O Paradoxo dos Gêmeos Explicado

Essa é a história de dois irmãos gêmeos, Alberto e Bruno. Bruno foi escolhido para fazer uma viagem de ida e volta em uma nave experimental que consegue se mover a 80% da velocidade da luz. A nave vai viajar 4 anos-luz de distância em direção à estrela mais próxima do Sol, e então vai voltar para a Terra.

Tanto Alberto quanto Bruno conhecem a teoria da relatividade restrita de Einstein, e eles sabem que viajar em altas velocidades afeta a passagem do tempo. Essa é uma das principais previsões da teoria da relatividade, que inclusive já foi validada por vários experimentos. Então os dois irmãos, separadamente, decidem calcular quanto tempo a viagem vai durar para eles mesmos e quanto tempo ela vai levar do ponto de vista do outro irmão.

O Alberto, ficando na Terra, calcula que a viagem, que vai percorrer oito anos-luz a 80% da velocidade da luz, vai levar cerca de dez anos da sua perspectiva. Mas por causa da relatividade restrita, ele calcula que o tempo vai passar mais devagar para o seu irmão Bruno. E fazendo as contas, ele chega à conclusão de que o seu irmão vai envelhecer apenas 6 anos em uma viagem que, para quem ficou na Terra, deveria durar apenas 10 anos.

Ou seja, para o Alberto, o seu irmão Bruno deve chegar na Terra 4 anos mais novo do que ele. Mas agora vamos ver o que acontece do ponto de vista do Bruno. Bruno está na nave se movendo junto com ela.

Então, na perspectiva dele, é a Terra que se afasta a 80% da velocidade da luz. E então se aproxima dele de novo a 80% da velocidade da luz durante a volta. Da mesma forma que quando você está dentro de um carro, parece que são uns postes ao redor da estrada que parecem se mover e não você.

Sabe aquela viagem longa de carro, que demorou uma eternidade? É, da próxima vez vá de poste. O Bruno faz as mesmas contas que o Alberto e, do ponto de vista dele, é a Terra que vai viajar por 10 anos.

E isso faz com que ele chegue a outra conclusão. Quando a viagem acabar, é o Alberto que vai ser 4 anos mais novo do que ele. Os dois irmãos chegaram em conclusões opostas.

Um deles tem que estar errado. Não é possível que ambos sejam 4 anos mais novos do que o outro. Então quem está errado?

E onde que está o erro? Esse é o paradoxo dos gêmeos. Mas para entender o que está acontecendo, nós primeiro precisamos entender um pouco mais sobre a relatividade restrita e o porquê de o tempo parecer passar mais devagar conforme a velocidade aumenta.

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br. Como prometido, foi rápido. Agora nós podemos falar sobre o porquê de o tempo passar mais devagar conforme a velocidade aumenta.

As explicações sobre relatividade restrita no YouTube, e isso inclui as minhas, costumam focar nesse aspecto estranho e menos intuitivo de distorções que acontecem no tempo e no espaço por conta das altas velocidades. Até porque honestamente esse é um dos aspectos mais surpreendentes da teoria. Mas a relatividade de Einstein começou em um artigo de 1905 sobre um outro problema completamente diferente.

Einstein propõe a sua famosa teoria da relatividade em um artigo chamado sobre a eletrodinâmica de corpos em movimento. O problema a ser resolvido era o seguinte. Na física clássica existe uma forma simples e intuitiva de lidar com observadores em movimento.

Por exemplo, se você está parado, eu estou em um carro a 20 km por hora e eu sou ultrapassado por uma moto a 30 km por hora em relação a você, qual que é a velocidade da moto em relação a você, que está parado? A resposta, obviamente, 30 km por hora. Qual é a velocidade da moto em relação ao carro?

A resposta é apenas 10 km por hora. Nós precisamos subtrair a velocidade do carro relativo a você para descobrir qual é a velocidade da moto relativa ao carro. De outra forma, a medida da velocidade depende tanto da velocidade do objeto sendo medido, quanto da velocidade de quem está medindo.

