo de she's a testes mais h vezes h sobre a garrafa onde esse números e aqui dentro obviamente depende de a gata claro tudo bem então que dá isso htd para zero nunca 0 após cortar isso fica o limite da gata band para zero da fdc quanto vale esse limite tem que pensar que os números e é um cara que dentro desse intervalo tá certo exatamente quando a gata de para zero esse números e vai entender

praxes tudo bem você tem de praxes e que vai acontecer com fdc porquê porque não tem uma hipótese forte aqui porque fdc tem dpf de x quando x tende a crescer porque a f por hipótese uma função contínuo xixi se aproxima dc fdx se aproxima da fdc na verdade é que ao contrário eu sei que está chegando a partir do xp então o que a gente mostrou com essa conta que é fã da linha de x da fpx portanto é fã é uma primitiva df mostrei que existe é esse cara como é que o cálculo

isso aqui no caso prático num bar não posso dizer que dá sempre então essa é aquela coisa que eu falei é um resultado ao mesmo tempo animador e de animador né só para uma função contínua que você sabe que tem primitiva existe essa coisa que eu vou falar agora quer dizer se era uma função se ela continuasse teorema garante pra você que existe uma primitiva pra ela então qual é o segundo passo natural tentar escrever achar essa primitiva então se você sabe que existe vai tentar procurar aí tem casos de funções que são contínuos e

portanto tem primitiva o exemplo mais famoso - x quadrado uma função contínua e portanto tem primitiva que dá pra gente tentar fazer é tentar descobrir quem é a função é fão que você escreve e derivando daí isso aí a má notícia é você não consegue expressar você sabe que existe um fã ao que é tão linha de x é igual a mx2 mas essa função não consigo escrever uma fórmula para ela em termos das funções que a gente conhece funções elementares logaritmo exponencial trigonométrica pois não existe nenhuma combinação nesses tipos de funções que produz alguém

que quando teria saído x 2 apesar de existir uma primitiva ea outra má notícia é que essa função é super útil para aplicações práticas em lá muita coisa estatística por exemplo depende dela aquela distribuição normal que vocês vão ver em algum curso de estatística por aí tá então uma coisa super importante é saber ar embaixo do gráfico essa função porque vai estar relacionado com cálculos de probabilidade como é que se faz isso é um negócio que precisa pra caramba mas não consegue saber o valor exato a gente produz algoritmos que aproxima o valor integral numericamente

você trabalha com os valores aproximados não tem muita solução para isso como que você poderia aproximar a integral dessa função por exemplo você pode olhar problemas em vários jeitos né o gráfico da gente fez uma vez que os primeiros exemplos é uma coisa assim bem se metem em relação à origem tá certo um jeito de calcular a área dentro de um templo tipicamente gosta de cálculo - infinita tem um lugar mas você precisa calcular um intervalinho você participou na ele pode fazer os retângulos trapézio ctc vai obter uma aproximação outra alternativa que a gente sabe

integrar facilmente polinômios você conhece um polônia que aproxima bem essa função o nome de taylor você pode aproximar a função pelo plano determina e calcular a integral do povo em nome de taylor e torcer para isso ser uma boa aproximação integral e em geral dá pra ver que é porque como você tem um erro você consegue controlar o erro na aproximação pelo erro do programa de tv tá bom você pode até essa função é o seu poema de ter mais um erro então a primitiva integral dela no intervalo você consegue fazer estimativas desse jeito tá

bom a gente vai ter alguns exercícios nessa direção na lista mas pra frente a gente combina de fazer essas coisas que a gente precisa fazer agora é descobrir as primitivas que a gente consegue escrever né não adianta ficar falando do que não dá pra fazer sendo que tem outras coisas que a gente consegue fazer não fazer o que a gente consegue tá