E a Física Clássica tinha regras bem definidas para mudar de perspectiva, mudar o referencial do qual você olhava para um evento no mundo. Só que as regras para mudar de referência da Física Clássica falham quando nós tentamos usá-las para descrever o movimento dos campos elétricos e magnéticos. Mesmo sabendo das propriedades dos campos elétrico e magnético em um laboratório parado, não era possível descrever esses campos quando eles começavam a se mover.

Então, no seu artigo de 1905, Albert Einstein propõe uma nova regra de transformação de referenciais, que funciona para o eletromagnetismo. Em situações de baixa velocidade, como é a maior parte dos objetos se movendo na Terra, as regras de Einstein são aproximadamente iguais às antigas regras de mudança de referenciais da física clássica. Mas em velocidades próximas a da luz, ou se campos eletromagnéticos são envolvidos, nós precisamos usar as regras de Einstein para mudar de ponto de vista corretamente.

Contrações do espaço e dilatações no tempo são consequências dessas novas regras que Einstein propôs. E o paradoxo dos gêmeos surge dessas consequências. Para entender porque o espaço e o tempo se transformaram em algo relativo na relatividade de Einstein, nós precisamos entender os dois princípios da teoria.

O primeiro princípio é chamado de princípio da relatividade. Ele diz o seguinte, as leis da física não mudam para observadores se movendo a velocidade constante. Ou seja, as equações e princípios que descrevem a natureza são as mesmas para alguém parado no chão, para alguém se movendo em um trem ou para alguém em uma nave espacial em altíssimas velocidades.

E isso, é claro, desde que as velocidades sejam constantes ou aproximadamente constantes, ou seja, não pode ter aceleração envolvida. O que Einstein quer dizer com isso é o seguinte, velocidade é relativa ao observador e campos elétricos também são, mas as leis que descrevem o movimento ou as leis que descrevem campos elétricos são sempre as mesmas, elas sempre têm a mesma cara, força é igual a massa vezes aceleração para todos os observadores com velocidade constante, independente da velocidade. As quatro equações de Maxwell descrevem campos eletromagnéticos tanto para eu, parado aqui na Terra, quanto para alguém em Andrômeda se movendo a 100 km por segundo em relação a mim.

As contas de qualquer observador não acelerado precisam concordar com a de qualquer outro observador não acelerado. E aí, inclusive, esse princípio que o Paradoxo dos Gêmeos parece violar. Os dois irmãos chegaram em resultados diferentes através das mesmas leis da física.

Isso não devia ser possível. E não é. Um dos irmãos fez um erro inocente nas contas.

Mas para entender isso, nós vamos precisar do segundo princípio da relatividade restrita, que é o princípio da velocidade da luz. O valor da velocidade da luz no vácuo é constante e ele é sempre o mesmo, independente de quem mede essa velocidade. 299 792 458 metros por segundo.

Bem rápido. Ou seja, a velocidade de uma moto varia de maneira relativa a quem faz a medida. Você parado mede 30 km por hora, eu em um carro meço 10 km por hora.

Mas a velocidade da luz é a mesma, tanto para mim, quanto para você, quanto para o cara da moto. E mais, ela também não depende de quem produziu a luz. A velocidade da luz saindo do seu celular é a mesma que a velocidade da luz saindo do farol de um carro ou do farol de uma moto.

A velocidade da luz no vácuo é constante e absoluta, não importa quem está observando. E, além disso, ela representa um limite de velocidade cósmica. Nenhum objeto com massa pode se mover mais rápido do que a luz.

E aqui nós temos uma pergunta muito boa. Se a velocidade de tudo muda dependendo do observador, então, como é que a velocidade da luz continua constante? O truque de Einstein para fazer a velocidade da luz não depender da velocidade do observador, foi fazer tanto intervalos de tempo quanto distâncias no espaço dependerem da velocidade do observador.

E nós vamos começar entendendo como que distâncias no espaço mudam de acordo com a velocidade. Vamos imaginar que você está assistindo uma pessoa jogar lixo para fora do carro. Sim, horrível, não façam isso.

O carro joga um pedaço de papel no chão embaixo da janela do motorista. Então ele anda 10 metros e joga outro pedaço a 10 metros de distância. Para você, fora do carro, cada pedaço de papel está a 10 metros de distância um do outro.

Mas se a gente mudar de perspectiva e pensar no que o motorista do carro vê, ele sempre vê o lixo sendo jogado embaixo da janela dele. A distância relativa do ponto de onde as bolas foram jogadas é zero para o motorista do carro, porque as duas bolas foram jogadas na janela dele. E a janela do carro não se move em relação ao motorista.

A distância relativa desses dois eventos depende da velocidade do observador. E isso tanto na física clássica quanto na relatividade de Einstein. A diferença é que na física clássica você e o motorista concordam sobre medidas de distância.

Ou seja, se você estiver segurando uma régua de 1 metro, o motorista do carro também vai achar que essa régua tem 1 metro. Se você medir a distância final entre as bolas de papel, elas vão parecer estar a 10 metros de distância e o motorista do carro concordaria com você. Já as novas regras de transformações de Einstein não mantém essa invariança de medidas de distância.

O movimento faz as próprias medidas de distância se contraírem. Um motorista em um carro vai achar que a sua régua de um metro tem menos do que um metro. Se o motorista estivesse viajando a 80% da velocidade da luz, ele com certeza seria preso.

Mas além de ser preso, a régua de um metro pareceria ter 60 centímetros no referencial dele. Da mesma forma, o irmão Bruno, que está viajando a 80% da velocidade da luz em direção à estrela a 4 anos-luz de distância, teria a impressão de que essa distância foi reduzida para 2,4 anos-luz. Observadores em movimento têm a impressão de que distâncias até objetos parados diminuem, ou seja, se contraem.

Essa é a contração do espaço. E algo similar acontece com as medidas de tempo. Na física clássica, se você estiver em um carro com um relógio e ultrapassar um pedestre que está parado, mas que também está segurando o relógio, um segundo no seu relógio vai parecer o mesmo do que um segundo do pedestre.

Mas a relatividade de Einstein, um segundo para você em movimento, vai parecer menos do que um segundo no relógio do pedestre parado. Se você estivesse se movendo a 80% da velocidade da luz, 1 segundo para você pareceria passar 60% mais devagar. O ritmo de relógios parados parece diminuir quando você está se movendo em relação a eles.

E a forma de calcular exatamente como intervalos de tempo e espaço se transformam é usar o segundo princípio da relatividade. A velocidade da luz é constante e absoluta para todos os observadores. Então os efeitos da dilatação temporal e do espaço se equilibram, de uma forma que você sempre mede a exata mesma velocidade da luz no vácuo, não importa se 1 metro virou 60 centímetros e 1 segundo virou 1,66 segundos.

O que os efeitos da dilatação do espaço e a contração do tempo guaram de forma indireta são as regras de Einstein para mudar de ponto de vista na relatividade. E essas regras são chamadas de transformações de Lorentz. Se o Alberto, que ficou na Terra, quiser descobrir quanto tempo a viagem vai levar para o seu irmão, que está se movendo a 80% da velocidade da luz, ele precisa calcular a dilatação temporal e a contração espacial nessas velocidades.

E a conclusão que ele vai chegar é que o que parecem 10 anos na Terra, vão parecer apenas 6 anos na nave, porque a distância que ela vai percorrer é menor por causa da alta velocidade e da contração espacial. E o mesmo vale para o Bruno, que precisa pensar que o seu irmão Alberto, que está se afastando dele 80% da velocidade da luz na ida e está se aproximando com 80% da velocidade da luz na volta. O movimento ainda é relativo, e por causa da dilatação temporal, apenas 6 anos vão ter se passado na Terra para os 10 anos que ele parece ter viajado.

Ou seja, tanto Bruno quanto Alberto vão achar que o seu irmão deveria estar 4 anos mais novo quando retornar. Mas isso é impossível. Então como é que ambos chegam nesse resultado paradoxal?

Aqui vale lembrar do primeiro princípio da relatividade. Dois pontos de vista se movendo em velocidade constante sempre vão concordar nos seus resultados. As leis da física são consistentes mesmo se você estiver parado na Terra ou a 80% da velocidade da luz, desde que a velocidade seja constante.

Então quem sai errado? Vai lá, tenta pensar por você mesmo enquanto eu conto a história desse problema. Pause o vídeo e escreve aqui nos comentários quem que você acha que está errado, o Alberto ou o Bruno.

Cinco segundos. Vamos lá. Esse paradoxo foi formulado pela primeira vez por Paul Langevin, num artigo chamado A evolução do espaço e do tempo.

Esse é um artigo mais de divulgação de ciência e ele não exatamente usa gêmeos no exemplo. Mas a pergunta fundamental por trás do paradoxo dos gêmeos é a seguinte, se a gente mandar um relógio para longe a altas velocidades e então der meia volta e trazer o relógio de volta para a Terra, qual vai ser a diferença de tempo entre esse relógio que viajou e um outro que ficou na Terra? Ou trocando os relógios por gêmeos, qual gêmeo vai ser mais novo?

O Bruno que viajou ou Alberto que ficou na Terra? A resposta, surpreendentemente, é que é o Bruno que vai terminar mais novo. E também é ele que vai errar as contas.

Hã? Como assim? Existe um problema do ponto de vista do Bruno.

Ele tem que ir, dar meia volta e voltar. E é nessa breve meia volta que tudo muda. Virar a nave significa acelerar.

O primeiro princípio da relatividade só garante que as leis da física são as mesmas para observadores em velocidades constantes em relação a outros. Ter que virar a nave significa romper com essa regra, nem que seja momentaneamente. Isso significa que o Bruno precisaria levar esse detalhe da aceleração em conta quando ele faz as suas estimativas de tempo.

O que não é fácil também não é muito óbvio. Então, o fato de que o Bruno acelera no exemplo significa que ele não é um observador adequado para a viagem toda. Então as contas dele vão estar erradas.

E essa foi a solução que o próprio Langevin deu para o Paradoxo dos Gêmeos quando ele propôs pela primeira vez. Conceitualmente, ela está correta, mas na prática ela não é uma solução ideal. Tentar fazer uma conta que leva os efeitos da aceleração corretamente é muito difícil.

Muito mais difícil até do que era esperado quando Langevin propôs o Paradoxo. Só se tornou possível fazer essa conta corretamente depois que Einstein desenvolveu a Teoria da Relatividade Geral e criou uma Teoria da Relatividade que leva os efeitos da aceleração e da gravidade em conta. Então, apesar de a resposta ser, sim, satisfatória para Lagos, a comunidade física ficou interessada em desenvolver uma versão melhorada dela, que não dependesse de uma conta que mal podia ser feita.

Além disso, a solução conceitual proposta pelo Langevin não deixava claro exatamente o que o Alberto e o Bruno viam dos seus respectivos pontos de vista. Uma versão melhorada veio logo em seguida, pensada por Max von Lowy, e publicada no artigo Duas Objeções sobre a Teoria da Relatividade e Suas Refutações. A ideia aqui é deixar de lado a importância da aceleração e focar em outro detalhe equivalente.

Durante a viagem, o Alberto sempre esteve em um único referencial, o da Terra. Ele sempre teve a exata mesma perspectiva e a exata mesma velocidade. Já o Bruno esteve em dois referenciais, um com velocidade se afastando da Terra na viagem de ida e outro com velocidade se aproximando da Terra na viagem de volta.

Então, para todos os efeitos, o Bruno foi dois observadores diferentes, e não um só. Um observador com velocidade positiva de 80% da luz na ida e um segundo observador diferente com velocidade oposta na volta. Então, ao fazer as suas contas de uma forma inocente, o Bruno acabou amarrando esses dois referenciais diferentes e tratando eles como se fossem um só.

Isso viola o primeiro princípio da relatividade e explica o erro do Bruno de achar que o seu irmão seria o mais novo. Então, como que o Bruno poderia ter chegado no resultado correto? Uma das formas seria fazer uma conta terrivelmente difícil envolvendo a aceleração.

Outra seria usar o segundo princípio da relatividade. Não importa como as velocidades variam ou como a aceleração aconteça, uma coisa vai ser verdade. A velocidade da luz vai ser sempre a mesma.

Então vamos imaginar o seguinte cenário. Além do Bruno ir viajar, ele agora tem acesso a um vídeo ao vivo do seu irmão Alberto na Terra. Ou seja, os dois irmãos estão conectados por câmeras.

Câmeras que transmitem as suas informações na velocidade da luz, que é sempre a mesma, tanto para o Bruno quanto para o Alberto. O que o Bruno vai ver da nave olhando para a transmissão ao vivo conforme a viagem acontecer? Saindo de perto da Terra, ele tem um vídeo ao vídeo normal.

Mas como ele está viajando a 80% da velocidade da luz, a cada segundo ele viaja cerca de 200 mil quilômetros. Então a cada segundo ele fica mais distante da Terra e o sinal de luz transmitindo o vídeo precisa percorrer essa distância adicional para chegar nele. Por conta disso, menos sinais de transmissão chegam no Bruno do que se ele estivesse parado.

O vídeo da Terra parece sair em câmera lenta, rodando em um terço da velocidade normal. E depois de uma viagem que durou três anos da perspectiva do Bruno, o vídeo da Terra vai ter avançado equivalente a um único ano. A viagem da perspectiva da Terra levou cinco anos, e não um ano.

Mas esses quatro anos de sinais de transmissão simplesmente não tiveram tempo de alcançar o Bruno. Eles ainda estão a caminho. Ele só ficou sabendo do primeiro ano desde que ele saiu da Terra, mesmo tendo viajado três anos na sua perspectiva.

Quando ele dá a volta, muda de referencial, acelera e começa a se mover em direção à Terra, os quatro anos de sinais que ainda não alcançaram ele continuam sua viagem direção à nave. Só que agora a nave está indo de encontro aos sinais. O vídeo ao vivo da Terra, que parecia uma câmera lenta na viagem de ida, começa agora a parecer um vídeo acelerado.

O Bruno leva três anos para voltar à Terra a partir da perspectiva dele, mas nesse meio tempo, ele vê 9 anos se passando para o seu irmão Alberto. Pensando em sinais de luz, o Bruno chega à conclusão correta. 10 anos se passam na Terra, enquanto 6 anos se passam para ele.

O Bruno vai ser o irmão mais novo por 4 anos. O erro do Paradoxo dos Gêmeos está em não ser cuidadoso com o primeiro princípio da relatividade e esquecer que mudanças de referencial precisam ser levadas em conta. A forma correta de pensar depende do princípio da velocidade da luz ser constante, que é o segundo princípio da relatividade.

E é por isso que o Paradoxo dos Gêmeos é um paradoxo tão icônico para a relatividade. Ele guarda e exemplifica os dois princípios que são no coração da teoria, exatamente como ela foi postulada por Albert Einstein em 1905. O Paradoxo dos Gêmeos mostra o caminho correto para se pensar sobre relatividade, e esse caminho é pensar com a luz.

Muito obrigado e até a próxima!